高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线

2016年高考数学理试题分类汇编

圆锥曲线

一、选择题

1、(2016年四川高考)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线2

2(p 0)y px =>上任意一点,M 是线段PF 上的点,且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为

(A (B )2

3

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(C (D )1 【答案】C

2、(2016年天津高考)已知双曲线

2

2

24=1x y b -(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为()

(A )22443=1y x -(B )223

44=1y x -(C )2224=1x y b -(D )2

224=11x y - 【答案】D

3、(2016年全国I 高考)已知方程x 2m 2+n –y 2

3m 2–n

=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值

范围是

(A )(–1,3)(B )(–1,3)(C )(0,3)(D )(0,3)

【答案】A

4、(2016年全国I 高考)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=,

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|DE|=C 的焦点到准线的距离为 (A )2(B )4(C )6(D )8 【答案】B

5、(2016年全国II 高考)圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1,则a=()

(A )43-(B )3

4

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-(C (D )2 【答案】A

6、(2016年全国II 高考)圆已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左,右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂

直,211

sin 3MF F ∠=

,则E 的离心率为()

(A (B )3

2

(C (D )2

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【答案】A

7、(2016年全国III 高考)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点,A ,B 分别为C

的左,右顶点.P

为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中 点,则C 的离心率为

(A )

1

3

(B )12

(C )

23

(D )

34

【答案】A

8、(2016年浙江高考)已知椭圆C 1:22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2:22x n

–y 2

=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为

C 1,C 2的离心率,则

A .m >n 且e 1e 2>1

B .m >n 且e 1e 2<1

C .m 1

D .m

【答案】A

二、填空题

1、(2016年北京高考)双曲线22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,

点B 为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a =_______________. 【答案】2

2、(2016年山东高考)已知双曲线E :22

221x y a b

-=(a >0,b >0),若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD

的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______. 【答案】2

【解析】由题意c 2=BC ,所以3c =AB ,

于是点

),2

3(c c 在双曲线E 上,代入方程,得14922

22=b c -a c , 在由2

c b a =+2

2

得E 的离心率为2==a

c

e ,应填2.

3、(2016年上海高考)已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________

【答案】

25

5

4、(2016年浙江高考)若抛物线y 2

=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是_______. 【答案】9

5、(2016江苏省高考)

如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆22

221()x y a b a b

+=>>0的右焦点,直线2b y =与椭圆交于B ,C 两点,

且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ .

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(第10题)

6

三、解答题

1、(2016年北京高考)已知椭圆C :22221+=x y a b

(0a b >>

(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,

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OAB ?的面积为1.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设P 的椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N. 求证:BM AN ?为定值.

【解析】⑴由已知,

1

12

c ab a ==,又222a b c =+,

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解得2,1,a b c ===

∴椭圆的方程为2

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214

x y +=.

⑵方法一:

设椭圆上一点()00,P x y ,则22

0014

x y +=.

直线PA :()0022y y x x =--,令0x =,得0

022

M y y x -=

-. ∴0

0212y BM x =+- 直线PB :0011y y x x -=+,令0y =,得0

01

N x x y -=

-. ∴0

021

x AN y =+

- 00

0000000022000000000022112

2222

21

4448422

x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ?=+

?+--+-+-=

?

--++--+=

--+

将22

0014

x y +=代入上式得=4AN BM ? 故AN BM ?为定值.

方法二:

设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ,

直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=

--,令0x =

,得sin 1cos M y θ

θ=

-. ∴sin cos 1

1cos BM θθθ+-=-

直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =,得2cos 1sin N x θ

θ=

-. ∴2sin 2cos 2

1sin AN θθθ

+-=-

2sin 2cos 2sin cos 1

1sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4

AN BM θθθθθθ

θθθθθθθθ

+-+-?=?

----+=--+=

故AN BM ?为定值.

2、(2016年山东高考)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b

+=>> 的离心率是3

,抛物线

E :2

2x y =的焦点F 是C 的一个顶点.

(I )求椭圆C 的方程;

(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为

D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .

(i )求证:点M 在定直线上;

(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求1

2

S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

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【解析】(Ⅰ)由离心率是

2

3,有2

24=b a , 又抛物线y x 2=2

的焦点坐标为)21,0(F ,所以2

1

=b ,于是1=a , 所以椭圆C 的方程为1=4+2

2

y x .

(Ⅱ)(i )设P 点坐标为)0>(),2

m m ,P 2

m (, 由y x 2=2

得x y =′

,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m , 因此切线l 的方程为2

=2

m mx -y ,

设),(),,(2211y x B y x A ,),(00y x D ,

将2=2m mx -y 代入1=4+2

2y x ,得

0=1+4)4+12322-m x m -x m (.

于是2

3214+14=+m m x x ,23

2104+12=2+=m m x x x , 又)

4+1(2=2=22

200m -m m -mx y ,

于是 直线OD 的方程为x m

-y 41

=. 联立方程x m -

y 41

=与m x =,得M 的坐标为)4

1M(m,-. 所以点M 在定直线4

1

=y -上.

(ii )在切线l 的方程为2=2

m mx -y 中,令0=x ,得2

m =y 2-,

即点G 的坐标为)2m G (0,-2,又)2m P(m,2,)21F(0,, 所以4

)

1+(=×21=S 21m m GF m ;

再由)1)

+2(4m -m ,1+4m 2m D(

22

23,得 )1+4(8)1+2(=

1+4+2×41+2×21=S 22

22322m m m m m m m 于是有2

22221)1+2()1+)(1+4(2=

S S m m m . 令1+2=2

m t ,得22

2111+2=)1+)(21

(2=S S t -t t t t - 当21=1t 时,即2=t 时,2

1S S 取得最大值49

此时2

1=

2

m ,22=m ,所以P 点的坐标为)41

,22P(

. 所以2

1S S 的最大值为49,取得最大值时点P 的坐标为)41

,22P(

3、(2016年上海高考)有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图

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(1)求菜地内的分界线C 的方程

(2)菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为

3

8

。设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值 【解析】

(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等,所以C 是以F 为焦点、以

EH 为准线的抛物线在正方形FG E H 内的部分,其方程为24y x =(02y <<).

(2)依题意,点M 的坐标为1,14??

???

. 所求的矩形面积为

52,而所求的五边形面积为114

. 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

581

236

-=,而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为

1181

4312

-=,所以五边形面积更接近于1S 面积的“经验值”. 4、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的左、右焦点分别为12F F 、,直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

(1)若l 的倾斜角为

2

π

,1F AB ?是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; (2)设3b =

l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +?=,求l 的斜率.

【答案】(1)2y x =±.(2)155

±.

【解析】(1)设(),x y A A A .

由题意,()2F ,0c ,21c b =+,()

2

2241y b c b A =-=,

因为1F ?AB 是等边三角形,所以23c y A =, 即()

24413b b +=,解得2

2b =. 故双曲线的渐近线方程为2y x =±. (2)由已知,()1F 2,0-,()2F 2,0.

设()11,x y A ,()22,x y B ,直线:l ()2y k x =-.显然0k ≠.

由()2

213

2y x y k x ?-

=???=-?

,得()222234430k x k x k --++=. 因为l 与双曲线交于两点,所以2

30k -≠,且()

23610k ?=+>. 设AB 的中点为(),x y M M M .

由()

11F F 0A +B ?AB =即1F 0M?AB =,知1

F M ⊥AB ,故1F 1k k M ?=-. 而2122223x x k x k M +==-,()2623k y k x k M M =-=-,1F 2323

k

k k M =-, 所以23123k k k ?=--,得2

35

k =,故l

的斜率为155±.

5、(2016年四川高考)已知椭圆E :x 2

a 2+

y 2b 2

=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个

顶点,直线l :y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T .

(I )求椭圆E 的方程及点T 的坐标;

(II )设O 是坐标原点,直线l ’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明:存在

常数λ,使得∣PT ∣2

=λ∣PA ∣·∣PB ∣,并求λ的值.

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有方程组

22

22

1, 2

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3,

x y

b b

y x

?

+=

?

?

?=-+

?

得22

312(182)0

x x b

-+-=.①

方程①的判别式为2

=24(3)

b

?-,由=0

?,得2=3

b,

此方程①的解为=2

x,

所以椭圆E的方程为

22

1

63

x y

+=.

点T坐标为(2,1).

由②得

2

1212

4412

=,

33

m m

x x x x

-

+-=.

所以22

111

2252

(2)(1)

3323

m m m PA x y x =--++-=--,

同理

2

52

23

m

PB x

=--,

所以12522(2)(2)433

m m PB PB x x ?=

----

21212522(2)(2)()433

m m

x x x x =

---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+

2

109m =

.

故存在常数45

λ=,使得2

PT PA PB λ=?.

6、(2016年天津高考)设椭圆13222=+y a x (3>a )的右焦点为F ,右顶点为A ,已知|

|3||1||1FA e

OA OF =

+,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于

点H ,若HF BF ⊥,且MOA MAO ∠≤∠,求直线的l 斜率的取值范围.

【解析】

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(2)(Ⅱ)解:设直线l 的斜率为k (0≠k ),则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ,由方程组

??

???-==+)2(134

2

2x k y y x ,消去y ,整理得0121616)34(2

222=-+-+k x k x k . 解得2=x ,或346822+-=k k x ,由题意得346822+-=k k x B ,从而3

4122

+-=k k

y B . 由(Ⅰ)知,)0,1(F ,设),0(H y H ,有),1(H y FH -=,)3

412,3449(222++-=k k

k k BF .由HF BF ⊥,得0=?,

所以034123449222=+++-k ky k k H

,解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k

k x k y 124912

-+-=.

设),(M M y x M ,由方程组??

???-=-+

-=)

2(124912

x k y k k x k y 消去y ,解得)1(129202

2++=k k x M .在MAO ?中,||||MO MA MAO MOA ≤?∠≤∠,即2222

)2(M

M

M

M y x y x +≤+-,化简得1≥M x ,即1)

1(129

202

2≥++k k ,解得46-

≤k 或4

6≥k . 所以,直线l 的斜率的取值范围为),4

6

[]46,(+∞--∞ .

7、(2016年全国I 高考)设圆22

2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交

圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【解析】(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.

又圆A 的标准方程为16)1(2

2

=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .

由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:13

42

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2=+y x (0≠y ).

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8、(2016年全国II 高考)已知椭圆:E 22

13

x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. (Ⅰ)当4,||||t AM AN ==时,求AMN ?的面积; (Ⅱ)当2AM AN =时,求k 的取值范围.

【解析】⑴当4t =时,椭圆E 的方程为22

143

x y +

=,A 点坐标为()20-,, 则直线AM 的方程为()2y k x =+.

联立()22

1432x y y k x ?+=???=+?

并整理得,()

2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或22

8634k x k -=-+,则222

2

286121213434k AM k k k k -=+-+=+++

因为AM AN ⊥

,所以2

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1212413341AN k k

k ==??

+

+?- ?

??

因为AM AN =,0k >,

2

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12124343k k k

=++

,整理得()()21440k k k --+=, 2440k k -+=无实根,所以1k =. 所以AMN △

的面积为2

2

1

1121442

23449

AM

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?==?+?. ⑵直线AM

的方程为(y k x =,

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联立(22

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13x y t y k x ?+=???=?

并整理得,(

)222223230tk x x t k t +++-=

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解得x =

x =

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所以AM =

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所以

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AN k

= 因为2AM AN =

所以

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2k

=,整理得,23632

k k t k -=-. 因为椭圆E 的焦点在x 轴,所以3t >,即236332k k k ->-,整理得()()231202

k k k +-<-

2k <.

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9、(2016年全国III 高考)已知抛物线C :2

2y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B

,两点,交C 的准线于P Q ,两点.

(I )若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR

FQ ;

(II )若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.

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10、(2016年浙江高考)如图,设椭圆22

21x y a

+=(a >1).

(I )求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a 、k 表示); (II )若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

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【试题解析】(I )设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ,由22

211y kx x y a

=+??

?+=??得 ()2

2

2

2

120a k x a kx ++=,故10x =,222221a k

x a k =-+.

因此22

21222

2111a k k x k a k

AP =+-=++ (II )假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ,Q ,满足

Q AP =A .

记直线AP ,Q A 的斜率分别为1k ,2k ,且1k ,20k >,12k k ≠

11、(2016江苏省高考)

如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2,4) (1) 设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x =6上,求圆N 的标准方程; (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC =OA ,求直线l 的方程;

(3) 设点T (t ,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

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解:圆M 的标准方程为()()2

2

6725x y -+-=,所以圆心M(6,7),半径为5,. (1)由圆心N 在直线x=6上,可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以007y <<,于是圆N 的半径为0y ,从而0075y y -=+,解得01y =. 因此,圆N 的标准方程为()()2

2

611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ,所以直线l 的斜率为

40

220

-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ,即2x-y+m=0, 则圆心M 到直线l 的距离

2675.5

5

m

m d ?-++=

=

因为222425,BC OA ==

+=

而2

22,2BC MC d ??

=+ ???

所以()2

52555

m +=

+,解得m=5或m=-15.

故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y

因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=,所以2121

24x x t

y y =+-??=+?……①

因为点Q 在圆M 上,所以()()22

226725.x y -+-=…….②

将①代入②,得()()22

114325x t y --+-=.

于是点()11,P x y 既在圆M 上,又在圆()()22

4325x t y -++-=????上, 从而圆()()2

2

6725x y -+-=与圆()()22

4325x t y -++-=????有公共点,

所以5555,-≤

≤+解得22t -≤≤+.

高考数学理试题分类汇编:圆锥曲线

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因此,实数t 的取值范围是22?-+?.

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