3第三章量子力学初步2

一、光的波粒二象性
1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波
20世纪初，光量子 E h
p
h
E, P v, ------光的波粒二象性
二、德布罗意关系式
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当 于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的 关系为：
E(r )
定态薛定谔方程
2
4．态迭加原理
如果 1, 2 , n 是方程的解，那么它们的的线性组
合 c11 c2 2 cn n cn n
n
数。
也是方程的解，ci 为任意常
即如果 1, 2 , n 是体系可能的状态，那么它们的
的线性组合 cn n 也是体系一个可能的状态。
n
三、薛定谔方程的讨论
1、自由粒子的薛定谔波动方程
i
2
2
t 2m
2、非自由粒子的薛定谔方程
i
2
2 V (r,t)
t 2m
3、定态薛定谔方程
2
2u Vu Eu 2m
§5.4 薛定谔波动方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
Ae Ae i (Etr p)
i ( Et xp x yp y zp z )
E h
p
h
n
p
Aei
(Etr
p)
――自由粒子的波函数，描写动量为 、p能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度， 量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E 和 是p描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了 微观粒子的共同特性，而且 它并不是由微观粒子相互作 用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
2
p2
2
自由粒子: E 1 2 p2
2
2
E p2 2
i
2
2
t 2
――自由粒子的薛定谔方程。
2．一般粒子的薛定谔方程 一般粒子常受到力场的约束，用 U r,t 表示力场，则
粒子在力场中受到的力为：F
U
(r , t)
，假设处于这种
力场中的微观粒子的波函数为 （r,t) ,假设 （r,t) 仍满
(
x)
A s in 0
Kx
B
cosKx
0 xa x 0, x a
2．常数的确定及能量量子化
(x)
A s in 0
Kx
B cosKx
根据波函数的标准条件，波函数应连续，
x 0,(0) B cos 0 0 B 0. x a,(a) Asin Ka 0,
由于A 0 sin Ka 0 Ka n ,(n 1, 2,3 ).
1．实验装置
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与U的 关系如图
当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
3．实验解释
晶体结构：
波程差：
2d sin
n
(2n
1)
2
当 2d sin 时n加 强----布拉格公式。
可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子： 1.225nm n 1, 2
为 ，0.0求1%测定x 坐标所能达到的最大准确度。
x 500104m/ s 5102m/ s
x / px / mx 电子：
2． E t / 2 子弹：
30
30
25
Intensity (arb.units)
Intensity (arb.units)
25
20
20
15
10
5
0
0.0
0.5
用粒子的观点，极大值处 意味着到达的电子多，极小 值处意味着到达的电子少。
从波的观点来看，极大值处 表示波的强度大，极小值处 表示波的强度小。
玻恩的观点就能将粒子和 波的概念统一起来。波函数 代表发现粒子的几率
电子衍射的强度分布图
(x, y, z,t) 2 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积 内发现粒子的几率。
p m
1．当 ~ 时c ，
m
m0
12 / c2
2．当 c
时，m mo
1
m
经过电场加速的电子： 1 m2 eU
2
h
h 1.225 nm
m 2eU / m 2emU U (V )
适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。
三、德布罗意假设的实验验证
1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了 电子波的波长，证实了德布罗意假设。
子初始时刻的状态 (r0 , t0 ) 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 (r ,t) 。
4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 (r,t) 一般是复数
形式。 (r ,t) 表示概率波， (r , t) 2 是表示粒子在时刻t、
在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态
(r , t )
在势
场U (r, t )中随时间变化
(r ,
t
)
的规律。
t
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基
本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果
相一致来得到证明。 3．具体的势场U (r, t )决定粒子状态变化的情况，如果给 出势能函数 U(r,t)的具体形式，只要我们知道了微观粒
一维无限深势阱中粒子如何运动？
它的波函数如何？能量如何？
解：由于粒子做一维运动，所以有
2
d2 dx2
由于势能 U (x)中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。
因此一维定态薛定谔方程为
2
2
d 2(x)
dx2
U (x)(x)
E(x)
方程的解为定态解 (x,t) (x)ei Et
1．方程的通解
2
2
d 2(x)
(x, y, z,t) 2 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现 电子的几率密度。如果 (x, y,大z,t，) 2 则电子出现几率大，
因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，
如果
小，则电子出现几率小，电子出现的数目也
少，此 (处x,为y, z衍,t)射2 极小值处。
W (x, y, z,t) 2 * 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒
p
Ae
i
(
Etr
p)
Ae
i
(
Et
xp
x
yp
y
z
pz
)
(r,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r , t )
*
(r , t )
(r)
*
e
i
Et
(r )e
i
Et
(r) *(r)
3．[
2
2
U (r )](r )
足方程：E hv
2
p2 2
但此时
E
p2
U (r , t)
2
则有：i
2
2
U (r,t)
t 2
――处在以势能表征的力
场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程
p2
E U (r ,t)
2
i E
t
二、定态薛定谔方程
能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的
力场不随时间改变，即势能U (r)中不显含时间t，将其代
dx2
U
(x)(x)
E(x)
(1) x 0, x a U 粒子不可能跑到阱外去，
所以波函数为零，即 (x) 0 x 0, x a
(2)
0 x a 时，U 0
， 方程为
2
2
d 2
dx2
E
d 2
dx2
2E
2
令
K
2E
2
d 2
dx2
K 2
0
二阶齐次微分方程，它的通解为
(x) Asin Kx BcosKx 式中A、B为两常数。
又 sin
d 2x
2x px p h
x px h / 2 x px h / 2
狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限 制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的 动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可 能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。
如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量 就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时 有确定的值。
(x) Asin n x
对t求一次偏导： i E , i E
t
t
对x、y、z分别求二次偏导：
x
i
px
2
x2
i
px
x
px2
2
y
i
py
2
y2
i
py
y
py2
2
z
i
pz
2
z 2
i
pz
x
pz2
2
三者相加：
2
x2
2
y 2
2
z 2
1
2
( px2
p
2 y
pz2 )
拉普拉斯算符：2 2 2 2
x2 y 2 z 2
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。
2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：
(x, y, z,t) 2 dV 1
STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
入方程：
i
2
2
U (r )
t 2
波函数分离变量：
(r ,
t)
(r)
f
(t)
i
df (t)
1
2 [
2
U (r )](r )
E
f (t) dt (r ) 2
E为一常数
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
Байду номын сангаас解出： f (t) Cei Et
o a cos[2 t ] 时间后，波面传到A`B`，其上任一点P的振动 和时间前AB上任一点O的振动相同：
a cos[2 (r n t) ]
欧拉公式： ei cos i sin 取“＋”
i2 ( r n t)
p Ae
―沿 n方向传播的、波长为、频率为的平
面简谐波方程。
用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：
1.0
1.5
2.0
Time (ms)
15 10
5 0 0.0
x px / 2
x 2.3mm
x 2.11031m
0.5
1.0
1.5
2.0
Time (ms)
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数 自由粒子 平面波
设一平面波沿速度 v的方向传播，该方向的单位矢量
为 n，即 v ，vn 时刻t ，波面AB上O点的振动：
§3.2 测不准原理
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出) 电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 h /，p 经过
狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：
d sin
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d 2
粒子动量的不确定度为 px psin
sin px
p
px
p 2x
U (V )
当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大 值当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极 大值。
实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意 公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、中 子、质子等都具有波动性。
观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993
x 0 x p x h / 2 px
二、不确定关系
1927年，海森堡首先推导出不确定关系 ：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2 E t / 2
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1:设电子与 m 0.01 kg的子弹均沿x方向运动， x 500m,/精s 确度
第三章 量子力学初步
内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化
1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
§3.1 微观粒子的波粒二象性
随时间变化的规律，是一种统计规律。
5．在薛定谔方程的建立中，应用了 E
p2
2
U
(r , t)
，所
以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 0
的粒子，这是方程的局限性。
例1：无限深势阱：一个粒子在如图 所示的势场中运动，它的势能为
U
(
x)
0
0 xa x 0, x a
这种势场称为一维无限深势阱。在
p h E h ----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称
为德布罗意波长。 德布罗意关系式还可以写成
E
p
h
n
k
式中， 2,角频率； ,传n播方向上的单位矢量.
k
2
n
, 波矢量,
h 1.0545881034 J s
2
粒子的德布罗意波长： h h
子的几率密度。
t时刻,xx+dx,yy+dy,zz+dz的体元dV dxdydz
内发现粒子的几率： dW (x, y, z,t) (x, y, z,t) 2 dV
讨论
1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一 2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率 3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验