保险精算 第5章2(2)年金的精算现值
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5.3离散型生存年金
简介
＊离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段 时期支付一次年金的保险。
＊离散生存年金与连续生存年金的关系：
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和
＊离散生存年金的分类：
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
(7) A4 0： 0.09 1 0|
1
（8）张发财获得中奖时40岁。 求M。
答案
1 0| M 1 0| a 4 0 解：1000000 M a
40 10 E40 a 50 10 | a
1 A50 50 a d
A4 0 A410： 1 0E4 0 A5 0 1 0|
经济 意义
重新整理可得：
1 i a x ia x a Ax ax x 1 i 1 i 1 i 1 i
x ax va
解释: va x为年龄为x岁的生存者期初付年金v元的终身 生存年金精算现值； ax 为x岁生存者期末付终身生存 年金的精算现值；两者唯一的差别是在死亡当年， x来说，v元已支付，而对 对va ax来说， 1元尚未支付。 所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
5 72 10 39 90 5vp 90 10v 2 p90 a 6.97 2 1.05 100 1.05 100
2
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
初付付生存年金与期末付生存年金的关系
a a ？ d i
1.终身生存年金
或 1 iax (1 i) Ax
M 53840 (元)
2
K 1
K
1 v K 1 d
K 1
1 Ax 1 E (v ) 1 v x E(Y ) E a d d d
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的wk.baidu.com系
经济意义：x岁的人投资1元，从投资日起在生存期
间内每年年初得到利息d元，利息给付的精算现为 为 当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
则该险种的趸缴纯保费为多少？
解： 令该险种的趸缴纯保费 为P。
25 P P A215： 135 | a 3 5|
60 0.08 P 0.15 10 P 0.0835 E25 a
P 1.63
思考题
张发财赢得了金额为一百万元的体育彩票（税后）， 张不要求立即支付，而按照精算等价原理得到如下一个 年金： （1）该年金保证支付10年，每年支付数额为M元； （2）10年后，若此人生存则继续支付，每年仍为M元； （3）支付在每年年初进行； (4) i 0.04 (5) A40 0.30 (6) A50 0.35
x ； da
Ax 。
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
1 Z 运用 Y 来计算， d
或
对于延期年金
同理可证：
例4.4
已知 i = 0.05
dx
lx
x
90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －
90 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求： a
现时支 付法
1.终身生存年金 2. 定期生存年金
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
1.设K为x岁的人未来取整余命，Y为给付年金现值随 机变量。 根据总额支付法：
K1| 1 v v v Y a
即 Ax 。
与寿险的换算公式注意
,
1 Ax x a d
2.定期生存年金
n
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
例4.5
(25)购买了到60岁退休时领取的终身生存年金，每 年初领取1元，如果此人在退休前死亡，则在死亡年 末得到趸缴纯保费的死亡给付。
1 6 0 10, A215： 已知a 0 . 08 ， A 0.15 ， 3 5| 25 ： 3 5|
简介
＊离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段 时期支付一次年金的保险。
＊离散生存年金与连续生存年金的关系：
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和
＊离散生存年金的分类：
期初年金/期末年金 终身年金/定期年金 延期年金/非延期年金
5.3.1 期初付生存年金及其精算现值
(7) A4 0： 0.09 1 0|
1
（8）张发财获得中奖时40岁。 求M。
答案
1 0| M 1 0| a 4 0 解：1000000 M a
40 10 E40 a 50 10 | a
1 A50 50 a d
A4 0 A410： 1 0E4 0 A5 0 1 0|
经济 意义
重新整理可得：
1 i a x ia x a Ax ax x 1 i 1 i 1 i 1 i
x ax va
解释: va x为年龄为x岁的生存者期初付年金v元的终身 生存年金精算现值； ax 为x岁生存者期末付终身生存 年金的精算现值；两者唯一的差别是在死亡当年， x来说，v元已支付，而对 对va ax来说， 1元尚未支付。 所以两者之差等于(x)在死亡当年末给付1元的现值，
5 72 10 39 90 5vp 90 10v 2 p90 a 6.97 2 1.05 100 1.05 100
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5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
初付付生存年金与期末付生存年金的关系
a a ？ d i
1.终身生存年金
或 1 iax (1 i) Ax
M 53840 (元)
2
K 1
K
1 v K 1 d
K 1
1 Ax 1 E (v ) 1 v x E(Y ) E a d d d
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的wk.baidu.com系
经济意义：x岁的人投资1元，从投资日起在生存期
间内每年年初得到利息d元，利息给付的精算现为 为 当此人死亡后，在死亡年末得到返还的1元本金，现值
则该险种的趸缴纯保费为多少？
解： 令该险种的趸缴纯保费 为P。
25 P P A215： 135 | a 3 5|
60 0.08 P 0.15 10 P 0.0835 E25 a
P 1.63
思考题
张发财赢得了金额为一百万元的体育彩票（税后）， 张不要求立即支付，而按照精算等价原理得到如下一个 年金： （1）该年金保证支付10年，每年支付数额为M元； （2）10年后，若此人生存则继续支付，每年仍为M元； （3）支付在每年年初进行； (4) i 0.04 (5) A40 0.30 (6) A50 0.35
x ； da
Ax 。
n年定期生存年金
设Z为保额1元的n年期两全保险的给付现值随机变量。
1 Z 运用 Y 来计算， d
或
对于延期年金
同理可证：
例4.4
已知 i = 0.05
dx
lx
x
90 100 28
91 72 33
92 39 39
93 0 －
90 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求： a
现时支 付法
1.终身生存年金 2. 定期生存年金
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与 死亡年末付寿险精算现值之间的关系
1.设K为x岁的人未来取整余命，Y为给付年金现值随 机变量。 根据总额支付法：
K1| 1 v v v Y a
即 Ax 。
与寿险的换算公式注意
,
1 Ax x a d
2.定期生存年金
n
3.延期n年的终身生存年金
4.延期m年的n年定期生存年金
例4.5
(25)购买了到60岁退休时领取的终身生存年金，每 年初领取1元，如果此人在退休前死亡，则在死亡年 末得到趸缴纯保费的死亡给付。
1 6 0 10, A215： 已知a 0 . 08 ， A 0.15 ， 3 5| 25 ： 3 5|