矩形,菱形,正方形的联系与区别

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第2版:矩形,菱形,正方形的联系与区别

一、矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形,理清它们的区别与联系是本节的重点,也是本章的难点。看下面的从属关系并完成列表,可以帮你理清它们的区别与联系。

(1)从属关系:

(2)列表比较

边角对角线对称性面积公式矩形

菱形

正方形

二、例题剖析:

[例1]已知矩形的两条对角线的一个交角为120°,一条对角线与较短边的和为12cm,求对角线的长。

提示:利用矩形的对角线的性质以及∠AOD是△AOB的一个外角,得到△AOB 是等边三角形等知识。

分析与解:

∵四边形ABCD为矩形∴AC=BD AO=DO=OC=OB

∠BAD=90°(矩形的对角线互相平分且相等)

∵∠AOD=120°∴∠OAB=∠ABO=60°∴△AOB是等边

三角形∴AB=OA=OB

∵AB+BD=12 ∴AB+OA+OB=12 ∴OA=OB=AB=4

∴BD=AC=8(cm)

答:对角线长为8cm。

点拨:(1)找到BD与AB的关系是解决问题的关键

(2)在特殊四边形中,相关的计算问题可放到特殊三角形中。

[例2]已知:如图矩形ABCD中,AC、BD相交于O,AE∥BD,DE∥AC 求证:四边形AODE是菱形

提示:结合条件,要想证明四边形AODE是菱形,先证明四边

形AODE是平行四边形,再证明有两条线段相等。

分析与解:

证明:∵矩形ABCD 中对角线AC 、BD 交于O

∴AC=BD 即AO=DO

又∵AE ∥BD 、DE ∥AC ,∴四边形AODE 是平行四边形

∴四边形AODE 是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)

点拨:

(1)菱形判定方法要牢记。

(2)特殊四边形的对角线所具有的性质异同点要很明确。

[例3] 如图,P 是对角线为4的正方形ABCD 的边AD 上的一点,且P E ⊥AC ,PF ⊥BD ,则PE+PF= 。

提示:只要将△AOD 分割成两个△AOP 和△DOP ,利用面积去做。

分析与解:因为四边形ABCD 是正方形,所以OA=OB=OC=OD=2,且OA ⊥OD, 因为S △AOD =S △AOP +S △POD,所以×2×2=(AO ×PE+DO ×PF 2= ×2 ×PE+ ×2×PF, 所以PE+PF=2

点拨:本题用到了分割法算面积,掌握这点是解决此题的关键.本题也可以通过证明四边形PEOF 是矩形,得到PE=OF,再证明△PFD 是等腰三角形,得到PF=FD,所以就把PE+PF 转化成了线段OD 的长了,所以PE+PF=2

思维总结:学习矩形、菱形、正方形的区别和联系应注意把握以下两个方面:

(1)转化的思想:

在矩形、菱形、正方形中有许多相等的角,相等的边,要关注边、角的等量关系的相互转化。

(2)多角度考虑的思想:

在这部分内容的证明题中,往往有许多独特的做法。要注意证明方法的多样性,比较证明的方法的异同,提高自己的逻辑思维水平。 O _ F _ B _ A _ C _ P _ E _ D

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