圆锥曲线文科高考习题含答案

已知椭圆

=1（a>b>0）,点P （

a 5

5

,）在椭圆上。

（I ）求椭圆的离心率。

（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。

22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22

b

y =1（0>>b a ）的左、右

焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，

1F ∠A 2F =60°.

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a, b 的值.

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)

P 在1C 上.

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：2

4y x =相切，求直线l 的方程.

24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)

已知椭圆C ：22x a +2

2y b

=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与

不同的两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程

（Ⅱ）当△AMN 的面积为3

时，求k 的值

如图，椭圆

22

22

:1(0)

x y

M a b

a b

+=>>的离心率为

3

，直线x a

=±和y b

=±所围成的矩形ABCD的面积

为8.

(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；

(Ⅱ) 设直线:()

l y x m m

=+∈R与椭圆M有两个不同的交点,,

P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T.

求||

||

PQ

ST

的最大值及取得最大值时m的值.

26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。（1）求抛物线E的方程；

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明

以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，1

2

）到抛物线C：2y=2px

（P＞0）的准线的距离为5

4

。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM

平分。

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为1

2

的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为1

2

的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的

坐标.

32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2

22

1:(1)()(0)2

M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l . （Ⅰ）求r ；

（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)

如图，动圆222

1:C x y t +=,1

与椭圆2C ：22

19

x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12

,A A 分别为2C 的左，右顶点。

(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并

求出其最大面积；

(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程。

34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分）

已知三点O （0,0），A （-2,1），B （2,1），曲线C 上任意一点M （x,y ）满足

（1）求曲线C 的方程；

（2）点Q （x 0,y 0）(-2

37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）

已知椭圆2

21:14

x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。 （1）求椭圆2C 的方程；

（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程。

【解析】双曲线的

11642

2=-y x 渐近线为x y 2±=，而122

22=-b

y a x 的线

12

2

22=-b y a x 渐近线为x a b y ±=，所以有2=a

b

，a b 2=，又双曲

的右焦点为)0,5(，所以5=

c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。

【解析】(Ⅰ) 点52(

,)52

P a a 在椭圆上 222222222115365211884

a a

b b e e a b a a ?+=?=?=-=?=

(Ⅱ) 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a

22222

2

(1cos )sin 13cos 16cos 50cos 3

AQ AO a b a θθθθθ=?-+=?-+=?=

直线OQ 的斜率sin 5cos OQ b k a θ

θ

=

=±

【答案】解：（1）由题设知，222==

c

a b c e a

+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 222

2222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b

+=?+?+??，∴22=1c a -。 由点32e ??

? ???

，在椭圆上，得

22

22242222

441311144=0=214e c a a a a a b a a

-????+=?+=?+=?-+?∴椭圆的方程为2

212

x y +=。

（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，

，又∵1AF ∥2BF ， ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴(

)

2

2122

111111

1221=022=1

x y m y my y m my x ?+=??+--??+?+? ∴

)21212

m AF m ++=

+。①

同理，)2221=

2

m BF m +-+。②

（i ）由①②得，12AF BF

-=

得2m =2。

∵注意到0m >，∴m 。 ∴直线

1AF 的斜率为

1=

2

m 。 （ii ）证明：∵1AF ∥2BF ，∴

211BF PB PF AF =，即21211111

11BF PB PF BF AF PB

PF AF PF AF +++=+?=

。 ∴1

1112

=

AF PF BF AF BF +。

由点B 在椭圆上知，12BF BF

+=()

1

1212

=

AF PF BF AF BF +。

同理。()

2

2112

=

BF PF AF AF BF +。

∴(

)()

122

12211212

12

2+=

AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++

由①②得，)2121=

2

m AF BF m +++，2

2

1

=2

m

AF BF m ++，

∴

12

+

2

PF PF

∴

12

PF PF

+是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e

，

和e

?

??

都在椭圆上列式求解。

（2

）根据已知条件

12

AF BF

-=

【解析】（I）

12

1

602

2

c

F AF a c e

a

ο

∠=?=?==

（Ⅱ）设

2

BF m

=；则

1

2

BF a m

=-

在

12

BF F

?中，222

1212212

2cos120

BF BF F F BF F Fο

=+-??

222

3

(2)

5

a m m a am m a

?-=++?=

1

AF B

?

面积21

113

sin60()

225

10,5,

S F F AB a a a

a c b

ο

=??????+=

?===

【答案】

【解析】（1）因为椭圆

1

C的左焦点为

1

(1,0)

F-，所以1

c=，

点(0,1)

P代入椭圆

22

22

1

x y

a b

+=，得

2

1

1

b

=，即1

b=，

所以2222

a b c

=+=，

所以椭圆

1

C的方程为

2

21

2

x

y

+=.

（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y kx m

=+，

2

21

2

x

y

y kx m

?

+=

?

?

?=+

?

，消去y并整理得222

(12)4220

k x kmx m

+++-=，因为直线l与椭圆1C相切，所以2222

164(12)(22)0

k m k m

?=-+-=，整理得22

210

k m

-+=①

24y x y kx m

?=?

=+?，消去y 并整理得222

(24)0k x km x m +-+=。 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以2

2

2

(24)40km k m ?=--=， 整理得1km = ②

综合①②，解得2k m ?=???=?

或2k m ?=-?

??=?

。

所以直线l

的方程为y x =

或y x =- 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相

信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：（1

）由题意得2

2222a c

a a

b

c =??

?=

??=+??

解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）由22(1)142

y k x x y =-???+

=??得2222

(12)4240k x k x k +-+-=.

设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2

122

412k x x k

+=+，2122

2412k x x k

-=+. 所以

|MN|=

. 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）

的距离d =， 所以△AMN

的面积为1||2S MN d =?=

=1k =±.

【答案】(21)

(I)222

3

4

c a b e a a -==?=……① 矩形ABCD 面积为8，即228a b ?=……② 由①②解得：2,1a b ==，

∴椭圆M 的标准方程是2

214x y +=.

(II)222244,

58440,

x y x mx m y x m ?+=?++-=?

=+?，

设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844

,55m x x m x x -+=-=，

由226420(44)0m m ?=-->

得m <

||PQ ==当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.

①当1m <<-

时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---++，

||||PQ ST == 其中3t m =+，由此知当134t =

，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST

.

②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST

.

③当11m -≤≤

时，||ST =

||||PQ ST ， 由此知，当0m =时，

||||PQ ST

综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST

.

考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。 解答：

（I ）设1122(,),(,)A x y B x y ；则22

11222,2x py x py ==

222222

11221122

1212121222()(2)0(2,,0)

OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+?-++=?=>

得：点,A B 关于y 轴对称（lfxlby ）

(OA OB AB A B ===?-

代入抛物线E 的方程得：2

22x p y

==?抛物线E 的方程为24x y = （II ）设200(,)4x P x ；则211

42

y x y x '=?=

过点P 的切线方程为200011()42y x x x x -

=-即2

00

1124

y x x x =- 令2

00

4

1(,1)2x y Q x -=-?-

设(0,)M t 满足：0MP MQ =及200004

(,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=--

得：22

04(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立

2

20,101t t t t ?+-=-=?= 以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M [解]（1）双曲线1:

22

12

=-y C x ，左焦点)0,(2

6-

F .

设),(y x M ，则2

2

2222

62)

3()(||+

=++=x y x MF ， ……2分

由M 是右支上一点，知2

2≥x ，所以223||2

2=+

=x MF ，得2

6=

x .

所以)2,(

2

6

±M . ……5分

（2）左顶点)0,(2

2-A ，渐近线方程：x y 2±=.

过A 与渐近线x y 2=

平行的直线方程为：)(22

2+

=x y ，即12+=x y .

解方程组???+=-=122x y x y ，得?????=-

=2

1

4

2y x . ……8分

所求平行四边形的面积为4

2

||||=

=y OA S . ……10分

（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故

11

||2=+k b ，

即12

2

+=k b (*).

由???=-+=1

22

2y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则?????==+----2

2

2

21212221k b k kb

x x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以

2

212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=?

2

2

222

22

2221222)

1)(1(k k b k b k k

b k --+-----+=

+.

由(*)知0=?，所以OP ⊥OQ . ……16分

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双

曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ， 则|FE|=p ，||||=||FA FB FD ==r ，E 是BD 的中点，

(Ⅰ) ∵0

90BFD ∠=，∴||||=||FA FB FD =

，|BD|=2p ，

设A(0x ，0y )，根据抛物线定义得，|FA|=

02p

y +， ∵ABD ?

的面积为ABD S ?=01||()22p BD y +

=1

22

p ?

=p =2，

∴F(0,1),

FA|= ∴圆F 的方程为：22

(1)8x y +-=；

(Ⅱ) 【解析1】∵A ，B ，F 三点在同一条直线m 上, ∴AB 是圆F 的直径，0

90ADB ∠=,

由抛物线定义知1||||||2

AD FA AB ==，∴0

30ABD ∠=，∴m

的斜率为3

或－3，

∴直线m

的方程为：32p y x =±+，∴原点到直线m 的距离1d

=4

p ， 设直线n

的方程为：3

y x b =±

+，代入22x py =

得，2203x x pb ±-=， ∵n 与C 只有一个公共点， ∴?=24803p pb +=，∴6

p

b =-，

∴直线n

的方程为：6

p

y x =±

-，∴原点到直线n 的距离2d

p ， ∴坐标原点到m ，n 距离的比值为3.

【解析2】由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2

p F 点,A B 关于点F 对称得：22

2

20000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,

)2p

A

，直线3:02p p p m y x x -

=+?=

22

22x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点,)36p P

直线:()06336

p n y x x p -

=-?-=

坐标原点到,m n

距离的比值为

:326

=。 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想

方法和运算求解能力. 【解析】

（1）由题意得215124pt p =???+=??，得121

p t ?

=

??

?=?. （2）设()1122(,),,A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为(,)Q m m 由题意得，设直线AB 的斜率为k （k 0≠）.

由2

11222

2px 2px y y ?=??=??，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ?=

所以直线的方程为1

()2y m x m m

-=

-，即2220x my m m -+-=. 由2

2220x my m m y x ?-+-=??=??，整理得22220y my m m -+-=，

所以244m m =-，122y y m +=，2

122y y m m =-.从而得

12AB y =-= 设点P 到直线AB 的距离为d ，则

d =

，设?ABP 的面积为S

，则21

12()2

S AB d m m =

?=--由2440m m ?=->，得01m <<.

令t =102t <<

，则2(12)S t t =-. 设2(12)S t t =-，102

t <≤，则2

16S t '=-.

由2

160S t '=-=

，得10,62t ??

=

∈ ???

，所以max 9S =，故?ABP

的面积的最大值为9【答案】

【解析】（Ⅰ）由2

2

420x y x +-+=，得2

2

(2)2x y -+=.故圆Ｃ的圆心为点

(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>其焦距为2c ，由题设知

2221

2,,24,12.2

c c e a c b a c a ==

=∴===-=故椭圆Ｅ的方程为： 22

1.1612

x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为

10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且121

.2

k k =由1l 与圆22:(2)2c x y -+=相切，得

=

即 222

010020(2)22(2)20.x k x y k y ??--+-+-=?? 同理可得 22202

0020(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??. 从而12,k k 是方程022

0000(2)22(2)20x k x y k y ??--+-+-=??

的两个实根，于是 2022

00(2)20,8(2)20,x x y ?--≠?

????=-+->????

① 且2

0122

22

2.(2)2

y k k x -==-- 由22

00

2

02

01,161221(2)22x y y x ?+=?

??-?=?--?

得2

0058360.x x --=解得02,x =或010.5x = 由02x =-得03;y =±由018

5

x =

得0y =它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)-，或(2,3)--

，或18(5

，或18(,5.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为

1

2

，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标. 21. 【答案】 解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，

可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01

||||y y m

=

. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②

将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2

2

2 1 (0,1)y x m m m

+=>≠且.

因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以

当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0)

，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0,-

，(0,

.

（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，

直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.

依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122

244k x x x m k -+=-+，即21

222

4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21

21222

224km x y kx kx m k -==+.

于是11(2,2)PQ x kx =--，2211

2121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++.

而PQ PH ⊥等价于222

122

4(2)04m k x PQ PH m k

-?==+， 即220m -=，又0m >

，得m

故存在m 22

12

y x +=上，对任意的0k >，

都有PQ PH ⊥.

解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，

图2 (01)m <<

图3 (1)m >

图1

第21题解答图

因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222112222

22,

,

m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③

依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得

212121212()()

()()

y y y y m x x x x -+=--+. ④

又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112

112

2y y y x x x +=

+. 于是由④式可得2

11212121121212()()12()()2

PQ PH

y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=-

--+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH

k k ?=-，即212

m -=-，又0m >

，得m ，

故存在m 2

2

12

y x +=上，对任意的0k >，都有

PQ PH ⊥.

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。

解：（1）设200(,(1))A x x +，对2

(1)y x x ==+求导得2(1)y x '=+，故直线l 的斜率02(1)k x =+，当01

x =时，不合题意，所心01x ≠

圆心为1

(1,)2

M ，MA 的斜率2001(1)21

x k x +-'=

-

由l MA ⊥知1kk '=-，即20001

(1)22(1)11

x x x +-+?

=--，解得0

0x =，故(0,1)A

所以||r MA ==

=（2）设2

(,(1))a a +为C 上一点，则在该点处的切线方程为2

(1)2(1)()y a a x a -+=+-即

22(1)1y a x a =+-+

若该直线与圆M 相切，则圆心M

2

1|2(1)11|2a a +?--+=

，化简可得22(46)0a a a --=

求解可得0120,22a a a ===

抛物线C 在点2

(,(1))(0,1,2)i i a a i +=处的切线分别为,,l m n ，其方程分别为

21y x =+① 2112(1)1y a x a =+-+② 2222(1)1y a x a =+-+③

②－③得12

22

a a x +=

=，将2x =代入②得1y =-，故(2,1)D - 所以D 到直线l

的距离为5

d =

=。 【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。

【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 【解析】(Ⅰ)设A(0x ，0y )，则矩形ABCD 的面积S=004|||x y ，

由220019x y +=得，220019x y =-，∴2200x y =22

00(1)9x x -=220199()924x ---，当2092x =，2012

y =时，max S =6， ∴t

ABCD 的面积最大，最大面积为6. ……6分 (Ⅱ) 设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-3,0,3,0A A ，则 直线1A A 的方程为 ()1

1=+3+3y y x x ① 直线2A B 的方程为

()11-=-3-3

y

y x x ②

由①②得 ()22

22

1221-=-3-3

y y x x ③

由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得2112+=13x y ，从而有22112=1-3x y ?? ???

，代入③得 ()22-=1<-3,<09x y x y ∴直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程为()22

-=1<-3,<09

x y x y ……12分

【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。

【解析】（1）(2,1)MA x y =---，(2,1)MB x y =--，(,)OM x y =,(0,2)OA OB +=

22y =+整理得2

4x y =

（2）设200(,)4x Q x ；则2

2(1)4

QAB x S ?=-，0

2

l x x x k y ='

==

得：2000:()42x x l y x x -=-交y 轴于点2200

(0,)144x x M PM -?=- :10,:10PA PB l x y l x y ++=--=与2

000:()42

x x

l y x x -=-联立： 可求0022

,222

D E D E x x x x x x -+=

=?-= 2

01

124:2

PDE D E QAB PDE x S x x PM S S ???=?-?=-

?=

[解析]（1）设M 的坐标为（x,y ），当x=-1时，直线MA 的斜率不存在；当x=1时，直线MB 的斜率不存在。 于是x≠1且x≠-1.此时，MA 的斜率为1+X y ，MB 的斜率为1

-x y

. 由题意，有

1+X y ·1

-x y

=4 化简可得，4x 2-y 2-4=0

故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分

18.由???=--+=0

442

2y x m x y 消去y ，可得3x 2-2mx-m 2-4=0. (﹡) 对于方程(﹡)，其判别式

?

=（-2m)2－4×3（-m 2-4）=16m 2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m 的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q 、R 的坐标分别为（X Q ,Y Q ）,(X R ,Y R ),则为方程（*）的两根. 因为PR PQ <,所以

X

X

R

Q

<

，

3

3

2

,3

3

2

2

2

++=

+-=

m

X m

X m m P Q

所以

1

3

1221131213

122

2

2-+

+

=++

++

==m

m

X

X m

PQ

PR

R

P 。

此时23

1,13

12

2

≠+

>+

m

m

且所以3

51

3

1221,31

3

122

11m

2

2

≠

-+

+

<-+

+

<且m

所以3

5,31≠=

<=

<

X

X X

X P

R P

R PQ

PR PQ

PR 且

综上所述，

）

，（），的取值范围是（33

5

351?PQ PR

…………………………12分 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、

分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

【答案】：（Ⅰ）220x +2

4

y =1（Ⅱ）16109

，12|OA B B ⊥

（*）

设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是上面方程的两根，因此1224,5

m

y y m +=

+