(完整版)2018-2016数列高考题
2018-2016高考题
1.已知数列{a n }满足a 1=1，na n +1=2(n +1)a n ，设b n =n
a n ． ⑴求
b 1，b 2，b 3；⑵判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；⑶求{a n }的通项公式．
2.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大
于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N .
3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1= -1，b 1=1，222a b +=.（1）若335a b +=，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.
4.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++K ．
5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n －1)a n =2n .
（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列21n a n ???
?+?? 的前n 项和.
6.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1, b 2=
31, a n b n+1+b n+1=n b n . （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{b n }的前n 项和.
7.已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且
6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若对任意,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列
(){}21n n
b -的前2n 项和
8.等差数列{a n }中，a 3+a 4=4，a 5+a 7=6.
(Ⅰ)求{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设b n =[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如
[0.9]=0,[2.6]=2.
试卷答案
1.
解：（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n
+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．
将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．
从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．
（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得
121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得
12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1．
2.
（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为.由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-.
所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =.
（Ⅱ）解：设数列2{}n n a b 的前项和为n T ，由262n a n =-，有
2342102162(62)2n n T n =?+?+?++-?L ，
2341242102162(68)2(62)2n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ，
上述两式相减，得23142626262(62)2n n n T n +-=?+?+?++?--?L
1212(12)4(62)2(34)21612
n n n n n ++?-=---?=----. 得2(34)216n n T n +=-+.
所以，数列2{}n n a b 的前项和为2(34)2
16n n +-+.
3.
（1）设的公差为d ，的公比为q ，则,.由
得
d+q=3. ①
（1） 由得
② 联立①和②解得（舍去）， 因此的通项公式
（2） 由得
. 解得 当时，由①得，则. 当时，由①得，则.
4. （I ）设公差为d ， 10311=+++d d ,所以2=d ，所以12)1(1-=-+=n d n a a n . （Ⅱ）设{}n b 的公比为q ，2b .4b =5a ?93=qq ，所以32=q 所以{}2-1n b 是以11=b 为首项，321==q q 为公比的等比数列， 所以1
-2531n b b b b ＋＋＋＋K 21331)31(1-=--?=n n .
5.
6.
（I ）由已知，a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=31,得a 1=2
，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =3n-1.
（II ）由（I ）和a n b n+1+b n+1=n b n ，得b n+1=
3b n ，因此{b n }是首项为1，公比为3
1的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则 1n n
n 321233
11)31(1S -?-=--=
7.
（Ⅰ）12-=n n a （Ⅱ）22n
（Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=
-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为2
1，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则
2
212212221224232221222
)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+???++=+-+???++-++-=-
8.
(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1+5d=4，a 1+5d=3，解得121,5a d ==， 所以{a n }的通项公式为235n n a +=
. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??=?
???， 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤
<=； 当n=4,5时，2323,25
n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤
<=； 当n=9,10时，2345,45
n n b +≤<=， 所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.