重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学理科试卷+解析

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重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试
理科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的）
1. 已知复数z 满足i i z 2)1(=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模=||z （ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 2. 抛物线y x 22
=的焦点到准线的距离为（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D.
14
3. 已知全集R U =，集合{}0)4(<-=x x x A ，{}
1)1(log 2>-=x x B ，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
A. {}21<<x x
B. {}
32<<x x
C. {}30≤<x x
D. {}
40<<x x 4. 已知b a ,均为实数，则下列说法一定成立的是（ ）
A.若a b >，c d >，则cd ab >
B. 若b
a 1
1>，则b a < C.若b a >，则22b a >
D. 若b a <||，则0>+b a
5. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，a x x f x -+=22)(，则=-)1(f （ ）
A. 3
B. 3-
C. 2-
D. 1-
6. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ）
A. 22230x y x +--=
B. 2240x y x ++=
C. 22230x y x ++-=
D. 2240x y x +-=
7. 诗歌是一种抒情言志的文学载体，用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感，诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律，人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋，是抽象理性的数学问题诗词化，比如诗歌：“十里长街闹盈盈，庆祝祖国万象新；佳节礼花破长空，长街灯笼胜繁星；七七数时余两个，八个一数恰为零；三数之时剩两盏，灯笼几盏放光明”，则此诗歌中长街灯笼最少几盏（ ）
A.70
B.128
C.140
D.150
8. 若等边ABC ∆的边长为1，点M 满足CA CB CM 2+=，则=⋅MB MA （ ）
B.2
C.
D.3
9．已知),(y x P 为不等式组(2)(2)0
0y x y x x a -+≤⎧⎨≤≤⎩
表示的平面区域内任意一点，当该区域的面积为2时，
函数y x z +=的最大值是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0
10. 如图，ABC ∆内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且1
c o s 2
b c a C -=，
延长BA 至D ，是B C D ∆是
以BC 为底边的等腰三角形，6
π
=∠ACD ，当2=c 时，边=CD
（ ）
A. 3
B. 2
C. 42+
D.
23+
11. 已知曲线x ae x f =)()0(>a 与曲线)0()(2
>-=m m x x g 有公共点，且在该点处的切线相同，则
当m 变化时，实数a 的取值范围是（ ）
A. 24
(0,
)e B. 6(1,)e C. )4,0(e D. )8,1(2
e
12. 如图，已知双曲线)0(122
22>>=-a b b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过右
焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若21F AF ∆的内切圆半径为
4
b
，则双曲线的离心率为（ ）
A.
3
B.
54
C.53
D.
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知3tan =α，则
=++α
αα
αsin 3cos sin cos 2__________.
14. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上顶点为B ，右焦点为)0,2(F ，)0,2
2(a
M -，且满足
BM BF ⊥，则椭圆C 的标准方程为__________.
15. 已知实数1,>b a ，且满足5=--b a ab ，则b a 32+的最小值为__________.
16. 在学习导数和微积分是，应用到了“极限”的概念，极限分为函数极限和数列极限，其中数列极限的概念为：对数列{}n a ，若存在常数A ，对于任意0>ε，总存在正整数0N ，使得当0N n ≥时，
ε<-||A a n 成立，那么称A 是数列{}n a 的极限，已知数列{}n b 满足：12
1
1+=+n n b b ，31=b ，*N n ∈，
由以上信息可得{}n b 的极限=A __________，且001.0=ε时，0N 的最小值为__________. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S a ,,2成等差数列，令*
2,log N n a b n n ∈=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）令n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和.n T
18．（本小题满分12分）
已知向量)3,(sin -=x ，)cos ,1(x =，且函数().f x m n = （1）若]2
,
0[π
∈x ，且3
2
)(=
x f ，求x sin 的值； （2）若将函数)(x f 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的2
1
，再将所得图像向左平移4π个单位，得到)(x g 的图像，求函数)(x g 在]2
,0[π
∈x 的值域。

19．（本小题满分12分）
某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下:从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A,B,C,D,E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%,等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86,100]、[71,85]、 [56,70]、[41,55]、[30,40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算:
2211
Y Y T T =
--. 其中1
Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T 假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971
T
T --=
--，所以76.677T =≈(四舍五入取整)，小南最终化学成绩为77分
.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：
（1）从化学成绩获得A 等级的学生中任取2名,求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望.
20. （本小题满分12分）
已知函数2()ln(1)(0)x
f x x a x a
=+-
>+ （1）若不等式()0f x ≥对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）证明：1*59
211
ln3ln ln ln 2(),()37
212
n n n n N -++++
+>-∈-
21. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为F ，A 为抛物线上异于原
点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，.24||=OA （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线与Q P ,（点M 在Q P ,之间），
记OAM ∆的面积为S ，求||2
3
2PQ S +的最小值。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用B 2铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分）【选修4-5：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθ
sin cos 2y x （θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为a 2
2
)4
sin(=
+
π
θρ（a 为实数）。

（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）当53=a 时，设Q P ,分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求||PQ 的最小值。

23. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数|2|||)(m x m x x f +--=的最大值是3，其中.0>m （1）求m 的值；
（2）若实数b a ,满足0>ab ，且2
2
2
m b a =+，求证：.13
3≥+a
b b a
绝密★启用前
重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试
理科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的）
1. 已知复数z 满足i i z 2)1(=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模=||z （ ）
A.
1
B.
C. 2
D. 【答案】B.
【解析】22
22(1)2222
11(1)(1)12
i i i i i i z i i i i i --+=====+++--，∴z B ． 【点评】本题考查了复数的运算，复数的模。

属于简单题.
2. 抛物线y x 22
=的焦点到准线的距离为（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D.
14
【答案】 C.
【解析】由y x 22
=可知焦点为1(0,)2，准线为12
y =，∴焦点到准线的距离1d =，故选C ．
【点评】本题考查了抛物线焦点坐标和准线方程。

属于简单题.
3. 已知全集R U =，集合{}0)4(<-=x x x A ，{}
1)1(log 2>-=x x B ，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
A. {}21<<x x
B. {}
32<<x x
C. {}30≤<x x
D. {}
40<<x x 【答案】C.
【解析】由{}{}(4)004A x x x A x x =-<⇒=<<，{}{}2log (1)13B x x B x x =->⇒=>， 而阴影部分表示的为}{()03A C A B x x =<≤，故选C 【点评】本题考查了Venn 图集合的简单表示。

属于基础题. 4. 已知b a ,均为实数，则下列说法一定成立．．．．
的是（ ） A.若a b >，c d >，则cd ab > B. 若b
a 1
1>，则b a < C.若b a >，则22b a > D. 若b a <||，则0>+b a
【答案】 D.
【解析】若1,1a c b d ====-，满足A ，B ，C ，条件，则1ab cd ==-，a b >，22a b <，故A ，B ，C 错误。

对于D ，当0a ≥时，0a b ≤<0a b ⇒+>，当0a <时，00a b a b <-<⇒+>，故选D ． 【点评】本题直接取满足条件的反例证明结论错误，在选择题中经常用到。

属于简单题.
5. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，a x x f x -+=22)(，则=-)1(f （ ） A. 3 B. 3- C. 2-
D. 1-
【答案】B.
【解析】：由)(x f 为奇函数，则(0)101f a a =-=⇒=，(1)(1)(221)3f f -=-=-+-=-，故选B. 【点评】此题考查函数的基本性质。

属于简单题。

6. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ）
A. 22230x y x +--=
B. 2240x y x ++=
C. 22230x y x ++-=
D. 2240x y x +-=
【答案】D.
【解析】：由题意设圆心C 为(,0)a ，(0)a >则34225
a d r a +=
==⇒= ∴圆C 的方程为
22(2)4x y -+=⇒ 2240x y x +-=，故选D.。