高中数学《余弦定理》精品PPT课件

2R
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sin A: sin B : sin C a : b : c
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C，
向量法
设
CB a,
求边c. CA b,
AB

c
c ab
c
2

c

c

(a

b)

(a

b)


a
a

2
a

b2
b
b
求c及S△ABC
解： b2 c2 a2 2ac cos B
72 c2 82 28 c cos600
整理得：c2-8c+15=0 解得：c1=3, c2=5
1
SABC 2 ac1 sin B 6 3
或S ABC

1 2 ac2 sin B
10
3
3.锐角三角形中，边a、b是方程 x2 2 3x 2 0 的两根，角 A、B满足2sin（A B） 3 0， 求角 C 的度数，边 c 的长度及ABC的面积 解： 2sin（A B） 3 0，sin（A B） 3
2ab
2k 2k
2
又∵0o<C<180o ∴C=120o
练习：
7. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状
分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角
B决定的。
B(90 ,180 )b2a2c2
8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这 三边长为（ B）
A. 1，2，3
2
ABC为锐角三角形
A B 120o C 60o
边a、b是方程 x2 2 3x 2 0的两根
a b 2 3，ab 2
c2 a2 b2 2abcosC
（a b）2 3ab
12 6 6
c 6
1
1
33
SABC
解： c2 a2b22abcosC

72
82
27813 14
9
c3
则有：b是最大边，那么B 是最大角
cos
B

a2
c2b2 2ac
2bc
2 2( 3 1)
2
A 60
cos B a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22 2
2ac
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 6 ( 3 1)
2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
2. 已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
例1 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm)
故故由由余正弦弦定定理理可可得得
cossinCC== ac2s+inbA2 -换c324?sin0.4813°84.34´ 0.656 ? 0.5440.
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
C
b
a
Ac
B
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角 求出三角形的第三条边
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C

ab si nC 2

2 2
2

2
三、例题讲解
例2.已知△ABC的三条边长的比为1：2： 7，求该 三角形的最大内角. 解：依题意可设该三角形三条边分别为
a k,b 2k, c 7k, (k 0)
则角C为最大内角
cos C a2 b2 c2 k 2 (2k)2 ( 7k)2 1
a2ab 41
41
∴∵利c<用a，计算∴ C器<可A,故求C得是C锐≈3角3°
∴∴B利=1用80计o-算(A器+C可) 求≈ 1得80Co-≈(3431°o+33o)=106° 角∴时B=，一18应般0o先-地(求A，+最在C)小“≈的1知8边0三o所-边(4对及1o的一+3角角3o.)”=1要06求°剩下的两个
练习
1. 在ABC中，已知a=2 ，c 6 2, B 1350,解此三角形
b 2 2, A 300,C 150
练习4.在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,
c= 3 1 ,解三角形.
解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
余弦定理
1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1) 正弦定理的变形：
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
abc
2R
sin A sin B sin C
sin A a ,sin B b ,sin C c

2
a
2a b
b cos
C
﹚
a2 b2 2ab cosC
c2 a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理
﹚
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
推论：cos A b2 c2 a2 2bc
（co1）s B若A为a2直角c，2 则ba2²= b²+c²
（2）若A为a 2锐角2ba，2c则ac²2< b²+c² c（o3s）C若A为钝角2a，b则a²> b²+c²
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角
三、例题讲解
B. 2，3，4
C. 3，4，5
D. 4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验
哪一个选项中的最大角是钝角，即该角 的余弦值小于0。
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 求最大角的余弦值
13 14
,
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断
哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边 可求出第三边,找到最大角。