2012年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2012年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 若集合A={x|x≥0}，且A∪B=B，则集合B可能是（）

A.{1, 2}

B.{x|x≤1}

C.{−1, 0, 1}

D.R

2. “a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 执行如图的程序框图，则第3次输出的数为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

4. 已知圆x2+y2−2x+my＝0上任意一点M关于直线x+y=0的对称点N也在圆上，则m的值为( )

A.−1

B.1

C.−2

D.2

5. 将函数y=sin x的图象向右平移π

2

个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为（）

A.y=1−sin x

B.y=1+sin x

C.y=1−cos x

D.y=1+cos x

6. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）

A.α⊥β，且m⊂α

B.m // n，且n⊥β

C.α⊥β，且m // α

D.m⊥n，且n // β

7. 设M(x0, y0)为抛物线C:y2=8x上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x0的取值范围是（）A.(2, +∞) B.(4, +∞) C.(0, 2) D.(0, 4)

8. 设a，b，c为实数，f(x)=(x+a)(x2+bx+c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)．记集合S=|x|f(x)= 0，x∈R|，T=|x|g(x)=0，x∈R|，若cardS，cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）

A.cardS=1，cardT=0

B.cardS=1，cardT=1

C.cardS=2，cardT=2

D.cardS=2，cardT=3

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

若向量a→=(1, 0)，向量b

→

=(1, 1)，则a→−b

→

=________，a→−b

→

与b

→

的夹角为________．

设a∈R，且(a+i)2i为实数，则a的值为________．

将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为

2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．

在平面直角坐标系xOy中，将点A(√3，1)绕原点O逆时针旋转90∘到点B，那么点B坐标为________，若直线OB的倾斜角为α，则tan2α=________．

已知函数f(x)=x

1

2，给出下列命题：

①若x>1，则f(x)>1；

②若0x2−x1；

③若0

④若0

2

2

)．

其中，所有正确命题的序号是________．

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AA1=2，底面ABCD的边长均大于2，且∠DAB= 45∘，点P在底面ABCD内运动且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥P−D1MN体积的最大值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)（其中x∈R，A>0，ω>0，−π

2

<φ<π

2

）的部分图象如图所

示．

（1）求A，ω，φ的值；

（2）已知在函数f(x)图象上的三点M，N，P的横坐标分别为−1，1，3，求sin∠MNP的值．

某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：

（1）用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取5名，高中学生应该抽取几名？

（2）在（1）中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名初中学生的概率．

如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB // NC，MN⊥MB．

(1)求证：平面AMB // 平面DNC；

(2)若MC⊥CB，求证BC⊥AC．

已知函数f(x)=−1

2

x2+2x−ae x．

（1）若a=1，求f(x)在x=1处的切线方程；（2）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．

已知椭圆x2

a2

+y2

b2

=1(a>b>0)的左焦点F1(−1, 0)，长轴长与短轴长的比是2：√3．

（1）求椭圆的方程；

（2）过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：1

|AB|

+1

|CD|

为定值．

64个正数排成8行8列，如下所示：，其中a ij表示第i行第j列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，a11

=1

2

，a24=1，a21=1

4

．

（1）求a12和a13的值；

（2）记第n行各项之和为A n(1≤n≤8)，数列{a n}，{b n}，{c n}满足a n=36

A n

，mb n+1=2(a n+mb n)（m为

非零常数），c n=b n

a n

，且c12+c72=100，求c1+c2+...+c7的取值范围；

（3）对（2）中的a n，记d n=200

a n

(n∈N∗)，设B n=d1d2…d n(n∈N∗)，求数列{B n}中最大项的项数．