解析(山师附中2020年六月模拟试题解析)
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在直角三角形 ADE 中, AE 2 AD2 DE2 32 3 12, AE 2 3 .
(2) 在 ABE 中, AE 2 3,ABC 60 ,由余弦定理可得:
AE2 AB2 BE2 2AB BE cos 60,12 AB2 BE2 AB BE
因为 AB2 BE2 2AB BE, AB BE 12 2AB BE, AB BE 12
数学考前模拟测试题答案及详解
单选题 1~8,每题 5 分。多选题 9~12,每题 5 分,选错 0 分,少选答案 3 分。填空题每题 5 分。 1.答案:B 2. 答案:D 注意复数的共轭,复数的加减乘除,模,共轭的运算,几何意义,实部,虚部,虚数单位这 些概念要熟。 3.答案:B
若 a,b夹角为钝角,则 cos a, b a b 2m 2 0 所以m 1. a b m2 4 5 ,
0 p 2; n
令
f
' ( p) 0 ,解得
2 n
p
1,所以
f
( p)max
f
( 2) ,此时 n
p0
2 n
(ii) X
B(6, 1) , 3
E(
X
)
np
2,
D( X
)
np(1
p)
4 3
.
21. 【解析】(12 分)
(1)由条件 c2
a2 b2
1
,又 1 a2
9 4b2
1,联立解得 a 2,b
11. 答案:AC
解析:选项A.AM是平面的法向量,只需求 cos AB,AM 即可. 选项B.平面与直线AC1垂直,则平面可看作是与平面B1D1C平行的平面, 截面有可能会是六边形,当是正六边形时面积最大; 当截面图形是正三角形B1D1C和任意六边形时,周长都是定值; 选项C, 找出直线AM在底面,左侧面的射影,根据三垂线定理逆定理即 可得到截面图形为等腰梯形BDEF; 选项D, 将平面ACC1A1和平面CDD1C1展开,连接AN与CC1的交点是点M,显然M 不是中点.
12. 答案:ABD 令函数等于零,表达式两部分移到等式两边,画两个函数的图象,根据图像的旋转变换和伸 缩变换可判断 C、D 的正误。B 选项要把导函数算出来,按照上面处理原函数的方法做,确 定了导函数的零点范围后,把其指数形式代换为三角函数计算即可。
13. 答案:240
14. 答案: 15 128
2
(2)函数 F x xf x xe1x 1是否有零点,转化为函数 H x xf x e x ln x 与
2
2
函 数 G x xe1x 1 在 x 0, 上 是 否 有 交 点 。 H x xf x e x ln x , 可 得
2
2
H ' x e l n x e e 1 l nx ,令 H ' x 0 ,解得 x 1 ,此时函数 H x 单调递增;
3x
6z 0,令x
2, y 1, z 1
3x 6 y 0
所以n ( 2,1,1),设所求二面角大小为,cos m,n m n 1 , mn 2
所以sin 3 ,即二面角B AD E的正弦值为 3 .
2
2
法二:取 BD 中点 F,因为 EF 与 CD 平行,故 EF 垂直于平面 ABD,过点 F 作 FQ 与
0
所以Tn 单调递增
所以 Tn
min
T1
1 3
所以 m 1 3
18.【解析】(12 分)
33
(1)在 CED 中由正弦定理可得 DE sin ECD
CE ,即 sin CDE
3 2
4 sin CDE
,
3
sin CDE 1 , 因为 CE DE ,所以 CDE 是锐角,故 CDE 30 ,ADE 90 , 2
BD CD x2 1 6 以DB, DC所在直线为x, y轴,过点D作平面BCD的垂线,以其为z轴,
建立空间直角坐标系,易得A( 3 ,0, 6 ), B( 3,0,0),C(0, 6,0), 33
E( 3 , 6 ,0), 平面ABD的一个法向量为m (0,1,0) 22
设平面ADE的一个法向量n (x, y, z)
17.【解析】(10 分)
2
(1)因为 Sn 2an 1(n N ) ①
所以 Sn1 2an1 1(n 2) ②
由①②得 an 2an 2an1 n 2 ,即 an 2an1 n 2 ,
又当 n 1时, a1 2a1 1,所以 a1 1
所以an 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列
4
AD 垂直,垂足为点 Q.EF 垂直于平面 ABD,AD 在平面 ABD 内,故 EF 与 AD 垂直.
所以 EQF 即为二面角 B AD E 的平面角. EF 1 CD 6 , FQ 1 AB 2 .
2
2
2
2
在直角三角形 EQF,tan EQF EF 3,EQF 60, 即二面角 B-AD-E 的正弦 FQ
3
从而, S 1 AB BE sin 60 3 AB BE 3 3
2
4
19.【解析】(12 分)
(1)因为AB AD, AB AC, AD AC A, 所以AB 平面ABCD,CD 平面ABCD,所以CD AB, 因为CD BD, AB BD B,所以CD 平面ABD,CD 平面BCD, 所以平面ABD 平面BCD
x
2x
设曲线 y f x 与曲线 g x x 的公共点为 x0, y0 ,由于在公共点处有共同的切
线,所以
a x0
2
1 x0
,解得 x0
4a2, a 0 。
由 f x0 g x0 可得 a ln x0 x0 。
联立
x0
4a2 ,
解得 a e 。
a ln x0 x0 ,
(2) AB AD, AB AC,所以C AB D的平面角即为CAD. 由(1)可知,CD 平面ABD.
在RtCAD中,cos CAD AD 7 , AD 1,故AC 7 AC 7
平面图形中,设AB x,则BD x2 1,易知RtABD, RtDCB相似, 得到 AD AB ,即 1 x , 解得x 2,所以AB 2, BD 3
x2 2
(x1 2)(x2 2)
k[2
3(
8k 2 4k 2
3
4)
4k 2 12 4k 2 3
2
8k 2 4k 2
3
] 4
k(2
2k 2 1 )
k2
1 k
1 1 k 2 所以直线 l 的方程为: 2x y 2 0 k2
22. 【解析】(12 分)
(1)函数 f x a ln x 的定义域为 0, , f ' x a , g' x 1 。
设 P(x1, y1),Q(x2, y2 )
,则
x1
x2
8k 2 4k 2 3
,
x1x2
4k 2 12 4k 2 3
5
所以
k1 k2
y1 x1 2
y2 x2 2
k(x1 1) x1 2
k(x2 1) x2 2
k(1 3 1 3 ) k[2 3(x1 x2 4) ]
x1 2
2
22
e
令 H ' x 0 ,解得 0 x 1 ,此时函数 H x 单调递减。
e
所以当
x
1 e
时,函数
H
x
取得极小值即最小值,
H
1 e
1 2
。
G x xe1x 1 可得 G' x 1 1 x e1x ,令 G' x 0 ,解得 0 x 1,此时函
2
2
6
数 G x 单调递增;令 G' x 0 ,解得 x 1,此时函数 G x 单调递减。所以当 x 1时, 函数 G x 取得极大值即最大值, G 1 1 。
所以 an 2n1 .
(2) Sn
1 2n.
1 2
2n
1
bn
2n1 2n 1 2n1 1
1 2
(
1 2n 1
1 2n1
) 1
Tn
1 2
1 21 1
1 22 1
1 22 1
1 23 1
1 2n 1
1 2n1 1
1 2
1
1 2n1 1
11
1
Tn1
Tn
2
(ຫໍສະໝຸດ Baidu2n1
1
2n2
) 1
7. 答案:C 用平面向量的坐标形式算,以 A 为定点,AB 所在直线为 x 轴建系。计算两条边中垂线的交 点得 O 点。
8. 答案:B 利用直角三角形斜边中点到各顶点距离相等的性质找到球心就是一条棱的中点。
9. 答案:ACD
1
10. 答案:AC 分段讨论去掉绝对值,画出函数图像即可。在同一个坐标系里同时画出 2sinx 和 2cosx 的图 象,谁的图象在上方就要谁。
分类讨论 4 次取球中符合条件的取法,共三类,甲绿甲绿甲红乙随便,甲绿甲红乙红甲绿, 甲红乙红甲绿甲绿。
15. 答案:4 利用导数讨论切线的方法求出 a+b=1,再用逆代变形求。均值不等式求最值别忘了“一正二 定三相等”。
16. 答案:1,24 3
注意用好双曲线的定义和圆的切线长相等的结论,可求出内心的横坐标就是右顶点的横坐标。 利用圆外一点到圆上一点的最远距离就是圆外点到圆心的距离加半径,构造直角三角形可求 半径和圆外点到圆心的距离,根据这数值能发现有特殊角。最后联立过左焦点的直线和双曲 线方程求点 P 坐标,然后可求面积。
3
椭圆 E 的方程: x2 y2 1 43
(2)由条件得 A(2, 0) , F2 (1, 0)
若 l 的斜率不存在,由对称性知 k1 k2 0 ,不符合要求.
若 l 的斜率存在,设为 k ,则 l 方程为: y k(x 1)
y k(x 1)
联立
x2
4
y2 3
1
得 (4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0
若m 1,令cos a, b 2m 2 1,得m 4 1 m2 4 5
此时a, b夹角180,不是钝角
4. 答案:C
A63 C31A62 210
5.答案:D 函数定义域为 R,在 y 轴右侧增,又是奇函数,所以在实数集上为增函数。
6. 答案:C 注意题目条件中给的提示,把每一列算出来,然后带入计算公式。共有 120 行,120 除以 5 等于 24,所以每一列都有 24 个 1,24 个 2,24 个 3,24 个 4,24 个 5,所以每一列的和都 是 360。
值为 3 . 2
20.【解析】(12 分)
(1)由散点图可知, y cedx 更适宜作为平均产卵数和平均温度的回归直线方程类型。
y e0.072x3.849
(2)(i) f ( p) Cn2 p2 (1 p)n2 , f ' ( p) Cn2 p(1 p)n3(2 np) ,令 f ' ( p) 0 ,解得
2
所以 F(x)没有零点。
7