浙江省稽阳联谊学校2020届高三5月联考数学试题

2020年5月稽阳联考数

学

1.已知全集U = { - 2, - 1,0,1,2} ，A = { - 2,0,1} ，B = { - 1,0} ，则C u ( A U B) = ( )

A. {- 2,- 1,1,2}

B. U ={2}

C. U ={1,2}

D. {0}

2.已知i 为虚数单

位，

其中(1+2i)z= -i

，则该复

数

z 的共轭复数是 (

21 21 21 2 1

A. + i B . - i C. - + i D. - i

55 55 55 5 5

3.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等

于

()

A.

32p

3

B. 64-

16p

C. 64- 16p

D.

16p

3

4.若实数x, y 满足约束条

件

()

ì

?

í

?

=3x- 2y 的最大值是

A. 0

B. 2

C. 4

D. 5

5. 已知函数f (x)= ax+b 的图象如右图所示，则函数f(x)=log a (- x+b) 的图象是( )

22

6.设a>0,b>0，则"a+b?2"是"a2+b2? 2"的 ( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7.设0

3

X -2 -1

1 2

P 1 a 1

-a

3 1

3 3

则当在1

3

A. D(X)增大

B. D(X) 减小

C. D(X)先增大后减小

D. D(X)先减小后增大

8.已知椭圆C :

2

x

2

a

uuuur

AF1B

900,2A uu F ur2= 3F2B ，则椭圆的离心率为

A. 25

5

B. 5

C. 3 10

10

D.

10

10

9.如图，△ ABC 中，AB ⊥BC ，∠ ACB=60 o，D 为AC 中

点，△ ABD 沿BD 翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最

大角、最小角分别记为a1,b1，直线AD 与直线BC 所成最大

小角分别记为a2,b2 ，则有( )

A. a1

B. a1 b2

C. a13 a2,b1 ￡b2

D. a1 3 a2,b1 >b2

10.已知数列{a n}满足，a n+1=a n+1- a n2- a n+1，a1 = a ，则一定存在a ，是数列中

5 5 * 3 3

，有 (

a

n+1 -

4

)(a

n+2 -

4

) <0 D. 存在 n? N ，有 (a n+1 - 2)(a n+2 - 2) <0

2

2

y

11.双曲线 x 2 -

= 1的焦距是 ，渐近线方程是

3

12.已知角 a 的终边过点( -1,2)，则 tana =

，最大的系

数是

14.已知△ ABC 中， AB=3 ，BC=5 ，

2

15.已知函数 f(x)=x 2 +2x+a(a<0)，若函数 y = f( f ( x))由三个零点，则 a= 16.某学校高一学生 2人，高二学生 2人，高三学生 1 人，参加 A 、B 、C 三个志愿点的活动。每个 活动点至少 1 人，最多 2 人参与，要求同年级学生不去同一活动点，高三学生不去 A 活动点，则不 同的安排方法有 种。(用数字作答)

17.如图，已知矩形 ABCD 中， AD=1 ，AB= 2，E 为边 AB 的中点， P 为 uuur uuur

边DC 上的动点(不包括端点) ，DP = l DC (0 < l < 1) ，设线段 AP 与DE uuur uuur 的交点为 G ，则 AG ×AP 的最小值是

C. 存在 n? N

， sin 2a =

13.( x +

5 5

展开式中常数项

，△ ABC 的面 积

D 为线段 AC 上一点， AB

⊥ BD ，AD:CD=3:4, 则AC=

18.已知函数f(x) = sin x +sin( x + p ) .(Ⅰ)求函数f (x)的周期与f (p )的值；(Ⅱ)若x?[0,p] ，

3 2 2 求函数y = f 2(x) 的取值范围。

19.如图，在四棱锥P—ABCD 中，△PAD 为等边三角形，

AB=AD=

1o

CD=2，∠ BAD= ∠ADC= 90o，∠PDC=60o，E为BC的中点。

2

(Ⅰ)证明：AD ⊥ PE.

(Ⅱ)求直线PA 与平面PDE 所成角的大小。

20.已知数列{ a n} 满足，a n+2 = 3a n+1 - 2a n, a1 =1,a2 = 3, 记b n =

3n+1，S n为数列{b n}的前n项a n+1 +1

和。

Ⅰ)求证：{ a n+1 - a n } 为等比数列，并求a n ；

Ⅱ)求证：S n? 27 3n+7

2n+1

25

21.已知抛物线C：y =ax2（a>0）上的点P（b,1）到焦点的距离为.

4

Ⅰ）求 a 的值。

Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在 A 的右边）在直线l : y= x- 2上，且|AB|= 2 .现过 A 作曲线C 的切线，取左边的切点为M，过 B 作曲线 C 的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB 时，求点A

的横坐标t 的值。

22.已知函数f(x)=x- a 2x- 3，函数g(x)=ke ax，a挝R,k (Ⅰ)求函数f (x) 的单调区间。

3

(Ⅱ)若a? [1,2] ，f(x)-1?g(x) 对x?[ , ? )恒成立，求

R.

k 的取值范围。

2020年 5月稽阳联考数学答案解析

B AUB { 2, 1,0,1} ，所以

C U (A U B) ={2}

D y 3 x z ，有图像知取 (1, 1) ，最大值为 5 22 D 因 0 a 1, 1 b 0 ，有图像变换可知

22

A 因为 a b 2可知

(a b)

2

，而

a 2 b

2 (a b)

22 C 计算可知 D(X) 3 (2a 1)2 4(a 1)2 3

36

B 设 F 2A 3x,F 2B 2x,F 1A 2a 3x,F 1B

2a 2x ，则 (5x)2 (2a 3x)2 (2a 2x)2，

a5 可知 x

，AB

a,AF 1 a ，cos F 1AB

33

3

，sin F1AB

5

，因A 为顶点，则e 5

5 2 5 5

AD,BC 所成最大角 2 90 ，所以

1 90 , 1 30 ，

2 90 , 2 0

C 图像 y x 1 x 2 x 1与 y x 有两个交点

(0,0),(1,1) ，利用蛛网图，可知当 a 1 0 ，则数列递减， 所以 a n 0，当 0 a 1 1，则数列递增，并且 a n 趋向 1，

可知当 a 1 1 ，则数列递减，并且 a n 趋向 1，则可知 A ，B 错误，又当 x 1 ， y x 1 x 2 x 1 x 1 (x 1)2 3

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7． 8． 9． 10.

D 翻折到 180o 时， AB,BC 所成角最小，可知 1

30o ，AD,BC 所成角最小，

2 0

o

，翻折

0o 时， AB,BC 所成角最大，可

知

1

90o ，翻折过程中，可知

AD 的投影可与 BC 垂直，所

以

1 2i

21

i 55

22

22 4 32

x 1 (x 1) 3 ，则当

22

3

定小于 3 ，则之后均小于

a 1 1，

a

2

2

3， 2 所以 D 错 ，对于 C 可取

a 1

3

，满足要求 . 2

11． 4, y

3x . 因 a 1,b

2,

12． 2, 4

. 由定义知 tan 5

2， sin

2

5,cos

1

5，则

sin2 2sin cos

13． 5

, 4

1 )3

T 4 C 5

( x) (

23 x

4 ， T 2

5 T 3 的系数最大为

5

32

14． 58， 9

. 设AD 3x,CD 4x 在

2

ABC 中，由余弦定理可

知

2 25 49x 2

9

23 7x 1x ， x

15． 16．

17 可知 x

58

,AC

5

. t x 2

2

7x 58， sin

2

2x a (x 1)2

a

可知 1 1 a f ( x)有三解，有图像知

另解：可知 f ( f ( 1)) 0， (a 1)2 2(a

3

， S 1 3 58 3

58 2

9 58 2

1) f (t) 0 可知 a 0， a

40. 分高三学生单独去志愿点， 或与其它年级学生合去志愿点， 共有 (2 C 12 C 21 C 21 ) 2 2种.

31 因 AGE 与 PGD

解得 a 1 5

2

0 ，可知

a 1 5

2

f (x) ，

按先分组再分到志愿点的思

路，

AG AE GP DP

uuuv uuuv AG AP 1 uuuv 2 AP 12 1 1

2 (1

2 2) ，

令t 1 2 (1 uuuv 3)，则 AG uuuv t 2 2t 3 AP

2t

1 12(t 3 3t )

3 1 ，当且仅当，

31

2

(0,1) 取

到 .

1 cos(2x )

f 2 x 3 2 3

，(10分)

41

因 x [0, ] ， 2x [ , ] ， cos(2 x

) [ 1, ] (12 分)

2

3 3 3 3 2

2

3

则 y f 2 x 的取值范围为 [ ,3] （ 14 分）

4

Ⅱ）另解：因 x [0, ] ，

2

2

3

则 y f 2 x [3,3](14 分)

4

19．（本题满分 15 分）

（Ⅰ）证：取 AD 的中点 O ，连结 PO,EO,由 PO AD,EO AD,POI EO O 可知

AD 面PEO,且PE 面PEO,则AD PE .（6分）

（Ⅱ）法一：以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， （ 8 分）

作 PQ CD,PH OE,连HQ ，因 PH 平面ABCD ，知 HQ CD ，由 PDC 60o 知 DQ 1，OH DQ

1，由 PO

3,在 Rt PHO 中，可知 PH 2 ,则P 1,0, 2 （10

分）

A 0, 1,0 ， D 0,1,0 ， E 3,0,0 ,

uuur uuur uuur

则 PD 1,1, 2 , DE 3, 1,0 , PA 1, 1, 2

设平面 PDE 的法向量为 n x, y, z ，

18．（本题满分 14 分） Ⅰ） f(x) 33

sin x cos x

22 3 sin( x )(3 分)

所以函数 f （x ） 的周期为

2

f(2)

3 sin

7 分）

Ⅱ）由（Ⅰ） ，则 y

[6,23 ]，所以 3sin(x 6)

11 分）

则直线 PA 与平面 PDE 所成角为 60o .（15分） 法二：（体积法）

设点 A 到面 PDE 的距离为 h ，法一中已知点 P 到面 ABCD 的距离 PH 为 2 ，则 PE

6（9

分）

PDE 中， PD 2,DE 10, PE

6,所以 PDE 为直角三角形，由 V A PDE V P ADE 可知

1

S PDE h 1S ADE 2 1

6 2 h 1 2 3 2 h 3 ，(12分)

3 3 2 2

设直线 PA 与平面 PDE 所成角为 ，则 sin

则直线 PA 与平面 PDE 所成角为 60o .（15分） 20．（本题满分 15 分）

Ⅰ）因为 a n

2

a

n 1 2(a n 1 a n ) ，所以数列

{ a

n 1

a n } 是公比为 2 的等比数列，

（ 3 分） 则

a n 1 a n

n1

2 2

n 1

2n ，

a

n

a

1

(a 2 a 1) (a 2 a 1) L ( a n a n 1)=2n 1

（7 分） Ⅱ）

法 1：

因

3n

4

3n 7 3n 4

3n 1 ， 所以

11

3n 4 3n 7 3n 4 3n 1

3x 则

-x y0 得n y - 2z=0

1,3, 2 为其中一个法向量，

12 分）

设直线 PA 与平面 PDE 所成角为 ，则 sin

uuur r cos

PA, n

23

,（14

分）

2

h 3

,( 14 分)

PA 2

uuur r

13 分）

3n 7 3n 4

3

3n 4 3n 1

3

，所以 3n 1 3n 7 2 3n 4 ( 10 分)

又

b n

2n

2 n 1

2n 1

2 3n 4 3n 7

3n 4

2n

2 2n 1

(15分)

K ( 3n 4 3n 7 ) 7 3n 7

K ( n n 1

)

1时， S 1 44，右边 27 410

，只要证： 4 10 2 7，

法

（ 2）

数学归纳法） b n

3n n 1 1

， S n 7 3n 7

2

2n 1

只要证： ( 4 10) 2 (2 7)2 ，只要证：

40 7，所以 n 1成立（ 9分）

②假设 n k 成立，即 S k

2k 1

则当 n

1

，

S k 1 S k

3k 7

2k 1

32k k 2 4

，要证：S k 1

3k 10 ，

2 k 2

，

只要证：

2k 2 2k 2 2k 1

只要证：

3k 4 3k 10 2 3k 7 ，

只要证： 2 3k 4 3k

10 6k 14 成立，所以当 nk 1成立（ 14

分）

由①②可知， S n 3n 7 * 32n n 1 7

对n N 成立

15 分）

21．（本题满分 15 分） 程为： I ）抛物线 C:y ax 2即x 2 1 y ，准线方程为：

a

1 4a

点 P （b,1） 到焦点的距

离为

5

，

4

1 4a 5, 4 a 1 抛物线 C 的方程为 22

解 1：设 M (x 1,x 12),N(x 2, x 22) ， y

2 yx 4 分） 2 x ， 2x ， k AM 2x 1 , 切线 AM 的方

22 y x 1 2x 1(x x 1 )，即 y 2x 1x x 1 ，同理可得切线 2 BN 的方程为： y 2x 2x x 22( 7 分）

由于动线段 AB （ B 在 A 右边）在直线 l : y x 2 上， 且 | AB | 2 ， 故可设 A(t,t 2)，B(t 1,t 1),将A(t,t 2)代入切线 AM 的方程得 t 2 2x 1t x 12，

2n1

①当 n

S n (

2

即

x12

2tx1 t 2 0 ，

x1 2t 4t 24(t 2)

2

t t2t 2 ，

同理可得(t 1)2 (t 1) 2 t

k MN

2

x1

2x1 x2 ，当MN // AB 时，x2 x1

得x1x2 1（12 分）

1

1，2t t 2t 2 t2t 2 ，

2t

2t

得t

2 t 2 t 2 t 2

0或t2 21 (舍去) t

15 分）

解法2：设设M (x1,x12 ), N(x2,x22 )，y 2x ，k AM 2x1,

2

切线AM 的方程为：y x12 2 x1（x

同理可得切线BN 的方程

为：

y 2x2 x

由于动线段AB（B在A右边）在直线l : y

故可设A(t,t 2)，B(t 1,t 1)

将A（t,t 2）代入切线AM 的方程得t 2

即x12 2tx1 t 2 0，(11 分)

2

同理：x22 2（t 1）x2 t 1 0 ，两式相减，可知

22

x1 x2 2t(x1 x2)+2 x2 1 0，因为x1 x2 1，所以2t (x1 x2 ) 0，则t 0（15 分）

22．（本题满分15

分）

22

I ) f (x) x a 2x 3 ， f (x) 1 2x

2x 3 a

，所以当 a 0 ，

2 x 3

f (x) 0 ，

3 则 [ , ) 上递增，当 a 0 ， f ( x) 2 递增 0，x

22

a

2 3，所以 [23,a 2 3)递减，

2

[a 2 2

3, ) 可知 6 分) f ( x) 1 g(x) ，可知 x 1 a 2x 3

1

3a

0(7 分)

2e 2

1，则 a 2x 3

a 2x 3 ke ax

2x x1

x

2x 3

k ，(11分) e

x 1 2 x 3 设 h( x) x e

h (x) 0 可知 x 2，

ke ax

，对

3

[ 2, ) 恒成立，取

3

，

2，

3, ke ax ke x ，则

2x 3 ke x 0 ， x ke x ，(10 分)

， h (x)

(2 x)( 2x 3 2)

e x 2x 3

73

，则函数在 [ ,2) 递减， 77

[2, 72)递增， [7 ) 递

减，

37 所以 h(x)max max{h(32),h(7

2)}

11 max{ 3 , 7 } 2e 2

2e 2 1

3

，所以 k 2e 2 1

3

(15 分)

2e 2

2

y

2 1(a b 0) ，F1, F2为椭圆的左右焦点，过F2的直线交椭圆与A、B两点，b

22