高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全

高考压轴题：导数题型及解题方法

（自己总结供参考）

一．切线问题

题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．

（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）

（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、

（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）

题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线2

x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。（答案02=--e y x e ）

二．单调性问题

题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例已知函数x a x x a x f )1(2

1ln )(2

+-+

= （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）

（2）若[]e x ,2∈，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）

题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法1：研究导函数讨论。

方法2：转化为0)(0)('

'≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题，

方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意：“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。例已知函数2

()ln f x x a x =++

在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围．（答案[)+∞,0）

题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。例设函数1)(2

+++=x ax x x f ，R a ∈在区间??

??1,21内不单调，求实数a 的取值范围。（答案：()

3,2--∈a ））

三．极值、最值问题。

题型1 求函数极值、最值。

基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。

例已知函数12

1)1()(2

++-

+-=kx x e k x e x f x

，求在()2,1-∈x 的极小值。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2 已知函数极值，求系数值或范围。

方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。

例函数1)1(2

)1(3141)(234+----+=

x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。

（答案：1）

题型3 已知最值，求系数值或范围。

方法：1.直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。

例设a ∈R ，函数2

3)(x ax x f -=．若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．（答案：??

? ?

?∞-5

6,）

四．不等式恒成立（或存在性）问题。

一些方法

1.若函数()n m x f ,)(值域，a ＞)(x f 恒成立，，则n a ≥

2.对任意()()n m x n m x ,,,21∈∈，)()(21x g x f ≥恒成立。则≥min 1)(x f max 2)(x g 。

3.对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f min 2)(x g 。

4.对(),,1n m x ∈，恒成立)()(11x g x f ≥。转化0)()(11≥-x g x f 恒成立

4. 对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥min 1)(x f min 2)(x g 。

5. 对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f max 2)(x g

6. 对()()n m x n m x ,,,21∈∈，

a x x x f x f ≥--2

121)

()(成立。则构造函数ax x f x t -=)()(。转化证明)(x t 在()n m ,是

增函数。

题型1 已知不等式恒成立，求系数范围。

方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

（2）讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系

数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

（3）数形结合：（4）变更主元

解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法（用讨论法，或构造新函数）。

方法：分离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。例函数a x x e x f x

+-=)ln ()(2

。在[]e x ,1∈e x f ≥)(恒成立，求实数a 取值范围。（方法：分离法，多次求导

答案：[)+∞,0）

方法：讨论法。

有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例设函数f(x)=2

e x ax ---.若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围. （答案：a 的取值范围为1,2

??-∞ ??

）

方法：数形结合。

数形结合解不等式恒成立问题的步骤：（1）不等式等价变形（2）把不等式两端的式子分别看成两个函数（其中一个函数的图像为直线，）。（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值，图像的凹凸性。（4）画出两个函数图像。（5）根据不等式关系和图形的位置关系，列式求解。例（2012新课标全国卷理科21题第二问）

已知函数()f x 满足1

21()(1)(0)2

x f x f e

f x x -'=-+；若21

()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

解：1211

()(1)(0)()(1)(0)2