电路原理学习资料

第8章 相量法
重点： 正弦量的相量表示 相量法
8-1 复数
1. 复数A表示形式：
Im
b
A
0
a Re
A a jb
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 (2) 乘除运算——极坐标
Im
b
A
|A|
y
0
a Re
A A e jy | A | y
A
a2 b2
y tg1 b a
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例2 已知电流表读数： A1 ＝8A A2 ＝6A
若 1. Z1 R, Z2 jXC A0 ＝? A0
2. Z1 R, Z2为何参数
A0 ＝I0max=?
U
Z1
A1
3. Z1 jXL,
Z
为何参数
2
A0 ＝I0min=?
Z2 A2
4. Z1 jX L, Z2 jXC A0 ＝ A1 A2 ＝?
例 i(t) R + u(t) -
用相量法求：
u(t) Um cos(wt y u )
L 解:
u(t )

Ri (t )

L
di(t ) dt
一阶常系数 线性微分方程



U R I jwL I


U
I

R jwL
R2
Uy u w 2 L2 arctgwL

R
R2
U
w 2 L2
I 0 U 0
例1 试判断下列表达式的正、误。
1. Uu w LiI
2. i 5cosw t 500
5.
U C IC
1
jw C
jwC

3. Im jw CUmm
4.
XL

U I L
L
Um Im
6. UL jw LIL
7. u CL di dt
或 i 落后 u 90°
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例1 计算下列两正弦量的相位差。
解 (1) i1(t) 10cos(100π t 3π 4)
结论
i2 (t) 10cos(100π t π 2) 两个正弦量
(2)
ij1(t) 3π104co(s(1π002π) t 5π3040) 0 i2 (t) 1j0si5nπ(1400π2πt 1530π) 4
U1 630o V
u2(t) 4 2cos(314t 60o ) V
U 2 460o V
U U1 U 2 630 460 5.196 j3 2 j3.464
7.196 j6.464 9.6741.9o V
u(t) u1(t) u2(t) 9.67 2cos(314 t 41.9o ) V
2Icos(wt y ) j 2Isin(wt y )
t2
若对A(t)取实部： Re[ A(t)] 2Icos(wt y )
i 2Icos(wt y ) A(t) 2Ie j(wty )
A(t)还可以写成
A(t ) 2 I e jy e jw t 2 I e jw t
XC
w 0(直流), XC , 隔直作用;
w , XC 0, 旁路作用;
w
(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
一. 电路元件的相量关系
u Ri
U RI
u Ldi dt
u

1 C
idt
U jwLI
U 1 I
jwC
二. 基尔霍夫定律的相量形式
i(t) 0 u(t) 0
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图 在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
U 1
60
41.9
30
Baidu Nhomakorabea
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
i I
i I
di jwI
dt 证明：
idt

1
jw
I
di d Re[ 2Ie jwt ]
dt dt
idt Re 2Iejw t dt
Re d [ 2Ie jwt ] dt
Re[ 2I jw e jwt ]
Re

2
I
jw
e
jw
t


三. 相量法的应用 求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)
pR
I
uR 相量关系 +
I
O
i
wt
U R

R I
U R
-
R U
相量图
相量模型
二 . 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I sinwt
I I 90o
I
+
u (t)
L
-
时域模型
u(t ) L di(t ) dt
2wL I cos wt 2wL I sin(wt 90o )
进行相位比 较时应满足 同频率、同
(3)i2
(4)
(uuit11i2)((2(tt(tj))jt))1015130cc3030cooc0c0ososo0s(1(ss1((10((102(0010000π0100ππ55tππt0t0t)t03)1301140003155)05520)0000)0)不0) 能函 号 值w比数 范，1 较、 围且相同 比在w位符 较主2差。
j <0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
u, i u i
规定： | j | (180°)
0
wt
yu yi
j
特殊相位关系：
j = 0， 同相：
u, i
u
i
0
wt
j = ( 180o ) ，反相：
u, i
i
u
0
wt
u, i u i
0
j = 90°
u 领先 i 90°
wt
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
8. 2 正弦量的基本概念
一. 正弦量的三要素： i i + u_
i(t)=Imsin(w t +y ) y
Im w t 波形图
ii
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
(2) 角频率(angular frequency) w (3) 初相位(initial phase angle) y
I1
3. Z2 jX C, I0min 8 6 2A
4. Z2 jXC, I0 I1 8A, I2 16A
例3 已知 u(t) 120 2 cos(5t),求 : i(t)
i +
_u
0.02F 15
相量模型
4H
解 U 12000
_+UI
15
-j10 j20
I1 I2
I3
jX L j4 5 j20
jX C

j 1 5 0.02

j10Ω
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I

IR

IL

IC

U R

U jX L

U jX C
i2 (t) 3cos(100π t 300 )
三.周期性电流、电压的有效值
(effective value)
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 W RI 2T
交流 i R
W

T
0
Ri2 (t)dt
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(
wt

y
)
dt
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
T sin2 ( wt y ) dt T 1 cos 2(wt y ) dt 1 t T 1 T
0
0
2
20 2

I
1 T
I
2 m
T 2

Im 2
0.707Im
Im 2I
解： i 50 2cos(314 t 15o ) A
二. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t)
2 U1 cos(wt y 1) Re(
2

U
1
e
jw
t
)
u2 (t)
2 U2 cos(wt y 2) Re(
2

U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t)
Re(
解
1. I0 82 62 10A
I2
I0
2. Z2 R，I0max 8 6 14A
U , I1
3. Z1 jXL,
Z
为何参数
2
A0 ＝I0min=?U
4. Z1 jX L, Z2 jXC A0 ＝ A1
A0 Z1
A1
Z2 A2
A2 ＝?
I2
I2
U
y u
arctgwL
R
i
R2
2U
w2L2
cos(wt
yu

arc tg wL )
R
相量法的优点
①把时域问题变为复数问题； ②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
注意: 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
w1
w
N
线性
w2
N
线性
例1. 已知 i 141.4 cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V 试用相量表示 i, u 。
解：

I
10030o A

U 220 60o V

例2. 已知I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
2

U
1
e
jw
t
)

Re(
2

U
2
e
jw
t
)
Re(

2U1
e jwt

2

U
2
e
jw
t
)
Re(
得：
U U1 U 2
2

(U
1


U
2
)e
jw
t
)
U
1、线性性质 f af1 bf2 则



F a F1 b F2
例 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
注意:只适用正弦量
i(t ) I m sin(wt y ) 2I sin(wt y )
8.3. 正弦量的相量表示
i(t) Im cos(wt y )
复函数
A(t ) 2 Ie j(wty )
2I cos(wt y )
I e j(w t1yi )
m t1
Ime jy yi
0000 0
t
yy y =y0 =/2y =-/2
二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i)
相位差 j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i j >0， u 领先(超前)i ，或i 落后(滞后) u
非 线性
不适用
8.4 电路定理和电路元件的相量形式
一. 电阻
i(t)
+ uR(t) -
已知 i(t) 2I cos(wt y )
则 uR (t) Ri(t) 2RI cos(wt y )
相量形式：
R I Iy U R RIy
有效值关系：UR = RI 相位关系：u , i 同相
u, i u
i
0
wt
U jwL I 有效值关系
+
U jw L
-
U=w L I
相量模型
相位关系 u 超前 i 90°
U
I
波形图
相量图
感抗
U=w L I XL= U/I =w L= 2 f L， 单位: 欧
感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力；
错误的写法
wL u
i
wL

U I
u, i i
u
0
wt
I jwC U
有效值关系
I=w C U
相位关系 i 超前u 90°
I
+1
U jwC
相量模型
I
U
波形图
相量图
容抗
I=w CU
U 1
I wC
容抗的物理意义：
XC
定义

1
wC
(1) 表示限制电流的能力；
错误的写法
1 u
wC i
1
wC

U I
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
(2) 感抗和频率成正比。
XL
w 0(直流), X L 0, 短路;
w , X L , 开路;
w
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压。
二 . 电容
i (t)
+
u(t)
C
-
时域模型
时域
频域
u(t) 2U sinwt
U U 90o
i(t) C du(t) dt
2wCU cos wt 2wCU sin(wt 90o )
1.有效值(effective value)定义
def
I
1 T i 2 (t )dt
T0
有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为 rms。)
电压有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imsin(w t + y )
I
复常数
称

I

Iy 为正弦量 i(t) 对应的相量。
有效值复数
最大值复数

I m Ime jyi Imy i


Im 2I

i(t) 2I cos(wt y ) I Iy
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位

u(t) 2U cos(wt y ) U Uy