高等数学 第6节 空间直线及其方程
大一下高数下册知识点
高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理1：设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b =；则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++cz b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b ya x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2 （四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =,4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：1定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;8、 方向导数： βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角;9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===,则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用充分条件1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值； ② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,2） 极坐标 （二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标 （三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数 1、 定义：1无穷级数：+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n n k kn u u u u uS ++++==∑= 3211,正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在,则称级数∑∞=1n n u 收敛,否则称级数∑∞=1n n u 发散 3绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 绝对收敛；条件收敛：∑∞=1n n u 收敛,而∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 条件收敛;定理：若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛;2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性； 2） 级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 分别收敛于和s 与σ,,则∑∞=±1)(n n nb a收敛且,其和为s+σ3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;5） 必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛即0lim =∞→n n u . 3、 审敛法正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u1） 定义：S S n n =∞→lim 存在； 2）∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界；3） 比较审敛法：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.4） 比较法的推论：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当mn>时,n n kv u ≤,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m,当mn >时,n n kv u ≥,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散.做题步骤：①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ；②比较大小；③是否收敛;5） 比较法的极限形式：设∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n nn ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛； 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→nnn v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6） 比值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u u nn n =+∞→1lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7） 根值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u n nn =∞→lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ,则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ,则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ,0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛;任意项级数：∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛;常见典型级数：几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞=1 1 0q q aq n n发散，收敛， p -级数：⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞=1p 1 11发散，收敛，p n n p（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数∑∞=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数；2、 幂级数：∑∞=0n nnx a收敛半径的求法：ρ=+∞→nn n a a 1lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1ρρρρR。
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
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1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
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x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
高等数学下册知识点
高等数学下册知识点第七章 空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A (,,)321-和点B (,,)723-，取点M 使MB AM 2=，则向量OM=。
2 已知点A (,,)012和点B =-(,,)110，则AB=。
3、设向量与三个坐标面的夹角分别为ξηζ,,，则cos cos cos 222ξηζ++= 。
4、设向量a 的方向角απβ=3,为锐角，γπβ=-4=，则a = 。
5、向量)5,2,7(-=a 在向量)1,2,2(=b 上的投影等于。
6、过点()121-，，P 且与直线1432-=-=+-=t z t y t x ，，， 垂直的平面方程为_____________________________． 7、已知两直线方程是130211:1--=-=-z y x L ，11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程为____________________ 8、设直线182511:1+=--=-z y x L ,⎩⎨⎧=-+=--03206:2z y y x L ，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）． 6π （B ）．4π （C ）．3π （D ）2π．9、平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则（ ）（A ）A D ==0 （B ）B C =≠00, （C ）B C ≠=00, （D ）B C ==0 10、平面3510x z -+=（ ）（A ）平行于zox 平面 （B ）平行于y 轴（C ）垂直于y 轴 （D ）垂直于x 轴 11、点M (,,)121到平面x y z ++-=22100的距离为（ ）（A ）1 （B ）±1 （C ）－1 （D ）1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为 。
13、过点(,,)121与向量k j S k j i S--=--=21,32平行的平面方程为 。
14、平面0218419=++-z y x和0428419=++-z y x 之间的距离等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
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定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例如， 直线 L1 : s1 = (1,−4, 0), 直线 L2 : s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
例4
求过点 ( −3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和
2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
x
s = ( m , n, p ), M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x0 y − y0 z − z0 直线的对称式方程 = = m n p （点向式方程）
注 : 当方向向量的某个坐标 为零时，比如 m = 0 ,n ≠ 0 ,p ≠ 0时，方程仍然写为 x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = n p 0 ⎧ x − x0 = 0 ⎪ 此时理解为二平面的交 线⎨ y − y0 z − z0 ⎪ n = p ⎩
x −1 y +1 z − 3 L: = = , 相交的直线方程. −5 3 2 L
分析: 关键是求得直线上另外 M • P1 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
高等数学第六节空间直线及其方程
n1,
n 2为两相交平. 面的法
) .角
设 L 1 方程 xm 1 x 1 为 yn 1 y1z p 1 z1,
n2
n1
L1,L L2 2方 夹 角 程 x m .为 2 x2 为 yn 2 y2z p2 z2,
已M 知 0 ( x 0 ,y 0 ,两 z 0 ) ,M 1 ( x 点 1 ,y 1 ,z 1 ) ,
直 L 过 线 M 0 点 ,M 1. ( L存在唯一) M 0
L的方向向量:
M1
s M 0 M 1 ( x 1 x 0 , y 1 y 0 , z 1 z 0 ) ,L
L的方程: xx0yy0zz0 x1x0 y1y0 z1z0
为锐角 为钝角
co s 1 s s 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 , |s 1 ||s 2 | m 1 2 n 1 2 p 1 2m 2 2 n 2 2 p 2 2
co s m 1 m 2 n 1 n 2p 1p 2 .
m 1 2 n 1 2p 1 2 m 2 2 n 2 2p 2 2
高等数学第六节空间直线及其方程
三、参数方程
由 (4 ) x m x 0y n y0z p z0 设 t,
则
xyxy00
mt nt
zz0 pt
(5) 此即直线的参数式方程 .
或r r 0ts ,
其中 rxy, z
r0x zy00 0,
sm n. p
x m x0y ny0z pz0
(4)
例 2. 已L :知 2 xx yy z3 z1 4 0 0
则 2 xx 00 z0 3z 01 4 00
zx00
1 2
.
s ( 4 , 1 , 3 ) , M 0 M 0 ( 1 , 0 , 2 )
高等数学7.3直线及其方程
4
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
平面束
例 12 求过点 (1,2,4) 且与平面 2x 3 y z 4 0 垂直的直线方程. 解 x1 y2 z4 .
2 3 1
例 13 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1平行的
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
— 两直线的夹角公式
s1
s2
8
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
即 1 2(2 2 ) 1 0 , 解得 2 ,
由此得到所求平面方程为
3x 2y z 6 0 .
18
平面束
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
例19
求直线
L:
x
x
y y
z z
1 1
0 0
在平面
x 2 y z 0 的平面方程.
解 设平面方程为 x+2 y-z 6 ( x 2 y+z) 0 ,
即 (1 )x 2(1 ) y ( 1)z 6 0 ,
由于所求平面与平面 x 2 y z 0 垂直，所以
{1 , 2 2, 1} {1, 2, 1} 0 ,
高等数学之直线及其方程
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s2 {0,0,1},
3
1
解 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所求平面的法向量为 n
由题设知点 M(2,1,2) 为直线L上一点
其方向向量
s
3i
j
k
由于所求平面通过点A及L
n
AM
i 3j
4k
n s AM
ijk 3 1 1
i 13 j 10k
1 3 4
由点法式得所求平面方程为
( x 2) 13( y 1) 10(z 2) 0
直线及其方程
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
二、空间直线的对称式方程与参数 方程
. 0
两式相加得 3x 4z 5 0
x 1 (4z 5)
3
代入方程组得 y 1 (z 2)
x
1
(4z
3 5)
即
3 y 1 (z 2)
——称为投影方程
3
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m
n
p
则
x y
x0 mt y0 nt
——直线的参数式方程
z z0 pt
t 为参数
例1 求过点 M0(2,6,3) 且平行于 (2,1,3)
的直线方程.
例2 用对称式及参数式方程表示直线l：
x y z 1 2x y 3z 4
二、两直线的位置关系
设 l1 :
x x1 y y1 z z1 ,
l1 l2 l1 l2
s1 s2
m1m2 s1 s2
n1n2
m1p1 pn210 m2 n2
p1 p2
例3 求直线 l1 :
x3 y1 z2 与 2 1 1
l2 :
2x y 9 0 y 2z 5 0
的夹角.
三、直线与平面的位置关系
设直线 l: x x0 y y0 z z0 , s (m, n, p)
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
l l
ns ns
ABC mn p Am Bn Cp 0
例4 求直线l: x 2 y 3 z 4 与平面
1
1
2
2x y z 6 0 的交点.
例5
求过点M (2,1,3) 且与直线l:
x1 3
y1 z 2 1
垂直相交的直线方程.
平面束方程
s
l
m,n, p 称为直线 l 的方向数.
下面建立过点M0( x0 , y0 , z0 )且平行向量s (m, n, p)
的直线 l 的方程.
设 M ( x, y, z) 为 l上任一点,则
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
s (m,n, p)
即 x x0 y y0 z z0
m
n
p
平面 : Ax By Cz D 0,
n
(
A,
B,
C
)
若直线与平面斜交, 则该直线与它在平面上的
投影的夹角 (0 π )
直线与平面的夹角. 2
设
n与
s
的夹角为
,
则
或
称为
2
n
2
l
2
2
sin cos( )
2
cos( )
2
n
2
l
2
Am Bn Cp
第六节 空间直线及其方程
一、直线方程
1
1. 一般式方程
A1 x
B1
y
C1z
D1
0,
2
其中
A2 n1
x (
B2 y C2 A1, B1,C1
z )与
D 2 n2
0, ( A2 ,
L
B2 ,C2
)
不平行.
2. 对称式、参数式方程
平行于直线l的非零向量 称为直线的方向向量,
常用 s (m, n, p) 表示.
其中m为待定参数.
例3
求直线l:
x y z 1 0 在平面 x yz10
x y z 0 上的投影直线方程.
分析：
2 l
1
设直线
l:
A1 x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2z D2 0,
其中
n1
(
A1
,
B1
,
C1
)与
n2
( A2 , B2 ,C2 ) 不平行.
过直线 l 的平面有无穷多个，称为过l 的平面束,
其方程为:
A1 x B1 y C1z D1 m( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
m
n
p
(1)
s
l
——对称式或点向式方程
M
当 m 0, n 0, p 0 时,(1)式理解为 M0
y
x n
y0
x0
0 z z0
p
当 m 0, n 0, p 0 时,(1)式理解为
x y
x0 y0
0 0
s
的方向余弦称为直线
l
的方向余弦.
若令 x x0 y y0 z z0 t
m1
n1
p1
s1 (m1, n1, p1 )
称
l2 : x x2 y y2
s1与
s2m的2夹角
n2 (0
cos s1 s2
s1 s2
m1m2 n1n2
z z2 ,
p2) 为
2 p1 p2
s2 (m2 , n2 , p2
l1 与 l2 的夹角.
s2
s1
)
m12 n12 p12 m22 n22 p22