高中数学讲义微专题57 放缩法证明数列不等式

1 an
2Sn
Sn
Sn 1
Sn
1 Sn 1
2Sn
n
2
Sn
1 Sn1
Sn
S n 1
Sn2 为等差数列
S
2 n
S2 n 1
1
（2）思路：先利用（1）可求出 Sn 的公式进而求出 bn 2n
n ，则 1 1 ，考虑进行放 bn 2n n
缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。
解：令 n
② 等比数列：所面对的问题通常为“ Sn 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足
q 0,1 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可
视为 a1 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式， 1 q
1
再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数
1 代入 an
1 an
2Sn
可得：
a1
1 a1
2a1
a1
1即
S1
1
由 Sn2 为等差数列可得： Sn2 S12 n 1 n
Sn n bn 2n n 1 1
bn 2n n
考虑先证 Tn
3 2
1 n
1 1
1
n n 1 n n 1 1 1 n 2
bn n 2 n n n 1 n
（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
1 n2
1 n2
1
4
4n2 1 2n
1
1 2n
1
1 2
1 2n
1
1 2n 1
4
（2） 1 2 ，从而有： n n n
2 n 1 n
2
1
2
2 n n 1
n n1 n n n1
注：对于 1 还可放缩为： 1 n n 2,n 2,n N
所证的不等号同方向）
③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可
裂项相消的数列进行靠拢。
④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：
看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；
第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。 （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧： ① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视 为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）
n
n
（3）分子分母同加常数： b b m b a 0,m 0, b b m a b 0,m 0
a am
a am
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构
造出形式再验证不等关系。
2n
（4）
2n
2n
2n 1
2n 1 2 2n 1 2n 1
例 1：已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 4Sn 2n 1 an 1 1 ，且 a1 1
（1）求证：数列an 是等差数列，并求出an 的通项公式
（2）设 bn
1 an Sn
，数列bn 的前 n 项和为 Tn ，求证： Tn
3 2
解：（1） 4Sn 2n 1 an 1 1
4Sn1 2n 3an 1n 2
2bn 1 Sn
2bn1 1 Sn1
2bn 2bn 1 bn n 2 bn 2bn 1
bn是公比为 2 的等比数列
bn b1 2n1 2n1
（2）证明：
an
1 bn
1 3n 1 2n 1
1 3n 2
1 1 1
a2 b2 a3 b3
an bn
1
1 3
1 3n 2
b1 1
可知当
n
2
时，
bn
1
n 2n
1
n
1
2n
2
2n
1
n
1
1 2
n
1 1
1 n
Tn
b1
b2
bn
b1
1 2
1
1 2
1 2
1 3
1 n 1
1 n
1
1 2
1
1 n
3 2
不等式得证
例 2：设数列an 满足：a1 1,an1 3an ,n N ，设 Sn 为数列bn 的前 n 项和，已知 b1 0 ，
1
1
1
1 n1
3
1
3 2
1
1 3
n
1
3 2
3
例 3：已知正项数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 an
1 an
2Sn , n N
（1）求证：数列
S
2 n
是等差数列
（2）记数列 bn
2S
3 n
,Tn
1 b1
1 b2
1 bn
，证明：1
1 n 1
Tn
3 2
1 n
解：（1） an
若 a1 f 1,a2 f 2,,an f n ，则: a1 a2 an f 1 f 2 f n
（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若 a b 0,c d 0 ，则 ac bd ，此性质也可推
广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数
注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同
② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累
加”或“累乘”的形式，即 an1
an
f
n 或 an1
an
f
n （累乘时要求不等式两侧均为正
数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为 an ，另一侧为求和的结果，进而完成证明
3、常见的放缩变形：
（1）
n
1
n
1
1 n2
1
n n 1
，其中 n
2,n N
：可称
1 n2
为“进可攻，退可守”，可依照
所证不等式不等号的方向进行选择。
1
注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特
n2
1
征的数列，例如：
n2
1 n2 1
n
1
1n
1
1 2
n
1
1
1 n 1
，这种放缩的尺度要小于
4an 2n 1 an 1 2n 3 an
n 2
即 2n 1an
2n 1an 1
an 1 an
2n 2n
1 1
an 2n 1 , an 1 2n 3 ,, a3 5 an1 2n 3 an2 2n 5 a2 3
an an1 a3 2n 1 2n 3 5 即 an 2n 1 n 2
n an
1 n 2n
，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：
），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有 n ，
故分子分母通乘以 n 1 ，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解： cn
n an
1 n 2n
n 1
n n 12n
1
而 n 1 2n1
an an1 6
an 是公差为 6 的等差数列
an a1 6n 1 6n 1
Sn nan 3n n 1 n 6n 1 3n n 1 3n 2 2n
（3）由（2）可得： bn
④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，
进而在求和后式子中仅剩有限项
（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：
① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手
② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与
Tn 1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
1
1 n 1
综上所述：1
1 n 1
Tn
3 2
1 n
小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：
n1 n
1
1
1
n n 1
n 1 n 2 n n n 1
例
4：已知数列an 满足
a1
2, an1
2 1
1 n
2
an,n
N
（1）求证：数列
an n2
是等比数列，并求出数列
an
的通项公式
（2）设 cn
n an
，求证： c1
c2
cn
17 24
解：（1）
an1
2 1
1 n
2
an
2
n 12
n2
an
an1
n 12
2
an n2
an n2
是公比为
2
的等比数列
an n2
a1 12
2n
1
2n
an n2 2n
（2）思路：cn
2n 1 2n 2
2n 1 2n 1 1
1 2n1 1
1 2n 1
n 2,n N
kn
可推广为：
kn
kn
k n 1
kn 1 2 kn 1 kn 1 kn 1 kn k
k n 1 k n 1 1
二、典型例题：
1 k n1
1
1 kn
1
n 2,k 2,k,n N
c1
c1
c2
c1
c2
c3
16 24
17 24
n 3
小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进
行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本
题中 n 3 才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。
2 3
=
1
2
1
，即可猜
4
想该等比数列的首项为
1 2
，公比为
1 4
，即通项公式为
2
1 4
n
。
注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数
列进行放缩，受数列通项公式的结构影响
（4）与数列中的项相关的不等式问题：
① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形
an1 an2
a2 2n 3 2n 5 3 a2
3
an
2n 3
1
a
2
，由 4Sn
2n
1 an 1
1令n
1 可得：
4S1 a2 1 a2 3
an 2n 1n 2 ，验证 a1 1 符合上式
an 2n 1 Sn n2
（2）
由（1）得： bn
1
2n 1
n2
1
n 2n 1
n
n n 1 n 1 n
n 2时
Tn
1 b1
1
1 2
1 2
1 3
1 n 1
1 n
1 1 2
1 3 n2
1 n
n
1 时， T1
1 2
3 2
1
Tn
3 2
1 n
再证 Tn 1
1 n 1
1 1
1
n 1 n n 1 n 1 1
bn n 2 n n n 1 n
n
n n 1 n n 1
2bn b1 S1 Sn , n N
（1）求数列an,bn 的通项公式
（2）求证：对任意的 n N 且 n 2 ，有 1 1 1 3
a2 b2 a3 b3
an bn 2
解：（1） an1 3an an 为公比是 3 的等比数列
an a1 3n1 3n1
在bn中，令 n 1 ， 2b1 b1 S1 S1 b1 1
例：已知数列an 的前 n 项和 Sn nan 3n n 1,n N ，且 a3 17
（1）求 a1
（2）求数列an 的前 n 项和 Sn
（3）设数列bn 的前 n 项和 Tn ，且满足 bn
n Sn
，求证： Tn
2 3
3n 2
解：（1）在 Sn nan 3n n 1,n N 中，令 n 2,n 3 可得：
微专题 57 放缩法证明数列不等式
一、基础知识：
在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等
式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用
放缩法证明不等式的技巧
1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：
（1）传递性：若 a b,b c ，则 a c （此性质为放缩法的基础，即若要证明 a c ，但无 法直接证明，则可寻找一个中间量 b ，使得 a b ，从而将问题转化为只需证明 b c 即可 ） （2）若 a b,c d ，则 a c b d ，此性质可推广到多项求和：
1 n 2n
2n n n n 1
1 2n
n 1
n n 12n
所以 cn
n 1
n n 1 2n
n 1
n n 12n
n
1
1
2
n
1
1 n 2n
n
2
c1 c2
cn
c1 c2
c3
3
1 23
1 4 24
1 4 24
5
1 25
n
1
1 2
n1
1 n 2 n
cn 0
1 1 1 1 1 17 1 17 2 8 24 24 n 2n 24 n 2n 24
2、放缩的技巧与方法：
（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：
①
等差数列求和公式： Sn
a1
an 2
n
， an
kn m （关于 n 的一次函数或常值函数）
②
等比数列求和公式： Sn
a1
qn 1 q 1
q 1 ， an
k qn （关于 n 的指数类函数）
③ 错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式
a1 a1
a2 a2
2a2 6 a3 3a3
18
a2 a1
a源自文库 a2
6 16
a1 5,a2 11
（2） Sn nan 3n n 1 ①
Sn1 n 1 an1 3n 1n 2 ②
① ②可得：
an nan n 1 an 1 6 n 1 n 1an n 1 an 1 6 n 1 n 2