重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试数学理科试卷+解析

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重庆南开中学2020级高三第四次教学质量检测考试

理科数学

本卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项

是符合题目要求的)

1. 已知复数z 满足i i z 2)1(=+,其中i 为虚数单位,则复数z 的模=||z ( )

A. 1

B.

C. 2

D. 2. 抛物线y x 22

=的焦点到准线的距离为( )

A. 4

B. 2

C. 1

D.

14

3. 已知全集R U =,集合{}0)4(<-=x x x A ,{}

1)1(log 2>-=x x B ,图中阴影部分所表示的集合为 ( )

A. {}21<

B. {}

32<

C. {}30≤

D. {}

40<

A.若a b >,c d >,则cd ab >

B. 若b

a 1

1>,则b a < C.若b a >,则22b a >

D. 若b a <||,则0>+b a

5. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,a x x f x -+=22)(,则=-)1(f ( )

A. 3

B. 3-

C. 2-

D. 1-

6. 已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆C 的方程为 ( )

A. 22230x y x +--=

B. 2240x y x ++=

C. 22230x y x ++-=

D. 2240x y x +-=

7. 诗歌是一种抒情言志的文学载体,用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感,诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律,人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋,是抽象理性的数学问题诗词化,比如诗歌:“十里长街闹盈盈,庆祝祖国万象新;佳节礼花破长空,长街灯笼胜繁星;七七数时余两个,八个一数恰为零;三数之时剩两盏,灯笼几盏放光明”,则此诗歌中长街灯笼最少几盏( )

A.70

B.128

C.140

D.150

8. 若等边ABC ∆的边长为1,点M 满足CA CB CM 2+=,则=⋅MB MA ( )

B.2

C.

D.3

9.已知),(y x P 为不等式组(2)(2)0

0y x y x x a -+≤⎧⎨≤≤⎩

表示的平面区域内任意一点,当该区域的面积为2时,

函数y x z +=的最大值是( )

A.3

B.2

C.1

D.0

10. 如图,ABC ∆内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且1

c o s 2

b c a C -=,

延长BA 至D ,是B C D ∆是

以BC 为底边的等腰三角形,6

π

=∠ACD ,当2=c 时,边=CD

( )

A. 3

B. 2

C. 42+

D.

23+

11. 已知曲线x ae x f =)()0(>a 与曲线)0()(2

>-=m m x x g 有公共点,且在该点处的切线相同,则

当m 变化时,实数a 的取值范围是( )

A. 24

(0,

)e B. 6(1,)e C. )4,0(e D. )8,1(2

e

12. 如图,已知双曲线)0(122

22>>=-a b b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ,过右

焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ,若21F AF ∆的内切圆半径为

4

b

,则双曲线的离心率为( )

A.

3

B.

54

C.53

D.

2

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 已知3tan =α,则

=++α

αα

αsin 3cos sin cos 2__________.

14. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的上顶点为B ,右焦点为)0,2(F ,)0,2

2(a

M -,且满足

BM BF ⊥,则椭圆C 的标准方程为__________.

15. 已知实数1,>b a ,且满足5=--b a ab ,则b a 32+的最小值为__________.

16. 在学习导数和微积分是,应用到了“极限”的概念,极限分为函数极限和数列极限,其中数列极限的概念为:对数列{}n a ,若存在常数A ,对于任意0>ε,总存在正整数0N ,使得当0N n ≥时,

ε<-||A a n 成立,那么称A 是数列{}n a 的极限,已知数列{}n b 满足:12

1

1+=+n n b b ,31=b ,*N n ∈,

由以上信息可得{}n b 的极限=A __________,且001.0=ε时,0N 的最小值为__________. 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n S a ,,2成等差数列,令*

2,log N n a b n n ∈=.

(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;

(2)令n n n b a c ⋅=,求数列{}n c 的前n 项和.n T

18.(本小题满分12分)

已知向量)3,(sin -=x ,)cos ,1(x =,且函数().f x m n = (1)若]2

,

0[π

∈x ,且3

2

)(=

x f ,求x sin 的值; (2)若将函数)(x f 的图像上的点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的2

1

,再将所得图像向左平移4π个单位,得到)(x g 的图像,求函数)(x g 在]2

,0[π

∈x 的值域。

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