中考复习 特殊三角形(含答案)-

特殊三角形

◆考点链接

1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理．

2．直角三角形的判定与性质．

3．勾股定理的应用．

◆典例精析

【例题1】判断题：（正确的画“∨”，错误的画“×”）

（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（）

（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）

（3）等腰三角形两腰上的高相等；（）

（4）等边三角形的三条高相等；（）

（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）

（6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）

评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定．（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）•和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．

答案：（1）∨ （2）× （3）∨ （4）∨ （5）× （6）×

评析：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．

【例题2】（1）已知：a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断

△ABC的形状．

（2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：△ABC 为直角三角

形．

解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由

A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．（1）解：

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，

∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，

∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，

∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，

∴△ABC为直角三角形．

（2）证明：∵CD⊥AB，

∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB，

∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2．

∴△ABC为直角三角形．

评析：（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方．（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，•先分别在Rt△ACD和Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得

A C2+BC2=AB2，•利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形．

【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

解题思路：（1）木棍在滑动过程中，OP始终是Rt△AOB斜边中线，故为斜边AB•的一半，而AB的长为定长，所以OP不变．（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，△AOB的面积为最大，所以当OP⊥AB（即OA=OB）•时，

•△AOB面积最大．

解：（1）不变．理由：在直角三角形中，因为斜边AB•的长不变，•由性质有斜边中线OP长不变．

（2）当△AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，如图，若h与OP 不相等，则总有h ，故根据三角形面积公式，有 h 与 OP 相等时，△ AOB 的面积最大．

此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2．

所以△AOB的面积最大值为a2．

评析：（1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系．（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得．

◆探究实践

【问题1】已知△ABC的两边AB、AC长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

解题思路：（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，•再用判别式和根与系数的关系检验．（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．

解：（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：

∵AC2+AB2=（AC+AB）2-2AC·AB．

∴25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），

∴k1=-5，k2=2．

当k=-5时，方程的两根为负值，不合题意，舍去．

∴k=2，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

（2）∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴AC≠AB．

当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4．k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC的周长为14．

k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6．△ABC的周长为16．

评析：这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解．另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去．【问题2】如下左图，图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边的长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，•请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．