数学建模最佳选址类问题分析
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L L
o
Q
R
x
图5
椭圆方程为： 联立(2) (3)，化简得
(3) (4)
根据L'为椭圆的切线，得△＝0解得：n2 ＝4 9（a2－48）。由题 意n< 0 ， 则n＝－7 ，所以直线L' 为：x－4 y－7 ＝0. 所以L'与L的距离为：
故输水管的总长度：S(R) ＝2a ＋9－ (5) 用△法，可得S(R)≥21或S(R) ≤ －3，由于S(R)≥0， 则S(R)≥21， 即S(R)的最小值为21, 代入(5), 解得a＝8,从而d＝5,进一步可求出|PR|＝10, |PQ|＝6。
P R S
Q
l
Q'
22.72千米。
2、对于方案二
思路一： 建立如图３的 坐标系，则易得P（0，10）、 Q（ 8 3 ，8）设点R(x , y ) ， O 则S(R)＝|PR| + |RQ| + |RM| ＝ 。
y P
Q R Q' 图３ x
这里建立的是关于x、y的二元函数模型， 但求解困难。
y 如图4，过R作L‘//x 轴，则问题 P Q 转化为在 L'上找点R， l' R 使RP＋RQ为最小。 Q 作Q关于L'的对称点 Q'，则 M x S(R)＝| RP | ＋| RQ | ＋y≥ | PQ' |＋y ， 图4 思 取这样的 R，使 S(R)＝| PQ' |＋y 则S(R)＝ (8 3) (2y 8 10) y 2 y 18y 129 y (1) 路
10
R
河 图1
8 l
二、提出方案
P 10 14 Q 8
河
图1
l
方案一：
P 10 河 图1 P
14
Q
8
水泵站R建立在河 边（即L上），则问题 转化为在L上找一点R， 使|RP|＋|RQ|为最小。
方案二：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
l
水泵站R不建在河边， 则问题转化为要在L的 P、Q一侧找点R，使 R到P、Q及L的距离 之和最小。
14
Q 8 l
10
R
河 图2
三、论证方案
方案一：
P 10 14 Q 8
方案二：
P 10 l 14 Q 8 l
R
河
图2
河
图1
R
１、对于方案一：联想平几知识，用光学性质 建模：
作点Q关于直线L的对 连 P Q '交 L于R， 称点Q '， 则R为所求（如图２）． 这样所需直线输水管 的总长度为： S(R )＝| PQ' | ＝
一、问题的提出
如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸 L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分 别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米， 现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水 泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济 14 合理的设计方案。
P Q
即找一点 R ，使 R 到P、Q及 直线 l 的距离之和为最小。
四、论证结论
*****方案二更经济合理*****
即选这样的点 R ，使 R 到河岸 L 的距离为5千 米，到工厂 P 的距离为10 千米，到工厂 Q 的距离为 6千米，这时所需总水管 的长度为21千米。
P 10
14
Q
R
河
8
l
2 2 2
用判别式法可得 S(R)≥21或S(R)≤ －3. 因为S(R)≥0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y ＝5， 于是Q'( 8 3, 2 ) PQ'的直线方程为y ＝ ，把y ＝5代入得x＝5， 故|RP|= | RQ|= 的距离为5(km)。 =10 (km), = 6(km) , R到河岸
二
思路三： 若把|PR|＋ |RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点 的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离 最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆 的关系建模。
如图5所示，建立直角坐标系， P、 Q为椭圆的焦点，L //L，且L'切椭圆于 R，根据题意，易求出直线L为： x－4 y－63＝0 (1) y 设L'为： x－4 y＋n＝0 (2) P
o
Q
R
x
图5
椭圆方程为： 联立(2) (3)，化简得
(3) (4)
根据L'为椭圆的切线，得△＝0解得：n2 ＝4 9（a2－48）。由题 意n< 0 ， 则n＝－7 ，所以直线L' 为：x－4 y－7 ＝0. 所以L'与L的距离为：
故输水管的总长度：S(R) ＝2a ＋9－ (5) 用△法，可得S(R)≥21或S(R) ≤ －3，由于S(R)≥0， 则S(R)≥21， 即S(R)的最小值为21, 代入(5), 解得a＝8,从而d＝5,进一步可求出|PR|＝10, |PQ|＝6。
P R S
Q
l
Q'
22.72千米。
2、对于方案二
思路一： 建立如图３的 坐标系，则易得P（0，10）、 Q（ 8 3 ，8）设点R(x , y ) ， O 则S(R)＝|PR| + |RQ| + |RM| ＝ 。
y P
Q R Q' 图３ x
这里建立的是关于x、y的二元函数模型， 但求解困难。
y 如图4，过R作L‘//x 轴，则问题 P Q 转化为在 L'上找点R， l' R 使RP＋RQ为最小。 Q 作Q关于L'的对称点 Q'，则 M x S(R)＝| RP | ＋| RQ | ＋y≥ | PQ' |＋y ， 图4 思 取这样的 R，使 S(R)＝| PQ' |＋y 则S(R)＝ (8 3) (2y 8 10) y 2 y 18y 129 y (1) 路
10
R
河 图1
8 l
二、提出方案
P 10 14 Q 8
河
图1
l
方案一：
P 10 河 图1 P
14
Q
8
水泵站R建立在河 边（即L上），则问题 转化为在L上找一点R， 使|RP|＋|RQ|为最小。
方案二：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
l
水泵站R不建在河边， 则问题转化为要在L的 P、Q一侧找点R，使 R到P、Q及L的距离 之和最小。
14
Q 8 l
10
R
河 图2
三、论证方案
方案一：
P 10 14 Q 8
方案二：
P 10 l 14 Q 8 l
R
河
图2
河
图1
R
１、对于方案一：联想平几知识，用光学性质 建模：
作点Q关于直线L的对 连 P Q '交 L于R， 称点Q '， 则R为所求（如图２）． 这样所需直线输水管 的总长度为： S(R )＝| PQ' | ＝
一、问题的提出
如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸 L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分 别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米， 现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水 泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济 14 合理的设计方案。
P Q
即找一点 R ，使 R 到P、Q及 直线 l 的距离之和为最小。
四、论证结论
*****方案二更经济合理*****
即选这样的点 R ，使 R 到河岸 L 的距离为5千 米，到工厂 P 的距离为10 千米，到工厂 Q 的距离为 6千米，这时所需总水管 的长度为21千米。
P 10
14
Q
R
河
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2 2 2
用判别式法可得 S(R)≥21或S(R)≤ －3. 因为S(R)≥0 故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y ＝5， 于是Q'( 8 3, 2 ) PQ'的直线方程为y ＝ ，把y ＝5代入得x＝5， 故|RP|= | RQ|= 的距离为5(km)。 =10 (km), = 6(km) , R到河岸
二
思路三： 若把|PR|＋ |RQ|看作定值，则R在以P、Q为焦点 的椭圆上，故这需在椭圆找点R，作R到L的距离 最小，因此可考虑运用椭圆的定义和直线与椭圆 的关系建模。
如图5所示，建立直角坐标系， P、 Q为椭圆的焦点，L //L，且L'切椭圆于 R，根据题意，易求出直线L为： x－4 y－63＝0 (1) y 设L'为： x－4 y＋n＝0 (2) P