6机器人动力学(精)

关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
G ( q ) 为重力矢量。 为离心力和哥氏力向量； D (q ) 为惯性矩阵； h(q, q )

操作空间动力学方程：
F V (q) x u(q, q) p(q)
机器人动力学模型主要用于机器人的设计、离线编程和控制。
6.1 连杆的速度和加速度分析
由前面的知识可知
A
A A B p pBo B R p
将上式两边对时间求导，得
A
A A B A B p pBo B R p B R p 或
A
A A B A A B v p vBo B R v p S ( B ) B R p
例：如图所示的1自由度机械手。
假定绕关节轴z的转动惯量为IZ，z 轴为垂直纸面的方向。 解：
mg
z
式中，g是重力常数，把上面三式代入欧拉方程且只提取z轴分量 得到： I z m gLc cos
6.4 Lagrange动力学
对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总的动能K 与总的势能P之差，即L=K-P。这里，L是拉格朗日算子；k是动 能；P是势能。 利用Lagrange函数L，系统的动力学方程（称为第二类 Lagrange方程）为：
和
式中， 和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。 将它们代入前面的方程，得：
令
，则有：
上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运
动时的质量，称为转动惯量 。
例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的 转动惯量I。
解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为 dm=ρdx 。 该微段产生的转动惯量为 。
i n z

i T i i i
对于移动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
i T i i fi zi
6.3 Newton-Euler递推动力学方程
6.3.1 转动惯量 根据牛顿第二定律
平移作为回转运动来分析
若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z 轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得
到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
i i fi fi 1 mi g 0
i
i i i i i ni ni 1 pi 1 fi 1 rci mi g 0
I xx c I I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz
式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，
Iyy，Izz，其余元素为惯性积。 惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标 系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，相应的质量惯性矩为 主惯性矩。
因为角速度矢量是自由矢量，再考虑另一坐标系{C}，则角速 度和角加速度关系分别为：
A
C B R C
A A B B



A
A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C
注：由维数、大小和方向三要素所规定的矢量称为自由矢量，
之间的函数关系。 它反映了操作力F与末端加速度 x
Class is over. Bye-Bye!
两边对时间求导，得线加速度关系
A
A A B A A B A A B A A A B B ) B R p S ( B ) S ( B ) B R p v p vBo B R v p 2S ( B ) B R v p S (
根据{A}和{B}不同的相对运动关系可以将上面两个式子进行 简化，简化的结果参见书P74。
m2，质心的位置由l1和d2所规定，惯性张量为（z轴垂直纸面）：
解：连杆1，2的动能分别为：
机械手总的动能为
连杆1，2的势能分别为
机械手总的位能（势能）为
计算各偏导数
d Ek Ek E p 将以上结果代入Lagrange方程 dt q q q
得
附：就前面的1自由度机械手用Lagrange法求解如下：
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反
向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：
i
i i 1 fi i 1 R fi 1 i i 1 i i ni i 1R ni 1 pi 1 fi
i
对于转动关节，关节驱动力矩平衡力矩的z分量为：
第六章 机器人动力学
操作臂动力学的两个基本问题： （1）动力学正问题—根据关节驱动力矩或力，计算操作臂的 运动（关节位移、速度和加速度）； （2）动力学逆问题—已知轨迹运动对应的关节位移、速度和 加速度，求出所需要的关节力矩或力。 动力学正问题与操作臂的仿真研究有关；
动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实 现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
线加速度和角加速度传递关系为：
i 1
i 1 i i 1 i i 1 i 1 i 1 i R i i R i i 1 zi 1 i 1 zi 1
i 1
i 1 i i i i i i i pi 1 i ( i pi1 )] vi 1 i R[ vi
6.3.2 Newton-Euler递推动力学方程
一、牛顿-欧拉方程
如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度
、总质量
m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:
当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度 性张量 与作用力矩n之间满足欧拉方程：
，惯
二、惯性张量
令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于 该坐标系｛c｝，惯性张量 c I 定义为３×３的对称矩阵：
z 0
其中
A B
S ( A ) AR R B B
0 S ( ) z y
x
来自百度文库
y x
0
一、 刚体的速度和加速度
将前面的线速度关系
A
A A B A A B v p vBo B R v p S ( B ) B R p
L d L dt q q
或
Ek d dt q
E E k p q q
E k 表示动能，E p 表示势能。
例：平面RP机械手如图所示，连杆1和连杆2的质量分别为m1和
如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i 1 i 1 i 1 R i i1 zi 1 i 1 i i


i 1
i 1 i i i vi 1 i R( vi i pi 1 )
因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：
例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。
解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的 距离，则得到
设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的 Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则
即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且 与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方 的乘积。
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
得
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连
杆，质量为m，长度为L，结
果会怎样？
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学