2019年高考数学分类汇编：立体几何
训练一：2019年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题：已知0
90=∠ACB ，P 为平面ABC 外一点，2=PC ，点P 到
ACB ∠两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 。
本题解答：如下图所示：
假设：⊥PO 平面ABC ，OD 、?OE 平面OD PO ABC ⊥?，OE PO ⊥。
22223PO PO PD OD OD PO -=-=?⊥，22223PO PO PE OE OE PO -=-=?⊥ OE OD OE OD =?=?22。
⊥PO 平面ABC ，AC ，?BC 平面AC PO ABC ⊥?，BC PO ⊥。
AC PO ⊥，AC PD ⊥，PO 、?PD 平面⊥?AC PDO 平面PDO ，?OD 平面OD AC PDO ⊥?。
BC PO ⊥，BC PE ⊥，PO 、?PE 平面⊥?BC PEO 平面PEO ，?OE 平面OE BC PEO ⊥?。 OD AC ⊥，OE BC ⊥，?=∠090ACB 四边形CEOD 是矩形，?=OE OD 四边形CEOD 是正方形。
在COD Rt ?中：2
2
2
2
2
2
2633PO PO PO CD OD CO -=-+-=+=。
⊥PO 平面ABC ，?OC 平面222222226=-+?=+?⊥?PO PO PC OC PO OC PO ABC
?=?=?222PO PO P 到平面ABC 的距离为2。
训练二：2019年高考文科数学新课标Ⅰ卷第19题：如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，41=AA ，
2=AB ，060=∠BAD ，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，D A 1的中点。
（Ⅰ）证明：//MN 平面DE C 1； （Ⅱ）求点C 到平面DE C 1的距离。
本题解答：（Ⅰ）证明：连接ME 和C B 1。
M 是1BB 的中点，E 是BC 的中点ME ?是C BB 1?的中位线C B ME 1//?，C B ME 12
1
=
。
AB B A //11，CD B A CD AB ////11?。AB B A =11，CD B A CD AB =?=11，CD B A //11
?四边形CD B A 11是平行四边形C B D A 11//?，C B D A 11=。
C B
D A 11//，M
E ND ME D A C B ME //////11??。
N 为D A 1的中点D A ND 121=
?，C B ND C B D A 11121=?=，ME ND C B ME =?=12
1
，ME ND // ?四边形NMED 是平行四边形DE MN //?，?DE 平面DE C 1//MN ?平面DE C 1。
（Ⅱ）解答：⊥1CC 平面ABCD ，三棱锥DE C C 1-中点C ，D ，E 是底面ABCD 的三个点
?底面CDE ，上顶点1C ，高1CC 。
根据等体积法得到：DE
C CDE C CDE DE C C CDE C DE C C S S CC h S CC S h V V 11111131
31????--?=???=???=。 ①计算高：411==AA CC 。 ②计算CDE ?的面积：如下图所示：
2
3
231221sin 21=???=∠???=
?DCE CE CD S CDE 。 ③计算DE C 1?的面积：如下图所示：
根据余弦定理得到：332
1
41460cos 122120
2
2
2
=?=?
-+=???-+=DE DE 。 根据勾股定理得到：52204162412221=?=+=+=D C D C ；17171412
221=?=+=E C E C 。
在DE C 1?中：32=DE ，2021=D C ，E C DE D C E C DE E C 12
12122117⊥?=+?=。如下图所示：
2
51
173212111=??=??=?E C DE S DE C 。
所以：1717417
42
5123
411==?
=
?=
??DE
C CDE
C S S CC h 。
训练三：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第12题：已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，
PC PB PA ==，ABC ?是边长为2的正三角形，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，090=∠CEF ，则球O 的体
积为（ ）
A.π68
B.π64
C.π62
D.π6 本题解答：第一步：计算ABC ?的外接圆半径和圆心1O 坐标。如下图所示：
)0,0,1(-A ,)0,0,1(B ,)0,3
3
,0()3000,3300,3011(
)0,3,0(11O O C ?++++++-?。)0,0,0(F 。 3
3
234311)00()330()01(222111=
=+=-+-
+--====C O B O A O r 。 第二步：计算正三棱锥上顶点P 的坐标和PA 的中点E 的坐标。
正三棱锥上顶点P 与下底面外接圆圆心1O 的连线垂直于底面⊥?1PO 底面ABC ，假设a PO =1，)0,3
3
,
0(1O ),33,
0(a P ?。E 为),33,0(a P 和)0,0,1(-A 的中点)2
,63,21(a E -?。 第三步：处理0
90=∠CEF 。
)2,635,21()2,63,21()0,3,0(a a -=--=，)2
,63,21()2,63,21()0,0,0(a
a --=--=。
0)2()2()63(63521210900
=-?-+-?+??=??⊥?=∠a a CEF 06
1
42=-?a
3
6
363212=?=?=
?PO a a 。 第四步：计算外接球的半径。
正三棱锥的外接球球心在上顶点P 与底面ABC ?的外接圆圆心1O 的连线上。如下图所示：
在A OO Rt 1?中：2
6
3436232)332()36(
22222=?=++-?=+-R R R R R R 。 所以：外接球的体积ππππ64
6
334)26(343433=?=?==
R V 。 训练四：2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第18题：如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，41=AA ，
2=AB ，060=∠BAD ，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，D A 1的中点。
（Ⅰ）证明：//MN 平面DE C 1； （Ⅱ）求二面角-A -1MA N 的正弦值。
本题解答：（Ⅰ）证明：连接ME 和C B 1。
M 是1BB 的中点，E 是BC 的中点ME ?是C BB 1?的中位线C B ME 1//?，C B ME 12
1
=
。 AB B A //11，CD B A CD AB ////11?。AB B A =11，CD B A CD AB =?=11，CD B A //11
?四边形CD B A 11是平行四边形C B D A 11//?，C B D A 11=。
C B
D A 11//，M
E ND ME D A C B ME //////11??。
N 为D A 1的中点D A ND 121=
?，C B ND C B D A 11121=?=，ME ND C B ME =?=12
1
，ME ND // ?四边形NMED 是平行四边形DE MN //?，?DE 平面DE C 1//MN ?平面DE C 1。
（Ⅱ）解答：在底面ABCD 上建立平面直角坐标系。如下图所示：
)0,0,3(-A ，)0,1,0(-B ，)0,0,3(C ，)0,1,0(D 。E 为)0,1,0(-B 和)0,0,3(C 中点)0,2
1
,23(
-?E 。 侧棱)4,0,3(411-?=A AA ，)4,1,0(1-B ，)4,0,3(1C ，)4,1,0(1D 。
N 为)4,0,3(1-A 和)0,1,0(D 的中点)2,2
1
,23(-
?N ；M 为)0,1,0(-B 和)4,1,0(1-B 中点)2,1,0(-?M 。 ①假设：平面M AA 1的法向量),,1(z y =。
)
4,0,0()0,0,3()4,0,3(1=---=；)2,1,3()0,0,3()2,1,0(-=---=。 00411=?=???⊥z z ；303023=?=-?=+-?⊥y y z y 。 所以：)0,3,1(=m 。
②假设：平面1MNA 的法向量),,1(z y =。
)0,2
3
,23()2,1,0()2,21,23(-=---
=；)2,1,3()2,1,0()4,0,3(1-=---=。 33023230=?=+-
?=??⊥y y ；3
3
023011=?=++-?=??⊥z z y MA MA 。 所以：)3
3
,33,
1(=n 。 角-A -1MA N 的正弦值。
所以：二面角的余弦值：515533522)3
3
()33(10)3(133033311||||cos 222222=
=?
=++?++?
+?+
?=?=n m θ。
训练五：2019年高考数学新课标Ⅱ卷文科第7题理科第7题：设α，β为两个平面，则βα//的充要条件是（ ） A.α内有无数条直线与β平行； B.α内有两条相交直线与β平行； C.α,β平行于同一条直线； D.α,β垂直于同一平面。
本题解答：根据两个平面平行的判定定理得到：α内有两条相交直线与β平行βα//??充分性成立。 根据两个平面平行，其中一个平面上任意一条直线与另一个平面平行得到：?βα//α内有两条相交直线与β平行?必要性成立。
所以：“α内有两条相交直线与β平行”是“βα//”的充要条件。
训练六：2019年高考文科数学新课标Ⅱ卷第17题：如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1EC BE ⊥。 （Ⅰ）证明：⊥BE 平面11C EB ；
（Ⅱ）若E A AE 1=，3=AB ，求四棱锥C C BB E 11-的体积。
本题解答：（Ⅰ）证明：⊥11C B 平面11ABB A ，?BE 平面11ABB A BE C B ⊥?11，BE EC ⊥1，
11C B 、?1EC 平面⊥?BE C EB 11平面11C EB 。
（Ⅱ）解答：取1CC 的中点F ，连接EF 。假设：侧棱长度为a 2。 正方形ABCD ，矩形11ACC A ，矩形11ABB A 和矩形11BCC B 。如下图所示：
22122
118a F C EF EC +=+=，22229a AE AB BE +=+=，22
122
149a CC BC BC +=+=。 ?=?+=+++?=+?⊥3499182222
122
11a a a a BC BE EC BE EC 侧棱长62=a 。
取1BB 的中点G ，连接EG 。
AB EG //，⊥AB 平面11CC BB ⊥?EG 平面11CC BB 183633
1
311111=???=??=?-C C BB C C BB E S EG V 。
训练七：2019年高考理科数学新课标Ⅱ卷第17题：如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1EC BE ⊥。 （Ⅰ）证明：⊥BE 平面11C EB ；
（Ⅱ）若E A AE 1=，求二面角1C EC B --的正弦值。
本题解答：（Ⅰ）证明：⊥11C B 平面11ABB A ，?BE 平面11ABB A BE C B ⊥?11，BE EC ⊥1，
11C B 、?1EC 平面⊥?BE C EB 11平面11C EB 。
（Ⅱ）解答：在底面正方形ABCD 上建立平面直角坐标系。假设底面的边长为a 如下图所示：
)0,0,0(A ，)0,0,(a B ，)0,,(a a C ，)0,,0(a D 。
假设：侧棱长为b 2)2,0,0(1b A ?，)2,0,(1b a B ，)2,,(1b a a C ，)2,,0(1b a D 。
E 为)0,0,0(A ，)2,0,0(1b A 中点),0,0(b E ?。
),0,()0,0,(),0,0(b a a b -=-=；),,(),0,0()2,,(1b a a b b a a =-=。
a b a b b b a a a EC BE =?=?=?+?+?-?=??⊥2211000。
假设：平面BCE 的法向量),,1(z y =。
)0,,0()0,0,()0,,(a a a a =-=；),0,(),0,()0,0,(),0,0(a a b a a b -=-=-=。
000=?=?=??⊥y ay BC m BC m ；100=?=+-?=??⊥z az a 。
所以：)1,0,1(=m 。
假设：平面1ECC 的法向量),,1(z y n =。
),,(),,(),0,0()0,,(a a a b a a b a a -=-=-=；),,(),,(),0,0()2,,(1a a a b a a b b a a EC ==-=。 0100=-+?=-+?=??⊥z y az ay a ； 010011=++?=++?=??⊥z y az ay a EC n EC n 。
联立01=-+z y 和01=++z y 得到：1-=y ，)0,1,1(0-=?=n z 。 二面角余弦值：2
3
sin 210)1(110101)1(011|
|||cos 2
22222=
?=
+-+?++?+-?+?=
?=
θθn m 。 训练八：2019年高考数学新课标Ⅲ卷文科第8题理科第8题：如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ?为正三角形，平面⊥ECD 平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）
A.EN BM =，且直线BM ，EN 是相交直线
B.EN BM ≠，且直线BM ，EN 是相交直线
C.EN BM =，且直线BM ，EN 是异面直线
D.EN BM ≠，且直线BM ，EN 是异面直线
本题解答：连接AC 和BD 交于点N ，连接MN 和BE 。
在EDB ?中：N 为BD 的中点，M 为ED 的中点MN ?为EDB ?的中位线BE MN //?
MNBE ?是一个梯形?两条对角线BM 和EN 是相交直线。
取CD 的中点F ，取DF 的中点G 。如下图所示：
平面⊥ECD 平面ABCD ，平面?ECD 平面CD ABCD =，CD MG ⊥，⊥?⊥MG CD EF 平面ABCD ，
⊥EF 平面ABCD 。
⊥MG 平面ABCD ，?BG 平面22222228253a a a BG MG BM BG MG ABCD =+=+=?⊥?
a BM 72=?。
⊥EF 平面ABCD ，?FN 平面22222216412a a a FN EF EN FN EF ABCD =+=+=?⊥? a EN 4=?。
所以：EN BM ≠。
训练九：2019年高考文科数学新课标Ⅲ卷第19题：图1是由矩形ADEB ，ABC Rt ?和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1=AB ，2==BF BE ，0
60=∠FBC ，将其沿AB ，BC 折起使得BE 和BF 重合，连接DG ，如图2。
（Ⅰ）证明：图2中A ,C ,G ,D 四点共面，且平面⊥ABC 平面BCGE 。 （Ⅱ）求图2中的四边形ACGD 的面积。
本题解答：（Ⅰ）折叠前矩形ABED 折叠后还是矩形ABED BE AD //?。
折叠前菱形BCGF 折叠后是菱形BE CG BCGE //?，CG AD BE AD ////??A ,C ,G ,D 四点共面。 折叠前ABC Rt ?折叠后还是ABC Rt ?BC AB ⊥?。折叠前矩形ABED 折叠后还是矩形ABED BE AB ⊥?。
BC AB ⊥，BE AB ⊥，BC 、?BE 平面⊥?AB BCGE 平面BCGE 。
（Ⅱ）取CG 的中点M ，连接EM 。如下图所示：
⊥AB 平面BCGE ，?EM 平面BCGE EM AB ⊥?，EM DE DE AB ⊥?//。
在EGM ?中：2=EG ，122
1
21=?==
GC GM ，060=∠EGM 。 2222223cos 2EG GM EM EGM GM EG GM EG EM =+?=∠???-+=GM EM ⊥?，GM DE ⊥，
EM 、DE ?平面⊥?GM DEM 平面DEM ，?DM 平面DEM DM GM ⊥?。
在DMG Rt ?中：241412
2
2
2
2
2
2
2
=?=-+=-+=-=-=DM GM BC AB GM AC GM DG DM 。 所以：422=?=?=GC DM S ACGD 。
训练十：2019年高考理科数学新课标Ⅲ卷第19题：图1是由矩形ADEB ，ABC Rt ?和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1=AB ，2==BF BE ，0
60=∠FBC ，将其沿AB ，BC 折起使得BE 和BF 重合，连接DG ，如图2。
（Ⅰ）证明：图2中A ,C ,G ,D 四点共面，且平面⊥ABC 平面BCGE 。 （Ⅱ）求图2中的二面角A CG B --的大小。
本题解答：（Ⅰ）折叠前矩形ABED 折叠后还是矩形ABED BE AD //?。
折叠前菱形BCGF 折叠后是菱形BE CG BCGE //?，CG AD BE AD ////??A ,C ,G ,D 四点共面。 折叠前ABC Rt ?折叠后还是ABC Rt ?BC AB ⊥?。折叠前矩形ABED 折叠后还是矩形ABED BE AB ⊥?。
BC AB ⊥，BE AB ⊥，BC 、?BE 平面⊥?AB BCGE 平面BCGE 。
（Ⅱ）在菱形BCGE 建立平面直角坐标系，如下图所示：
)0,0,3(-B ,)0,1,0(-C ,)0,0,3(G ,)0,1,0(E 。
⊥AB 平面BCGE ，)0,0,3(-B ，)1,0,3(1-?=A AB 。 ⊥DE 平面BCGE ，)0,1,0(E ，)1,1,0(1D AB DE ?==。
假设：平面BCG 的法向量)1,,(y x m =。
)0,1,3()0,0,3()0,1,0(-=---=BC ；)0,0,32()0,0,3()0,0,3(=--=BG 。
030=-?=??⊥y x ；00320=?=?=??⊥x x BG m BG m ，003=?=-y y x 。
所以：)1,0,0(=。
假设：平面ACG 的法向量),,1(z y n =。
)1,1,3()1,0,3()0,1,0(--=---=AC ；)1,0,32()1,0,3()0,0,3(-=--=AG 。
320320=?=-?=??⊥z z AG n AG n ；3030-=?=--?=??⊥y z y AC n AC n 。
所以：)32,3,1(-=。
二面角的余弦值234132)32()3(1100321)3(010|
|||cos 2
22222=?=
+-+?++?+-?+?=
?=
n m θ?二面角为6
π
。 训练十一：2019年高考数学北京卷文科第12题理科第11题：某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 。
本题解答：上方的三视图如下图所示：
底面积：
2222
1
=??，高：?4体积：842=?。 下方的三视图如下图所示：
底面积：842=?，高：4?体积：3248=?。 所以：体积等于上方体积加下方体积40328=+=。
训练十二：2019年高考数学北京卷文科第13题理科第12题：已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断：①m l ⊥； ②α//m ； ③α⊥l 。
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 。
本题解答：过直线m 的平面β与平面α交于直线n 。如下图所示：
根据直线与平面平行的性质定理：α//m ，β?m ，n m n //?=?βα。
α⊥l ，n l n ⊥??α，m l n m ⊥?//。
所以：②α//m 和③?⊥αl ①m l ⊥。
训练十三：2019年高考文科数学北京卷第18题：如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点。 （Ⅰ）求证：⊥BD 平面PAC ；
（Ⅱ）若0
60=∠ABC ，求证：平面⊥PAB 平面PAE ；
（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由。
本题解答：（Ⅰ）证明：底面ABCD 是菱形AC BD ⊥?。⊥PA 底面ABCD ，?BD 底面BD PA ABCD ⊥?。
PA BD ⊥，AC BD ⊥，PA 、?AC 平面⊥?BD PAC 平面PAC 。
（Ⅱ）⊥PA 底面ABCD ，?AE 底面AE PA ABCD ⊥?。
006060=∠?=∠ADC ABC ，ACD CD AD ??=是等边三角形，E 为CD 的中点CD AE ⊥?，CD AB //
AB AE ⊥?，PA AE ⊥，AB 、?PA 平面⊥?AE PAB 平面PAB ，?AE 平面?PAE 平面⊥PAB 平面PAE 。 （Ⅲ）假设：F 为PB 的中点。如下图所示：
取PA 的中点G ，连接FG 和EG 。
F 为PB 的中点，
G 为PA 的中点FG ?为PAB ?的中位线AB FG //?，AB FG 2
1
=。 AB FG //，CE FG CD FG CD AB //////??。AB FG 21=
，CD FG CD AB 21=?=，CD CE 2
1
= CE FG =?，?CE FG //四边形CEGF 为平行四边形EG CF //?，?EG 平面//CF PAE ?平面PAE 。
训练十三：2019年高考理科数学北京卷第16题：如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，CD AD ⊥，
BC AD //，2===CD AD PA ，3=BC 。E 为PD 的中点，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
3
1
=PC PF 。 （Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAD ； （Ⅱ）求二面角P AE F --的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且
3
2
=PB PG 。判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由。
本题解答：（Ⅰ）证明：⊥PA 平面ABCD ，?CD 平面CD PA ABCD ⊥?，CD AD ⊥，PA 、?AD 平面PAD
⊥?CD 平面PAD 。
（Ⅱ）在底面ABCD 建立平面直角坐标系，如下图所示：
)0,2,2(-A ，)0,0,3(-B ，)0,0,0(C ，)0,2,0(D 。⊥PA 平面ABCD ，)0,2,2(-A ，?=2PA )2,2,2(-P 。
E 为)2,2,2(-P 和)0,2,0(D 的中点)1,2,1(-?E 。
PC PF PC PF 3
1
3131=?=?=。假设：点F 的坐标为),,(z y x 。 )2,2,2()2,2,2(),,(--+=--=z y x z y x ，)2,2,2()2,2,2()0,0,0(--=--=，31
=
2312?=+?x ，)2(312-?=-y ，34)2(312-=?-?=-x z ，34=y ，)3
4
,34,34(34-?=F z 。
假设：平面AEF 的法向量),,1(z y =。
)1,0,1()0,2,2()1,2,1(=---=；)3
4
,32,32()0,2,2()34,34,34(-=---=。
1010-=?=+?=??⊥z z AE m AE m ；02103
4
32320=+-?=+-?
=??⊥z y z y AF m AF m )1,1,1(10)1(21--=?-=?=-?+-?m y y 。
假设：平面PAE 的法向量),1,(z x =。
)2,0,0()2,2,2()0,2,2(-=---=；)1,0,1()2,2,2()1,2,1(-=---=。
0020=?=-?=??⊥z z ；)0,1,0(000=?=?=-?=??⊥x z x 。
二面角的余弦值3
3131010)1()1(1|0)1(1)1(01||
|||cos 2
22222=?=
++?-+-+?-+?-+?=
?=
n m θ。 （Ⅲ）假设：点G 的坐标为),,(z y x 。)2,2,2()2,2,2(),,(--+=--=z y x z y x PG ；
)2,2,1()2,2,2()0,0,3(---=---=PB ，)1(32232-?=+?=
x PB PG ，)2(322-?=-y ，)2(3
2
2-?=-z 38-=?x ，32=y ，)3
2
,32,38(32-?=G z 。
根据（Ⅱ）得到平面AEF 的法向量)1,1,1(--=。)3
2,34,32()0,2,2()32
,32,38(--
=---=。 //03
2
)1()34()1()32(1AG ?⊥?=?-+-?-+-?=?平面AEF ，A 在平面AEF 上
AG ?在平面AEF 上。
训练十四：2019年高考数学天津卷文科第12题理科第11题：已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5。若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 。
本题解答：四棱锥四条侧棱的中点围成的四边形和底面一样为正方形，边长为底面边长的一半
2
2
。 外接圆的半径为2
1
1)22()22(
222=?=+=r r ?圆柱的底面积：πππ41)21(22=?=r 。
四棱锥底面正方形的外接圆半径1'2)2()2('22
2
=?=+=r r 。 四棱锥的高?=-=-=21)5('2
2
2
2
r l h 圆柱的高12
2
2==h 。 所以：圆柱的体积：ππ4
1
141=
?。
训练十五：2019年高考文科数学天津卷第17题：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，PCD ?为等边三角形，平面⊥PAC 平面PCD ，CD PA ⊥，2=CD ，3=AD 。
（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：⊥PA 平面PCD ；
（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值。
本题解答：（Ⅰ）证明：取AB 的中点E ，连接GE 和HE 。如下图所示：
G 是PB 的中点，E 是AB 的中点GE ?是PAB ?的中位线PA GE //?，?PA 平面PAD //GE ?平面PAD 。
H 是AC 的中点，E 是AB 的中点HE ?是ABC ?的中位线BC HE //?，AD HE AD BC ////?， ?AD 平面//HE PAD ?平面PAD ，//GE 平面PAD ，?GE HE ,平面?EGH 平面//EGH 平面PAD ， ?GH 平面//GH EGH ?平面PAD 。
（Ⅱ）证明：取PC 的中点F ，连接DF 。如下图所示：
平面⊥PAC 平面PCD ,平面?PAC 平面PC PCD =,PC DF ⊥,?DF 平面⊥?DF PCD 平面PAC ，
?PA 平面PA DF PAC ⊥?，PA CD ⊥，?CD DF ,平面⊥?PA PCD 平面PCD 。
（Ⅲ）计算：直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值。
直线AD 上点A 在平面PAC 上，直线AD 上点D 不在平面PAC 上
?第一步：计算点D 到平面PAC 的距离。
根据第二问得到：⊥DF 平面PAC ?点D 到平面PAC 的距离为DF 的长度。 在等边PCD ?中：2=CD ，PC DF ⊥。如下图所示：
根据勾股定理得到：33122
2
2
2
2
=?=-=-=DF CF CD DF 。 第二步：计算直线AD 的长度。题目已知3=AD 。 第三步：计算直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值：3
3
sin ==
AD DF θ。 训练十六：2019年高考理科数学天津卷第17题：如图，⊥AE 平面ABCD ，AE CF //，BC AD //，AB AD ⊥，
1==AD AB ，2==BC AE 。
（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角F BD E --的余弦值为
3
1
，求线段CF 的长。
本题解答：（Ⅰ）证明：AE CF //，?AE 平面ADE //CF ?平面ADE 。AD BC //，?AD 平面//BC ADE ?平面ADE ，//CF 平面ADE ，BC 、?CF 平面?BCF 平面//BCF 平面ADE ，?CF 平面BCF
//CF ?平面ADE 。
（Ⅱ)在底面ABCD 上建立平面直角坐标系，如下图所示：
)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,2,1(C ，)0,1,0(D 。⊥AE 底面ABCD ，2=AE ，)0,0,0(A )2,0,0(E ?。
假设：平面BDE 的法向量),,1(z y m =。
)0,1,1()0,0,1()0,1,0(-=-=；)2,0,1()0,0,1()2,0,0(-=-=。
1010=?=+-?=??⊥y y ；210210=?=+-?=??⊥z z )2
1
,1,1(=?。 )2,2,1()0,2,1()2,0,0(--=-=。
9432322)2()1()2
1(11|
221
)2(1)1(1|||||sin 2
22222=?=+-+-?++?+-?+-?=?=CE m θ。
（Ⅲ）⊥CF 平面ABCD ，)0,2,1(C ，假设),2,1(a F a CF ?=。 根据（Ⅱ）得到：平面BDE 的法向量)2
1
,1,1(=。 假设：平面BDF 的法向量),1,(z x n =。
)0,1,1()0,0,1()0,1,0(-=-=；),2,0()0,0,1(),2,1(a a =-=。
1010=?=+-?=??⊥x x ；a z az 2020-
=?=+?=??⊥)2,1,1(a
-=?。 二面角余弦值22
222222422331123142231
2)2(11)21(11)2(211111|
|||cos a a a a a a n m +??=-?=+?-
=-++?++-?+?+?=?=
θ 7
8
87274121144)42(4114442211222222=?=?=?+=+-?+=+-?+=-
?a a a a a a a a a a a 。 所以：CF 的长度为
7
8
。
2019-2020高考数学试题分类汇编
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2019高考试题分类汇编-立体几何
2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；
最新-江苏高考数学立体几何真题汇编
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
2018-2020三年高考数学分类汇编
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g. 2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为 A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项 2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 （A ）12+π33 （B ）1+π33 （C ）1+π36 （D ）1+π6 2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ） 【答案】B 4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A B C （D ）13 【答案】A 6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 【答案】C 7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A）18+（B）54+（C）90 （D）81 【答案】B 8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C 2019真题汇编--立体几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ， △ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9．【2018年天津卷文】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________． 10．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷文科第9题理科第8题：如图是求 2 12121++ 的程序框图，图中空白框中应填 入（ ） A.A A += 21 B.A A 12+= C.A A 211+= D.A A 21 1+= 本题解答：本题目考察是算法中循环计算的推理。 计数器k 的初始值，循环计算1+=k k ，循环条件12=?≤k k 和2=k ?进行两次循环就可以输出。 2 12121++ 第一次计算分母上 2 121+，A 初始值为 A +? 2121。执行A A +=21 的循环语句，此时新得到 2 1 21+= A 。第二次计算整体 2 12121++ ，新的2 121+= A A +? 21。执行A A +=21之后2 12121 ++ =A 。 所以：循环语句是A A += 21 。 训练二：2019年高考数学新课标Ⅲ卷文科第9题理科第9题：执行下边的程序框图，如果输入的ξ为01.0，则输出的s 的值等于（ ） A.4212- B.5212- C.6212- D.72 12- 本题解答：如下表所示： 所以：输出的62 1 26416412864112864127-=-=-== s 。 训练三：2019年高考数学北京卷文科第4题理科第2题：执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 本题解答：如下表所示： 所以：输出的 2 =s 。 训练四：2019年高考数学天津卷文科第4题理科第4题：阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ） A.5 B.8 C.24 D.29 本题解答：如下表所示： 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2016 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （13立体几何） 一、选择题 1.（2016北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱 锥P ABC -，其体积 111 111 326 V=????=，故选A. 考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算. 【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱. 2.（2016全国Ⅰ文、理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 π ,则它的表面积是( ) （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π 【答案】A 【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1 8 ,设球的半径为R,则3 7428 V R 833 π π =?=,解得R2 =,所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 2271 =42+32=1784 S πππ????故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积 【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以 三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三 视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 3.（2016全国Ⅰ文、理）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面，则m 、n 所成角的正弦值为 ( ) (A) 3 (B )2 (C)3 (D)13 【答案】A 【解析】试题分析：如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m , 平面11 CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D , 所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm , 同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成 的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n 所成角的 正弦值为 3 2 ,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补. 4.（2016全国Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） （A ）12π （B ） 32 3π （C ）8π （D ）4π 【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ?=，故选A. 考点： 正方体的性质，球的表面积. 【名师点睛】棱长为a 的正方体中有三个球： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球.其半径分别为 3a 、2 a 和22a . 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A ． 1 4 B ． 1 2 C ． 1 4 D ． 1 2 10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π， 1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∠CAE =30°，则cos ∠FCB = . 18．（12分） 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是 底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO ． （1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值． 3．C 10．A 16．14 - 18．解：（1）设DO a =，由题设可得,,63 PO a AO a AB a = ==， 2 PA PB PC === . 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，从而PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC . （2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)22 E A C P -. 所以31(,,0),(0,2EC EP =- -=-. 2019年高考数学真题分类汇编 专题01：集合 一、单选题 1.（2019?浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（） A. {-1} B. {0，1} C. {-1，2，3} D. {-1，0，1，3} 【答案】 A 2.（2019?天津）设集合 ，则（） A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4} 【答案】 D 3.（2019?全国Ⅲ）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则 A∩B=（） A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，1} D.{0，1，2} 【答案】 A 4.（2019?卷Ⅱ）已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ） A.（-1，+∞） B.（-∞，2） C.（ -1，2） D. 【答案】 C 5.（2019?卷Ⅱ）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则 A∩B=（） A.(-∞，1) B.(-2，1) C.(-3，-1) D.(3，+∞) 【答案】 A 6.（2019?北京）已知集合A={x|-1 9.（2019?全国Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了 了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中 阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】 C 二、填空题 10.（2019?江苏）已知集合，，则 ________. 【答案】(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何
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