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圆锥曲线高考题精选

一、选择题：

1、（1995）双曲线3322=-y x 的渐近线方程是

（A ）x y 3±= （B ）x y 31±= （C ）x y 3±= （D ）x y 3

3±=

2、（1996）椭圆????+-=?+=.sin 51,

cos 33y x 的两个焦点坐标是

（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）

3、（1996）设双曲线)0(12222b a b

y a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。已

知原点到直线l 的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）

3

3

2 4、（1996文）中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为

2

1

的椭圆方程是 （A ）13422=+y x （B ）1432

2=+y x （C ）1422=+y x （D ）14

22

=+y x 5、（1996文）椭圆091891502522=+++-y y x x 的两个焦点坐标是 （A ）（-3，5），（-3，-5） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）

6、（1997）曲线的参数方程是)0,(.

1,

112

≠?????

-=-=t t t y t x 是参数，它的普通方程是

（A ）1)1()1(2=--y x （B ）2

)1()

2(x x x y --=

（C ）1)

1(1

2

--=

x y （D ）112+-=x x y

7、（1997）椭圆C 与椭圆

14)2(9)3(2

2=-+-y x 关于直线0=+y x 对称，椭圆C 的方程是 （A ）

19)3(4)2(22=+++y x （B ）14)3(9)2(2

2=-+-y x （C ）

14)3(9)2(22=+++y x （D ）19

)3(4)2(2

2=-+-y x 8、（1998）曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为 （A ）4)2(22=++y x （B ）4)2(22=-+y x （C ）4)2(22=+-y x （D ）4)2(22=++y x

9、（1998）椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上。如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的

（A ）7倍 （B ）5倍 （C ）4倍 （D ）3倍

9、（1999）在极坐标系中，曲线)3

sin(4π

-θ=ρ关于

（A ）直线3π=θ轴对称 （B ）直线65π

=θ轴对称

（C ）点)3

,2(π

中心对称 （D ）极点中心对称

10、（1999）已知两点M （1，45）、N （-4，-4

5

），给出下列曲线方程：

①0124=-+y x ②32

2

=+y x ③122

2=+y x ④12

22=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是

（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④

11、(2000)以极坐标中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是

（A ）??? ??-=4cos 2πθρ （B ）??? ?

?

-=4sin 2πθρ

（C ）()1cos 2-=θρ （D ）()1sin 2-=θρ

12、（2000）过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=

（D ）x y 3

3

-= 13、(2000)过抛物线y=ax 2(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长

分别是p 、q ，则

q

p 1

1+等于 （A ）2a （B ）

a 21 （C ）4a （D ）a

4 14、（1995）直线l 过抛物线)0)(1(2>+=a x a y 的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则=a __4_____

15、（1996理）已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切。则p=_ 2_ 16、（1996文）已知点（-2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离是5，则p=__4___ 17、（1997）已知直线的极坐标方程为224

sin(=

+

π

θρ，则极点到该直线的距离是2

2

18、（1997文）已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_（4，2）

19、（1999）设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点为F 1，右准线为1l 。若过F 1且垂直于x 轴的

弦长等于点F 1到1l 的距离，则椭圆的离心率是

2

1

20、(2000) 椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点。当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是5

35

3<

<-x 。

三、解答题：

21、（1995理）已知椭圆

116

242

2=+y x ，直线1812:=+y x l .P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹

是什么曲线。

解法一：由题设知点Q 不在原点.设P ，R ，Q 的坐标分别为 （x P ,y P ),（x R ,y R ),（x,y),

其中x,y 不同时为零.当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点O ， Q ，R 共线，得方程组

???????==+.,116242

2x y x y y x R R R R 解得???

????+=+=)2(.3248)1(,324822222

222y x y y y x x x R R y

由于点P 在直线l 上及点O ，Q ，P 共线，解方程组

???????==+.,1812x y x y y x P P

P

P 解得???

????+=+=)

4(.3224)

3(,3224y x y y y x x x P P

当点P 在y 轴上时，经检验（1）~（4）式也成立 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得

22

2

2

2

22)(R R P P y x y x y x +=+?+

将（1）~（4）式代入上式，化简整理得

,32)

(48)32()(242

2222222y

x y x y x y x ++=++ 因x 与x P 同号或y 与y P 同号，以及（3），（4）知032>+y x ， 故点Q 的轨迹方程为

).

,(,13

5)1(25)1(2

2不同时为零其中y x y x =-+-

所以点Q 的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为

210和3

15

且长轴与x 轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

解法二：由题设点Q 不在原点.又设P ，R ，Q 的坐标分别为 （x P ,y P ),（x R ,y R ),（x,y),其中x,y 不同时为零. 设OP 与x 轴正方向的夹角为α，则有

α

=α=α=α=α=α=sin ||,cos ||sin ||,cos ||sin ||,cos ||OQ y OQ x OR y OR x OP y OP x R R P P 由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得???

???

?==)2(;||||)1(,|

|||y OQ OP y x OQ OP x P P ???

????==)

4(;.

||||)

3(,

||||222

2y OQ OP y x OQ OP x R R

由点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，得方程组???????=+=+)6(.116

24)5(,18

122

2R R P

P y x y x 将（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），

整理得点Q 的轨迹方程为... 解法三：投影法

设P ，R ，Q 的坐标分别为（x P ,y P ),（x R ,y R ),（x,y),其中x,y 不同时为零.

由题设|OQ|·|OP|=|OR|22

R P x x x =?? 设OP 的方程为kx y =

,3224.

2432,2

k x y x kx y P

P P P P +=????=+= .3248.4832,2

2

22k x y x kx y R R R

R R +=????=+= ?????

=++=?=?.

,326422

kx y k k x x x x R

P 这就是Q 点的参数方程，消去参数k 得 ).,(,13

5)1(25)1(2

2不同时为零其中y x y x =-+- 当P 在y 轴上时，k 不存在，此时Q （0，2）满足方程， 故Q 点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为210和3

15且长轴与x 轴平行的椭圆，去掉坐标原点。

22、（1995文）已知椭圆

116

242

2=+y x ，直线.12:=x l .P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是

什么曲线。

解：由题设知点Q 不在原点.设P ，R ，Q 的坐标分别为

（12,y P ),（x R ,y R ),（x,y),

由题设知x R ,>0,x>0. 由点R 在椭圆上及点O ，Q ，R 共线，得方程组 ???????==+.,116242

2x y x y y x R R R R 解得???????+=+=)2(.3248)1(,3248222

22222y x y y y x x x R R 由点O ，Q ，P 共线，得

,12x

y

y P =即:)3(.12x y y P =

由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得22

2

2

222)(12R R P y x y y x +=+?+ 将（1）、（2）（3）式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程...

23、（1996）已知21,l l 是过点P （0,2-）的两条互相垂直的直线，且21,l l 与双曲线122=-x y 各

有两交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2。 （Ⅰ）求1l 的斜率k 1的取值范围;

（Ⅱ）若|A 1B 1|=5|A 2B 2|，求21,l l 的方程。

解：（Ⅰ）依题意，21,l l 的斜率都存在。因为1l 过点P （0,2-）且与双曲线有两个交点，故方程组

?

??=-≠+=1),

0)(2(2

211x y k x k y （1） 有两个不同的解。在方程组（1）中消去y ，整理得

01222)1(2

121221=-++-k x k x k （2）

若012

1=-k ，则方程组（1）只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾。 故0121≠-k ，即1||1≠k 。方程（2）的判别式为

).13(4)12)(1(4)22(2

121212211-=---=?k k k k

设2l 的斜率为k 2,因为2l 过点P （0,2-）且与双曲线有两个交点，故方程组

?

??=-≠+=1),

0)(2(2

222x y k x k y （3） 有两个不同的解。在方程组（3）中消去y ，整理得

01222)1(2

222222=-++-k x k x k （4） 同理有012

2≠-k ，).13(42

22-=?k 又因为21l l ⊥，所以有.121-=?k k

于是，21,l l 与双曲线各有两个交点，等价于

)3,1()1,3

3

()33,1()1,3(.1||,3||33.

1||,1,013,0131111212221??-

-?--∈∴?????≠<

????≠-=?>->-k k k k k k k k 解得

（Ⅱ）设A 1（x 1,y 1）B 1（x 2,y 2）.由方程（2）知