初中数学中求极值的几种常见的方法

初中数学中求最值的几种常见方法

仪陇县实验学校李洪泉

在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或

最小值。同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高

中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数

学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。

一、根据绝对值的几何意义求最值

实数的绝对值具有非负性，a0 ，即 a 的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一

些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。若根据绝对值的几何意义求最值就能够

把一些复杂的问题简单化。

例 1：已知 M x 1x 3 ，则M的最小值是。

【思路点拨】用分类讨论法求出x 1x 3 的最小值是4, 此时 3 x 1 。如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点 1 和点 3 的距离之和为最短。

显然 ,若x 3 ,距离之和为[1 ( 3)]2( 3 x ) 4 ;若 3 x 1 ,距离之和为 1 ( 3) 4 ;

若 x 1 ,距离之和为[1 ( 3)] 2( x 1) 4 。所以,当 3 x 1 时,距离之和最短,最小值

为4。故M的最小值为 4。

二、利用配方法求最值

完全平方式具有非负性，

2 2

即 ( a b ) 0 。一个代数式若能配方成 m ( a b )k 的形式，

则这个代数式的最小值就为k 。

例 2：设a , b为实数，求a2 ab b2 a 2 b 的最小值。

【思路点拨】一是将原式直接配方成与 a , b 的完全平方式有关的式子可以求出最小值。

二是引入参数设 a 2 ab b 2 a 2b t ，将等式整理成关于 a 的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。

解： (方法一 ) 配方得：

2

ab

2

a 2 b

a b

2

(b 1) a

2

2 b

a b

( a b 1 )2 3 b2 3 b 1

2 4 2 4 ( a

b 1 2 3 2

1 1

2

) ( b 1)

4

b 1

0, b 1 0, 即 a 0, b 1 时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值当 a

2

为 1 。

（方法二）令 a 2

ab

b 2

a

2b t

，整理得 a 2

(b 1) a

(b 2

2b t )

0 ，由题

可知此关于 a 的二次方程有实数解，

( b

2

2

2 b t ) 0

1) 4( b

3b 2 6b

4 t 1 0

3

2

3 b 1

t

b

2 4

4

3 (b 1) 2

1

t

4

当 b

1 时，上式中不等号的等式成立，故

t 的最小值为 1 ，即原式的最小值为 1 。

例 3：若 x 1 y 1 z 2 y 2 z 2 的最小值为（ ）

2 3 ，则 x 2

A ．3

B.

5 9 C. 9 D. 6

1 4

2

【思路点拨】 引入参数设 x

1

y 1 z 2

k ，则 x 2

y 2

z 2 就可用含 k 的代数式

2

3

表示，再通过配方求最小值。

解：令 x

y

1 z

2 k ，则 x

k

1, y

2 k

1, z

3k

2 ，

1

2 3

x

2

2

2

y z

( k 1) 2 (2 k 1) 2 (3 k 2) 2

14( k

5 ) 2 59 59

14

14 14

当 k

5 x y

z 59

14 时，上式中不等号的等式成立。故

2 2

2 的最小值为

。

1 4

三、利用对称图形求最值

根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值。

若两条线段在某条直线的同侧

时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，

进而求出最值。

例 4、如下图，已知边长为

8 cm 的正方形 AB C D ，点 E 在 A B 上，且 A E

2 cm 。在

对角线 B D 上求作一点 P ，使 AP

EP 最短，并求出它的最小值。

【思路点拨】此题是要在段最短”，只需把 A P 和 EP 方形是轴对称图形，对角线

B D 上找一点 P ，使 AP EP 的和最小。根据“两点之间线

转化到一条线段上，这就需要找到 E 点关于 BD 的对称点。正

B D 所在的直线是它的对称轴，而点 E 的对称点 E

在正方形的