典型例题

n 1
n
0 。
D.若级数 an发散，则存在非零常数 ，使得
n 1

lim nan
n
1 解答：用排除法：取 an ，则 lim nan 0 ，但 n nInn

1 1 an an 发散，排除 A,D 。又取 ，则 nInn n 1 n 1 n n
n 4 a tan xdx ,证明对于任意的常数 例10. 设 n 0

an 0, n 收敛. n 1
证：利用定积分的换元法，令 tan x t ，得 n 1 t 1 1 n n 4 dt t dt 0 an 0 tan xdx 0 2 0 1 t n 1

敛域。 n t ( x 1 ) 解： 令 ，则原级数变为 a n t 。 n 1 当x 2 时， t 1，由阿贝尔定理，在 t 1 收敛 即 x 1 1 ，于是 1 x 1 1 即 (0, 2) 是幂级数的 收敛区间。 an ，而由幂级数在 x 2 处 当 x 0 时，原级数为 n0 an 条件收敛，知条件收敛，所以，所求收敛域
n 1

1 1 an In (1 )与 又因当 n 时， 是等价无穷 n n
2 2
1 In (1 ) n 1 lim 1 小,即 n ，且 发散，所以 1 n 1 n n 2
2
a
n 1
n
发散。
例8 (06,一)若级数
a 收敛，则级数
n 1 n

an 收敛. （A）

n 1
n 1
an an qn 2
及收敛级数的运算性质知 pn 与 qn 都收敛。
n 1
n 1


1 ) ， 例7．（92，一）设 an cos n In(1 n (n 1, 2, ) ，则级数
2 a a A n 与 n 都收敛；B


n 1
n 1
n 1
2 lim n 级数 an 收敛，但 n an ，排除C，
故应选B。 也可用比较判别法的极限形式:
1 an lim nan lim 0 而级数 发散， n n 1 n n
因此
a
n 1

n
发散.故应选B。
n 1 例5（02，一）设 u 0n 1,2, 且 lim n u n
散，而 (un vn ) 收敛。
n 1

故选B。
例4（04，一）设为正项级数,下列结论中正确的是
an 收敛。 A.若 lim nan 0，则级数 n 1
n

nan ,则级数发散。 B.若存在非零常数 ，使得 lim n
2 a lim n an C.若级数 n 收敛，则
a 与 a 都发散；
n 1 n
2 n 1 n


2 a a n 收敛。 C an收敛， an 发散；D n发散，
2


n 1
n 1
n 1
n 1
1 1 n ) (1) In(1 ) 解答：选C；因 an cos n In(1 n n
故 an 满足莱布尼兹判别法条件，因此收敛,
1 1 un un 1
单调减少。
an an an an qn 例6（03，三）设 pn ， ， 2 2
，则以下命题正确的是 A 若 an 条件收敛，则 pn与 qn 都收敛。
n 1
n 1, 2,

n 1

n 1

B 若 an 绝对收敛，则 pn 与 qn都收敛。
(a2 n1 a2 n )
n 1

(a1 a2 ) (a3 a4 )
而收敛的级数加上括号仍收敛; A,B中的 a2n1 ,
a
n 1

2n
均发散;
C.发散级数加上括号不一定收敛。
例3（04 ，三）设有以下命题： ① 若 (u2 n1 u2n )收敛，则 un 收敛。


二、幂级数例题解答
n n a x b x 例1 （02，三）设幂级数 n 与 n 的收敛半径
n 1

n 1
2 1 a n n 5 x 分别为 与 ，则幂级数 2 的收敛半径为 3 n 1 bn 3 1 1 5 A. 5 B. C. D. 3 5 3
• 本题在大纲所要求的内容范围之内求解需 bn 附加条件： lim an lim
n 1

n 1 n 1
C 若 an 条件收敛，则 pn 与 qn 的敛散性不定。
n 1
n 1



p a D若 绝对收敛，则 与 q 的敛散性不定。
n 1 n
n 1 n

n 1
n 1
n
解答：选B；若 an 绝对收敛，即 an 收敛，当然


an an 有 an 收敛，再根据 pn 2 n 1
典型例题
一.数项级数
n 1 ( 1) un 2 ， 例1 （91，一）已知级数 u2n1 5 n 1
n 1


求 u n 的和。
n 1

n 1 ( 1) un u1 u2 u3 u4 解 因 n 1

u
n 1

2 n 1
u1 u3 u5
n
n 1
【分析】利用介值定理证明存在性，利用单 调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可 用比较法判定。
n f ( x ) x nx 1 。由 【证】 记 n fn (0) 1 0, fn (1) n 0
及连续函数的介值定理知，方程 x nx 1 0 存在正实数根 xn (0,1) 。 n1 f ( x ) nx n 0，可见 f n ( x)在 当 x 0 时， n [0, )上单调增加，故方程存在惟一正实数 根 xn .

an 1 1 0 1 n (n 1)n n

因当 0 时，
n 1
1 n
1
收敛， 故原级数收敛。
例11. （98，一）已知 an 0,且 an1 an (n 1, 2, )
1 若级数 (1) an 发散,证明 (1 a )n n=1 n 1 n

故
2 u2 n1 (1)n1un un
n 1 n 1

从而
u
n
2 5 2 10 2 8
n 1 a ( 1) an收敛，则下 例2（05，三）设若 发散，


列结论正确的是

n 1
n
n 1
A. a2n1 收敛， a2n 发散；



解答：①错误；如令 un (1) ，显然， un 发散，
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而
(u
n 1

2 n 1
u2 n )
收敛。
n 1
②正确；因为改变、增加或减少级数的有限项，不 改变级数的收敛性。 un1 lim 1可得到 un 不趋向于零，所以 ③正确；因为 n u n u n 发散。 n 1 1 1 un ， vn 都发 ④错误；如令 un n , vn n ，显然， n 1 n 1
n
an 1
n
bn 1
均存在，否则无法求解。 解答 假设上述条件满足，选A。
2 an an 2 5 2 ( ) ( ) 2 bn an 1 lim 2 lim 3 5 n a n bn 2 1 2 n 1 ( ) ( ) 2 3 bn 1 bn 1
注：若
an lim n a n 1
存在（设为R），则幂级数的

n a x 收敛半径为R；反之不然，即若 n n 1
的收敛
an 半径为R，但是 lim 不一定存在，这是一 n a n 1
个易出错的问题。
例2 下列命题是否正确？ an 1 1 n A.幂级数 an x 的收敛半径为 R 0 ,则 lim n a R n 0 n B.若 lim n
n 1

（B） (1) an 收敛.
n n 1


an an 1 （C） an an 1收敛. （D） 收敛. 2 n 1 n 1


解答: 选D.
例9（04，一）设有方程 x nx 1 0,其中 x n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 n。 x 并证明当 1 时，级数 n 收敛。
n

收敛. 存在，
证：
lim an an 单减，且 an 0有下界。 n
设为 a ，则 a 0. 若 a

0 ，由莱布尼兹定理知，
n ( 1) an 收敛，与题设矛盾，故a n 1
0
。
1 1 1 于是 ， an 1 a 1

1 n 1 n ) ( ) 从而 ( an 1 a 1
1 1 1 的几何级数， 由于 是公比 n a 1 n 1 ( a 1)
故收敛，由比较判别法，原级数收敛。
例12．判断下列级数的敛散性：
1.
n 1
1 n 1 In( ) n n
an n! 2. n a 0 n 1 n
an 3. p p 0 n 1 n


的收敛域为[1,1] 。
解答： D正确
A错误，原因见例1，lim
n
an an 1 不一定存在；
B错误，幂级数的收敛半径必存在且唯一； C错误，取 an
1 n n
， nan x
n n 1 n 1


1 n x 的收敛区 n
间为 [1,1) ；
2n a ( x 1) 例3 幂级数 n 在 x 2 处条件收敛，求其收
n
由 x nx 1 0 与 xn 0
n
1 x 1 知 0 xn n n
n n
故当
1 0 xn ( ) 。而正项级数 1时， n


1 收 n 1 n

敛，所以当
x 1时，级数 n 收敛。
n 1
注：本题是利用介值定理和级数判敛的综合 题。
(1) lim
n
n 1
故
1 1 (1) ( ) 条件收敛. un un1 n 1
n 1

1 1 ( ) un un 1 n n lim( )2 而 n 1 un un 1 n
1 发散, n n 1

注意：本题不可以用莱布尼兹判别法来说明C 正确，因为不能得证数列
n 1

n 1

B.
a 收敛， a 发散；
n 1 2n
n 1 2 n 1

C. (a2n1 a2n ) 收敛；
n 1

D.
(a
n 1

2 n 1
a2 n ) 收敛。
解 选D.因为
n 1 ( 1) an a1 a2 a3 a4 n 1

an 1 不存在，则幂级数没有收敛半径; an
n a x C.若 n 的收敛域为 [1,1] 且 lim n 0
an 存在，则幂 n a n 1
级数 nan x n的收敛域也为 [1,1] ；
n 1
a an n n n x D. an x 的收敛域为 [1,1] 且 lim 存在 , 则 n a n 0 n 1 n 0 n 1
n 1
n 1
② 若 un 收敛，则
n 1

u
n 1

n 1000
收敛。
un1 1 ，则 un 发散。 ③ 若 lim n u n 1 n
(un vn ) 收敛，则 un, vn 都收敛。则以上命 ④ 若 n 1 n 1 n 1 题中正确的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④
n
1 1 ) 则级数 (1) ( un un1 n 1
n 1

A.发散；
B.绝对收敛；
C.条件收敛；
D.收敛性根据所给条件不能判断。
n 解答：选C. 由un 0 ，且 lim 1 ，知 n u n 1 n 1
lim lim(
)0 n u n u n n n 令 S n (1)k 1 ( 1 1 ) 1 (1)n1 1 n uk uk 1 u1 un1 k 1 1 1 n 1 1 lim S ( 1) ( ) 收敛,但 则 n n 从而 un un1 u1 n 1