统计概率与数列综合经典题(含详解答案)
高考数学热点难点:统计概率与数列综合经典题
1.随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年,“x =2”表示2016年,依次类推;y 表示人数):
(1)试根据表中的数据,求出y 关于x 的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是
1
2
,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从k 到1k +)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从k 到2k +),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ,试证明
{}1n n P P --是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程???y
bx a =+中,1
2
2
1
???,n
i i
i n
i
i x y nx
y
b a
y b x x
nx ==-==--∑∑. 2.冠状病毒是一个大型病毒家族,己知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病.而今年出现新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中,感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭,甚至死亡. 某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有n (n *∈N )份血液样本,有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,则需要检验n 次.
方式二:混合检验,将其中k (k *∈N 且2k ≥)份血液样本分别取样混合在一起检验. 若检验结果为阴性,这k 份的血液全为阴性,因而这k 份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性,就要对这k 份再逐份检验,此时这k 份血液的检验次数总共为1k +.
假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p (01p <<).现取其中k (k *∈N 且2k ≥)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ.
(1)若()()12E E ξξ=,试求p 关于k 的函数关系式()p f k =;
(2)若p 与干扰素计量n x 相关,其中12,,,n x x x L (2n ≥)是不同的正实数,
满足11x =且n N *
?∈(2n ≥)都有1
22
2
1
13
2211
21n n n i i i x x x e x x x x --
=+-?=-∑成立. (i )求证:数列{}n x 等比数列; (ii
)当1p =比逐份检验的总次数的期望值更少,求k 的最大值
3.在读书活动中,某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源,现对已借阅了科技类图书的市民(以下简称为“问卷市民”)进行随机问卷调查,若不借阅时政类图书记1分,若借阅时政类图书记2分,每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为
1
2
,市民之间选择意愿相互独立. (1)从问卷市民中随机抽取4人,记总得分为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望; (2)(i )若从问卷市民中随机抽取(N )m m +∈人,记总分恰为m 分的概率为m A ,求数列{}m A 的前10项和;
(ⅱ)在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B (比如:1B 表示累计得分为1分的概率,2B 表示累计得分为2分的概率,
N n +∈),试探求n B 与1n B -之间的关系,并求数列{}n B 的通项公式.
4.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分,其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管
部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况,在某月从该市大学生中随机调查了100人,并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表(已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元):
()1由频数分布表可以认为,该市大学生网络外卖消费金额Z (单位:元)近似地服从
正态分布(
)2
,N μσ
,其中μ近似为样本平均数x (每组数据取区间的中点值,
660σ=)
.现从该市任取20名大学生,记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ,求X 的数学期望;
()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费,特地给参与本次问卷调查的大学生每
人发放价值100元的饭卡,并推出一档“勇闯关,送大奖”的活动.规则是:在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格,然后掷一枚均匀的硬币(已知硬币出现正、反面的概率都是
1
2
,其中01P =),若掷出正面,将棋子向前移动一格(从k 到1k +),若掷出反面,则将棋子向前移动两格(从k 到
2k +).重复多次,若这枚棋子最终停在第59格,则认为“闯关成功”,并赠送500元充
值饭卡;若这枚棋子最终停在第60格,则认为“闯关失败”,不再获得其他奖励,活动结束.
①设棋子移到第n 格的概率为n P ,求证:当159n ≤≤时,{}1n n P P --是等比数列; ②若某大学生参与这档“闯关游戏”,试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小,并说明理由.
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布(
)2
,N μσ
,
则()0.6827P μσξμσ-<≤+=,()220.9545P μσξμσ-<+=…,()330.9973P μσξμσ-<+=….
5.在某次世界新能源汽车大会上着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析,得到如下的频率分布直方图:
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x (同一组中的数据用该组区间的中点值代表).
(2)根据大量的汽车测试数据,可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布(
)2
,N μσ
,经计算第(1)问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作
为μ的近似值,用样本标准差s 作为σ的估计值,现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率. 参考数据:若随机变量ξ服从正态分布(
)2
,N μσ
,
则()0.6827P μσξμσ-<+≈…,(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…,(33)0.9973P μσξμσ-<+≈….
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是
1
2
,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格,客户每掷一次硬币,遥控车车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格(从k 到1k +),若掷出反面,遥控车向前移动两格(从k 到2k +),直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时,游戏结束,设遥控车移到第n 格的概率为n P ,试说明
{}1n n P P --是等比数列,并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
6.为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药
的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X . (1)求X 的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11
i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,
0.8β=.
(i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列; (ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.
7.一种掷硬币走跳棋的游戏:在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站,共100站,设棋子跳到第n 站的概率为n P ,一枚棋子开始在第1站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上,棋子向前跳一站;若硬币的反面向上,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(失败)或者第100站(获胜)时,游戏结束. (1)求1,P 2,P 3P ;
(2)求证:数列{}1n n P P +-(1,2,3,,98)n =?为等比数列; (3)求玩该游戏获胜的概率.
8.某市不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着许多旅游景点.每年来该市参观旅游的人数不胜数.其中,名人园与梦岛被称为该市的两张名片,为合理配置旅游资源,现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分,若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为
2
3
,且游客之间的选择意愿相互独立. (1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X ,求X 的分布列与数学期望; (2)若从游客中随机抽取m 人,记总分恰为m 分的概率为m A ,求数列{}m A 的前6项和;
(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ,探讨n B 与1n B -之间的关系,并求数列{}n B 的通项公式.
参考答案
1.解:(1)12345
3,5
x ++++=
=
20501001501801005
y ++++==
5
1
1202503100415051801920i i
i x y
==?+?+?+?+?=∑
5
2
222221
1234555,i
i x
==++++=∑
故19205310042,5559
b
-??==-?$ 从而$10042326,a
y bx =-=-?=-$ 所以所求线性回归方程为$4226y x =-, 令*
4226300,x x N ->∈,解得8x ≥.
故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人
(2)遥控车开始在第0格为必然事件,01P =,第一次掷骰子出现奇数,遥控车移到第一格,其概率为12,即11
2
P =.遥控车移到第n (219n 剟)格的情况是下列两种,而且也只有两种.
①遥控车先到第2n -格,又掷出奇数,其概率为
21
2n P - ②遥控车先到第1n -格,又掷出偶数,其概率为
112
n P - 所以211122
n n n P P P --=
+,1121
()2n n n n P P P P ---∴-=--
∴当119n 剟时,数列1{}n n P P --是公比为1
2
-
的等比数列 23121321
11111,(),(),()2222
n n n P P P P P P P -∴-=--=--=-???-=- 以上各式相加,得231111
1()()()()2222
n
n P -=-+-+-+???+-=11()1()32n ??---????
1211()32n n P +??∴=
--????
(0,1,2,,19n =???),
∴获胜的概率2019211()32P ??=
--????失败的概率1920181111232P P ??
==+????
() ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X 元,200X =或500 ∴X 的期望20191921
11
1
5001()2001()1004()32322
EX ??
????=?-+?+=-???????
?
?
??
?
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为191
1004()2
?
?-???
?
,约400元.
2.(1)解:由已知,1k ξ=,()11P ξ=,得()1E k ξ=,
2ξ的所有可能取值为1,1k +,
∴()()211k
P p ξ==-,()()2111k
P k p ξ=+=--.
∴()()()()()2111111k k k
E p k p k k p ξ??=-++--=+--??
.
若()()12E E ξξ=,则()11k
k k k p =+--,()
11k
p k -=,∴1
11k
p k ??-= ???
,∴
111k
p k ??=- ???.∴p 关于k 的函数关系式为()1
11k
f k k ??=- ???
,
(k *∈N ,且2k ≥).
(2)(i )∵证明:当2n =时,122
22213
221221x x x e x x x x --?=-,∴123
1x e x =,令12
31
0x q e x ==>,则1q ≠,
∵11x =,∴下面证明对任意的正整数n ,13
n n x e
-=.
①当1n =,2时,显然成立; ②假设对任意的n k =时,13
k k
x e
-=,下面证明1n k =+时,3
1
k k x
e +=;
由题意,得1222111
3
221121k
k k i i i x x x e x x x x -++=+-?=-∑,∴1
2
213
1
212
23113111111
k k k k k k x e x
x x x x x x x x e -++-+??-?++++= ???-L ,
∴11233122131212
333111111k k k k k e e x e x e e x e ----++--
+??????????- ???????-?????+=????-?-??????
,()212
3
1
2131
2
23
3
111
1
k k k k k x
e x e x
e e --+-++??- ? ?-??+?=
--,
∴()2122
3
3331
110k k k k k e
x
e e x ----+++???+-?-= ???,2333
11110k k k k e x e x --+++????-+= ???????
. ∴3
1
k k x
e +=或2
33
1k k x e
-+=-(负值舍去).∴3
1
k k x
e +=成立.
∴由①②可知,{}n x 为等比数列,13
n n x e
-=.
(ii )解:由(i
)知,11p ==,()()12E E ξξ>,∴()11k k k k p >+--,得(
)11k
k
p k <-=,∴1ln 3k k >.
设()1ln 3f x x x =-
(0x >),()33x
f x x
-'=,∴当3x ≥时,()0f x ¢<,即()f x 在[)3,+∞上单调减.
又ln 4 1.3863≈,4 1.33333≈,∴4ln 43>;ln5 1.6094≈,5 1.66673≈.∴5
ln 53
<. ∴k 的最大值为4.
3.解(1)ξ的可能取值为4,5,6,7,8,
04411(4)C (),216P ξ=== 113
4
111(5)C (),24(2)P ξ=== 2224113(6)C ,2()()28P ξ===,3314111(7)C ,2()()24P ξ===4404111
(8)C 2()()216
P ξ===
所有ξ的分布列为
所以数学期望11311
()4567861648416
E ξ=?
+?+?+?+?=. (2)(i )总分恰为m 分的概率为1
()2
m
m A =,
所以数列{}m A 是首项为12,公比为12的等比数列,前10项和101011
(1)
10232
21102412
S -==-. (ii )已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ,得不到n 分的情况只有先得1n -分,再得2分,概率为
1111,22n B B -=.因为1112
n n B B -+=,即11
12n n B B -=-+,
所以1212()323n n B B --
=--,则{23}n B -是首项为12136B -=-,公比为1
2-的等比数列,
所以1211()362n n B --
=--,所以211
()332
n n B =+-. 4.解:()12500.27500.3512500.2517500.1x =?+?+?+?22500.05+?+2750
0.051050?=,
因为Z 服从正态分布(
)2
1050,660
N ,所以
()()0.95450.6827
390237020.95450.81862
P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-
=.
所以()20,0.8186X B :,
所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =?=.
()2①棋子开始在第0格为必然事件,01P =.
第一次掷硬币出现正面,棋子移到第1格,其概率为
12,即1
1
2
P =. 棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种,而且也只有两种:
棋子先到第2n -格,又掷出反面,其概率为21
2
n P -;
棋子先到第1n -格,又掷出正面,其概率为
11
2
n P -, 所以211122n n n P P P --=
+,即112(1
)2n n n n P P P P ----=--,且10
12
P P -=-, 所以当159n ≤≤时,数列{}1n n P P --是首项1012
P P -=-
,公比为1
2-的等比数列.
②由①知1112P -=-,12
212P P ??-=- ???,3
3212P P ??-=- ???,L ,112n
n n P P -??-=- ???,
以上各式相加,得21111222n n
P ??????-=-+-++- ? ? ???????
L ,
所以21111222n
n P ??????=+-+-++- ? ? ???????L (
)12110,1,2,,5932n n +????=--=?? ???????
L . 所以闯关成功的概率为60
60592121113232P ????
??
??=
--=-???? ? ???
??????????
, 闯关失败的概率为5959
605811211111223232P P ????
????==
?--=+???? ? ?????????????
. 60
595859602111111110323232P P ??????
??
????-=--+=->?????? ?
? ???
????????????????
, 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率. 5.解:(1)
0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300
x =??+??+??+??+??=(千米).
(2)由~(300X N ,250). 0.95450.6827
(250400)0.95450.81862
P X -∴<=-
=….
(3)遥控车开始在第0 格为必然事件,01P =.第一次掷硬币出现正面,遥控车移到第一格,其概率为
12,即1
1
2
P =. 遥控车移到第(249)n n 剟
格的情况是下面两种,而且只有两种:
①遥控车先到第2n -格,又掷出反面,其概率为
21
2n P -. ②遥控车先到第1n -格,又掷出正面,其概率为
11
2
n P -. 2111
22
n n n P P P --∴=
+. 1121
()2
n n n n P P P P ---∴-=--.
149n ∴剟时,数列1{}n n P P --是等比数列,首项为1012
P P -=-
,公比为1
2-的等比数列.
1112P ∴-=-,2211()2P P -=-,3321()2P P -=-,??,1
1()2n
n n P P --=-. 1112100111
()()()()()
1222
n n n n n n n P P P P P P P P ----∴=-+-+??+-+=-+-+??-+ 1
11
1()212[1()]1321()2
n n ++--==----(0n =,1,??,49). ∴获胜的概率50492
1[1()]32
P =--,
失败的概率49495048112111
[1()][1()]223232P P ==?--=+. 504948
4950
211111[1()][1()][1()]0323232
P P ∴-=---+=->. ∴获胜的概率大.
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
6.解(1)由题意可知X 所有可能的取值为:1-,0,1
()()11P X αβ∴=-=-;()()()011P X αβαβ==+--;()()11P X αβ==-
则X 的分布列如下:
(2)0.5α=Q ,0.8β=
0.50.80.4a ∴=?=,0.50.80.50.20.5b =?+?=,0.50.20.1c =?=
(i )()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=???Q
即
()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=???
整理可得:()11541,2,,7i
i i p p p i -+=+=??? ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=???
{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =???是以10p p -为首项,4为公比的等比数列
(ii )由(i )知:
()110144i i i i p p p p p +-=-?=?
78714p p p ∴-=?,67614p p p -=?,……,01014p p p -=?
作和可得:(
)
88017
801111441
4441143
p p p p p ---=?++???+===-
18
3
41
p ∴=
- (
)
440123
44011841441311
44441434141257
p p p p p --∴=-=?+++==?==
--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为
0.8时,认为甲药更有效的概率为41
0.0039257
p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种实验方案合理.
7.(1)棋子开始在第1站是必然事件,11P ∴=; 棋子跳到第2站,只有一种情况,第一次掷硬币正面向上, 其概率为1,2212
P ∴=
; 棋子跳到第3站,有两种情况,①第一次掷硬币反面向上,其概率为1
2
;②前两次掷硬币都是正面向上,其概率为
111,224?=3113244
P ∴=+=; (2)棋子棋子跳到第2n +(
)*
197,n n N ≤≤∈站,有两种情况:①棋子先跳到第n 站,又
掷硬币反面向上,其概率为
1
2
n P ;②棋子先跳到第1n +站,又掷硬币正面向上,其概率为112n P +.故211122n n n P P P ++=+.()21112n n n n P P P P +++∴-=--又2112
P P -=-, 数列()1(1,2,3,n n
P P n +-=…,98)是以12-为首项,1
2
-为公比的等比数列.
(3)由(2)得112n
n n P P +??-=- ???
. ()()9999989897P P P P P =-+-+…()211P P P +-+
98971122????=-+-+ ? ????? …112??+-+ ???99
112112??
-- ???=
??-- ?
??
9821332=+?
所以获胜的概率为9998
11
1332
P -=
-? 8.解(1)X 可能取值为3,4,5,6
()3
113327P X ??===
???, ()2
1321643327P X C ????=== ???
????, ()2
23
211253327
P X C ????===
? ?????,
()3
286327
P X ??===
???, 故其分布列为
()5E X =.
(2)总分恰为m 的概率13m
m A ??= ???
, 故66
11(1)
36433172913
S -==-. (3)已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ,得不到n 分的情况只有先得1n -分,再
得2分,概率为123n B -,而113B =, 故1213n n B B --=,即12
13
n n B B -=-+,
可得1323535n n B B -??-
=-- ???,134515
B -=-, 所以1
3425153n n B -??
-=-- ?
??
可得322553n
n B ??
=+?- ???
.
海南历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列
海南历年高考理科数学试题及答案汇编十一数列 试题 1、4.(5分)(2008海南)设等比数列{a n}的公比q=2,前n项和为S n ,则=( ) A.2B.4C .D . 2、7.(5分)(2009宁夏)等比数列{a n}的前n项和为S n,且4a1,2a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4=( ) A.15B.7C.8D.16 3、16.(5分)(2009宁夏)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知2a m﹣a m2=0,s2m﹣1=38,则m= . 解答题 1、17.(12分)(2008海南)已知{a n}是一个等差数列,且a2=1,a5=﹣5. (Ⅰ)求{a n}的通项a n; (Ⅱ)求{a n}前n项和S n的最大值. 2、17.(12分)(2010宁夏)设数列满足a1=2,a n+1﹣a n=3?22n﹣1 (1)求数列{a n}的通项公式; (2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n. 1
答案 1、解:由于q=2, ∴ ∴; 故选:C. 2、解:∵4a1,2a2,a3成等差数列.a1=1, ∴4a1+a3=2×2a2, 即4+q2﹣4q=0, 即q2﹣4q+4=0, (q﹣2)2=0, 解得q=2, ∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, ∴S4=1+2+4+8=15. 故选:A 3、解:∵2a m﹣a m2=0, 解得a m=2或a m=0, ∵S2m﹣1=38≠0, ∴a m=2; ∵S2m﹣1=×(2m﹣1)=a m×(2m﹣1)=2×(2m﹣1)=38, 解得m=10. 故答案为10. 解答题 1、解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d ,由已知条件,, 解出a1=3,d=﹣2,所以a n=a1+(n﹣1)d=﹣2n+5. (Ⅱ)=4﹣(n﹣2)2. 所以n=2时,S n取到最大值4. 2、解:(Ⅰ)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1﹣a n)+(a n﹣a n﹣1)+…+(a2﹣a1)]+a1 =3(22n﹣1+22n﹣3+…+2)+2=3×+2=22(n+1)﹣1. 而a1=2, 所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1. (Ⅱ)由b n=na n=n?22n﹣1知S n=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1① 从而22S n=1?23+2?25+…+n?22n+1② 2
《数列》单元测试题(含答案)
《数列》单元练习试题 一、选择题 1.已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n (∈n N *),则4a 等于( ) (A)1 (B )2 (C )3 (D )0 2.一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么( ) (A )它的首项是2-,公差是3 (B)它的首项是2,公差是3- (C )它的首项是3-,公差是2 (D )它的首项是3,公差是2- 3.设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则 =24a S ( ) (A )2 (B)4 (C)2 15 (D )217 4.设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ) (A)54S S < (B )54S S = (C)56S S < (D )56S S = 5.已知数列}{n a 满足01=a ,133 1+-=+n n n a a a (∈n N*),则=20a ( ) (A)0 (B)3- (C )3 (D) 23 6.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 7.已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1≠q ,则( ) (A)5481a a a a +>+ (B )5481a a a a +<+ (C)5481a a a a +=+ (D )81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数 列有( ) (A )13项 (B)12项 (C)11项 (D)10项 9.设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ,且30303212=????a a a a ,那么 30963a a a a ???? 等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
《统计与概率》练习题
《统计与概率》练习题 说明:本卷练习时间120分钟,总分150分 班级 座号 姓名 成绩 一、填空题(每小题3分,共36分) 1. 在2.0012.0022..0032.0042.0052. 006的数字串中,2的频率是__________. 2. 为了解某校初三年级300名学生的身高状况,从中抽查了50名学生, 所获得的样本容量是______________. 3. 若1000张奖券中有200张可以中奖,则从中任抽1张能中奖的概率为_________. 4. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩(单位:环)是: 7,8,9,8,6,8,10,7,这组数据的众数是_____ ____. 5. 一口袋中放有3只红球和4只黄球, . 随机从口袋中任取一只球,取到黄球的概率是6. 如果一组数据3,x,1,7的平均数是4,则x=__________. 7. 某班的联欢会上,设有一个摇奖节目,奖品为钢笔、图书和糖果, 标于一个转盘的相应区域上(转盘被均匀等分为四个区域,如图). 转盘可以自由转动。参与者转动转盘,当转盘停止时,指针落在哪一区域, 就获得哪种奖品,则获得钢笔的概率为____________. 8. 下表给出了某市2005年5月28日至6月3日的最高气温, 则这些最高气温的极差是___________℃ 9. 掷一枚各面分别标有1,2,3,4,5,6的普通的正方体骰子, (第7题)
掷出的数字为偶数的概率是_______________. 10. 某学生在一次考试中,语文、数学、英语三门学科的平均成绩是80分,物理、 化学两门学科的平均成绩为85分,则该学生这五门学科的平均成绩是___________分. 11. 对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量,其平均数、方差计算结果如下: 机床甲:x 甲=10,2S 甲 =0.02;机床乙:x 乙 =10,2S 乙 =0.06, 由此可知:________(填甲或乙)机床性能好. 12. 掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是__________. 二、选择题(每小题4分,共24分) 13. 六个学生进行投篮比赛,投进的个数分别为2、3、10、5、13、3, 这六个数的中位数为() (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 14. 下列事件中,为必然事件是(). (A)打开电视机,正在播广告. (B)从一个只装有白球的缸里摸出一个球,摸出的球是白球. (C)从一定高度落下的图钉,落地后钉尖朝上. (D)今年5月1日,泉州市的天气一定是晴天. 15. 下列调查方式合适的是() (A)了解炮弹的杀伤力,采用普查的方式. (B)了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式. (C)了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式. (D)对载人航天器“神舟六号”零部件的检查,采用抽样调查的方式.
必修五数列单元测试
必修五数列复习综合练习题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2011是等差数列:1,4,7,10,…的第几项( ) (A )669 (B )670 (C )671 (D )672 2.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0,则此数列的第5项是( ) (A )15 (B )255 (C )20 (D )8 3.等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为( ) (A )4 (B )2 3 (C ) 9 16 (D )2 4.在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) (A )-1 (B )1 (C )3 (D )7 5.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) (A )40 (B )42 (C )43 (D )45 6.记等差数列的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d=( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)7 7.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) (A )90 (B )100 (C )145 (D )190 8.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( ) (A )49 (B )50 (C )51 (D )52
9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”,如 (1101)2表示二进制的数,将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数16111???位 转换成十进制数的形式是( ) (A )217-2 (B )216-1 (C )216-2 (D )215-1 10.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=( ) (A )45 (B )50 (C )75 (D )60 11.(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=( ) (A )1 (B )9 (C )10 (D )55 12.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…,且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=( ) (A )n(2n-1) (B )(n+1)2 (C )n 2 (D )(n-1)2 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.等差数列{a n }前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和 为______. 14.(2011·广东高考)已知{a n }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n },{b n }, 12n 12n a a a 7n 2 b b b n 3 ++?++= ++?++,则55a b =______. 16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n =_____.
(word完整版)历年数列高考题及答案
1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ,
数列的概念单元测试题含答案百度文库
一、数列的概念选择题 1.在数列{}n a 中,12a =,1 1 1n n a a -=-(2n ≥),则8a =( ) A .1- B . 12 C .1 D .2 2.数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+,4a =( ) A .2 B .6- C .2- D .1 3.已知数列{} ij a 按如下规律分布(其中i 表示行数,j 表示列数),若2021ij a =,则下列结果正确的是( ) A .13i =,33j = B .19i =,32j = C .32i =,14j = D .33i =,14j = 4.已知数列{}n a ,若()12* N n n n a a a n ++=+∈,则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”,且11b =,22b =-,则数列{}n b 的前2020项和为( ) A .5 B .5- C .0 D .1- 5.在数列{}n a 中,已知11a =,25a =,() * 21n n n a a a n N ++=-∈,则5a 等于( ) A .4- B .5- C .4 D .5 6.已知数列{}n a ,{}n b ,其中11a =,且n a ,1n a +是方程220n n x b x -+=的实数根, 则10b 等于( ) A .24 B .32 C .48 D .64 7.在数列{}n a 中,114a =-,1 11(1)n n a n a -=->,则2019a 的值为( )