结构动力学2-2
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cij—由j自由度的单位速度引起的相应于i自由度的力 结构阻尼矩阵的计算很难，一般都给予一定的假设，例如 21 与刚度阵或质量阵成正比等。
p1 (t ) p (t ) 2 p(t ) p t ( ) N
其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。
22
2.5 直接平衡法 根据式： f I f D f s p (t )
2.5 直接平衡法
f I M u
f D C u
f s K u
如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起 的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形 式表达：
11
2.5 多自由度体系运动方程的建立：直接平衡法
假设一N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质量mi， 外荷载pi, 层间刚度ki, 各层的水平运动为ui, i=1, …, N。 这个层间模型也可以转化成串连的弹簧—质点模型。
12
2
2.5 直接平衡法
2.5 直接平衡法
弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一 般表达式为：
2.3 重力的影响
cu ku p(t ) mu
记：动位移为u 惯性力、阻尼力和 弹性恢复力分别为：
考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响 时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力 反应。可见在研究结构的动力反应时，可以完全不考 虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力 荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。 当需要考虑重力影响时，结构的总位移为 总位移=静力解+动力解 即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相 加即得到结构的总体反应。 在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一 般是重力问题）和动力问题分开计算。
9
第2章 分析动力ຫໍສະໝຸດ Baidu基础及运动方程的建立
2.5 多自由度体系 运动方程的建立 —直接平衡法
10
2.5 多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方 程的直接平衡法的基本概念和实施技术。 将直接给出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵 和质量阵。我们可以直接应用这些矩阵建立运 动方程，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。 本节不详细介绍有关单元矩阵的建立方法，而单 元刚度阵、质量阵和阻尼阵的在有限元法和具 有分布参数体系分析方法中逐步得到学习。
f D cu 阻尼力：
u t=u g+u u
重力 和 地基运动 的影响
k
c
k
c Δst
c fs( t ) fD(t)
u t=u g+u u
0 fI( t)
m (W) W
W P (t)
u (t)
W P (t) (d)
(a )
(b )
(c)
ug
f S ku 弹性恢复力：
ug
外荷载：0
应用D’Alembert原理
上式也常表示成如下形式：
同理可以得到：
kGii N / h kGji N / h
~ C u K u p(t ) M u
K K K
G
则柱单元的几何刚度为：
K G e
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数， 物理意义是： kij—由第j自由度的单位位移 所引起的第i自由度的力 即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
13 14
f
I
p1 (t ) f I1 p (t ) f I2 , , p (t ) 2 p N (t ) f IN
fI fD fS 0
相对运动方程：
u g ) cu ku 0 m(u
eff—effective
以上结合单自由度结构体系给出了不同影响因素下结构 运动方程的建立方法，虽然例题极为简单，但包含了最 基本的概念和原理。以后会涉及到更复杂的结构体系， 例如结构构造复杂、自由度多，包含连续分布的质量， 地震多方向（多维）和多点（在结构不同的支承处的地 面运动不一致）输入等等，但灵活应用本章介绍的方法 都可以得到解决。
3
2.3 重力的影响
并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理，因 为在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即结构是线弹 性的，因此只有对线弹性结构（如果是二维或三维问题， 还要加上小变形（位移）的限制）才可以使用叠加原理， 将静力、动力问题分开考虑。 应当注意的是，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧-质点 体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的 弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所 平衡。如果重力的影响没有 预先被平衡(或发生了变化)， 则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响 问题，例如P-Δ效应。最简单的例子是倒立摆，当倒立摆 产生水平振动后，摆的重力引起的附加弯矩是一个新的 量，它并没有预先被平衡(且随摆角变化)，将对体系的动 力反应产生影响，这种影响必然反映到结构的运动方程中。
结构动力学
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
2.3 重力的影响
1
2
2.3 重力的影响
静平衡位置：受动力作用以前结构所处的实际位置 Δst——重力W=mg作用下体系的静位移
st W / k
k c k c Δst c fs( t ) fD( t) m ( W) W 0 fI ( t) W P ( t) (a ) (b ) ( c) (d ) u (t) W P (t)
4
f I mu f D cu
f s k (u st )
外荷载为：
应用D’Alembert原理： f I f D f s p(t ) W
cu k (u st ) p(t ) W mu
p (t ) W
k st W
cu ku p(t ) mu
f I f D f s p(t )
2.5 直接平衡法
弹性恢复力：f s i
2.5 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
ki1u1 ki 2u 2 kiN u N
对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，
K
f s1 k11 k12 k1N u1 u f k k 22 k 2 N 2 21 s2 fs K u f sN k N 1 k N 2 k NN u N
k G1N u1 u kG2N 2 K G u k GNN u N
23
其[kG]称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意 义如下： kGij— 由第j个自由度单位位移和结构中轴力 共同引起的i自由度的附加力 24
{fI}称为惯性力向量， {M}称为质量矩阵， {ü}为加速度向量。
18
3
2.5 直接平衡法
对于三层结构，忽略柱的质量，体系的质量矩阵为：
2.5 直接平衡法
如柱的质量不能忽略，则[M]的非对角线元素将不恒为 零。 柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 的质量线密度。
M 0
0
应用D’Alember原理：
f I i f D i f s i pi (t ), i 1, 2, , N
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。 共有N个方程。 也可以写成矩阵形式：
f s i ki1u1 ki 2u2 kiN u N
4
2.5 直接平衡法
下面用一个简单的例子说明几何刚度的求法。 kGjj和kGij可根据力的平衡 条件确定，分别对柱的i点 和j点取矩，可以得到
k Gjj N / h k Gij N / h
2.5 直接平衡法
当考虑轴力影响(P —Δ效应)时，运动方程可写为：
C u K u K G u p (t ) M u
8
cu ku Peff (t ) mu
g Peff (t ) mu
7
建立多自由度体系运动方程的方法
☀ 牛顿第二定律；直接平衡法 (D’Alember) ；虚位移原 理；Hamilton方程； 运动的Lagrange方程。 ☀ 基于矩阵位移法的 直接平衡方法 和基于变分原理的 Lagrange方程方法应用更广泛一些。 ①直接平衡方法应用动平衡的概念以矩阵的形式建立多 自由度体系的运动方程，概念直观，易于通过各个结 构单元矩阵 ( 刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵 ) 建立整 个结构体系的相应矩阵，进而建立体系的运动方程， 便于计算机编程。 ② 而对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问 题，采用运动的Lagrange方程可能更有效。
5
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
6
1
2.4 地基运动的影响
地基运动问题：结构的动力反应不是由直接作用到结构上的动力
引起的，而是由于结构基础的运动引起的。 ug—地基位移，是已知的 u —相对位移，反映结构变形 ut = u+ ug—绝对位移。
u g ) f I m(u 惯性力：
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}称为位移向量。
15
k1 k 2 k2 0
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3
16
2.5 直接平衡法
多自由度体系惯性力的一般表达形式为：
2.5 直接平衡法
惯性力也可以用矩阵的形式表达：
1 mi 2 u 2 miN u N f I i mi1u
结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：
C u K u p (t ) M u
[M]—质量矩阵； [C]—阻尼矩阵； [K]—刚度矩阵； {p(t)}—外荷载向量。
k G11 k G 21 fG k GN1
k G 22 k G 22 k GN 2
系数mij为质量影响系数，简称质量系数或质量，它的含义 是： mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力 即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自 由度加速度为零时，所需要的力。
17
1 f I 1 m11 m12 m1N u f m m22 m2 N u 21 I2 2 f I M u fI3 u N mN 1 mN 2 mNN
m1
0 m2 0
0 0 m3
m 为柱
19
20
2.5 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式：
2.5 直接平衡法 外荷载向量可写成：
1 f D1 c11 c12 c1 N u f c c 22 c 2 N u 2 21 D2 f D C u N f DN c N 1 c N 2 c NN u } 为速度 其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{u 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义：
p1 (t ) p (t ) 2 p(t ) p t ( ) N
其中pi(t)为作用于第i自由度的外荷载。
22
2.5 直接平衡法 根据式： f I f D f s p (t )
2.5 直接平衡法
f I M u
f D C u
f s K u
如果进一步考虑轴力的影响，例如由结构自重的存在引起 的附加（弯矩）二阶力，这些附加荷载也可以用矩阵形 式表达：
11
2.5 多自由度体系运动方程的建立：直接平衡法
假设一N层层间结构，自由度为N，各楼层集中质量mi， 外荷载pi, 层间刚度ki, 各层的水平运动为ui, i=1, …, N。 这个层间模型也可以转化成串连的弹簧—质点模型。
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2.5 直接平衡法
2.5 直接平衡法
弹性恢复力fsi可以用结构的层间(单元)刚度来表示，其一 般表达式为：
2.3 重力的影响
cu ku p(t ) mu
记：动位移为u 惯性力、阻尼力和 弹性恢复力分别为：
考虑重力影响时，结构体系的运动方程与无重力影响 时的运动方程完全一样，此时u是由动荷载引起的动力 反应。可见在研究结构的动力反应时，可以完全不考 虑重力的影响，建立体系的运动方程，直接求解动力 荷载作用下的运动方程，即得到结构体系的动力解。 当需要考虑重力影响时，结构的总位移为 总位移=静力解+动力解 即可以应用叠加原理将结构的动力反应和静力反应相 加即得到结构的总体反应。 在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（一 般是重力问题）和动力问题分开计算。
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第2章 分析动力ຫໍສະໝຸດ Baidu基础及运动方程的建立
2.5 多自由度体系 运动方程的建立 —直接平衡法
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2.5 多自由度体系运动方程的建立—直接平衡法
在这一节中将主要介绍建立多自由度体系运动方 程的直接平衡法的基本概念和实施技术。 将直接给出一些构件单元，例如梁单元的刚度阵 和质量阵。我们可以直接应用这些矩阵建立运 动方程，最主要的是知道这些矩阵中每一个元 素的物理意义。 本节不详细介绍有关单元矩阵的建立方法，而单 元刚度阵、质量阵和阻尼阵的在有限元法和具 有分布参数体系分析方法中逐步得到学习。
f D cu 阻尼力：
u t=u g+u u
重力 和 地基运动 的影响
k
c
k
c Δst
c fs( t ) fD(t)
u t=u g+u u
0 fI( t)
m (W) W
W P (t)
u (t)
W P (t) (d)
(a )
(b )
(c)
ug
f S ku 弹性恢复力：
ug
外荷载：0
应用D’Alembert原理
上式也常表示成如下形式：
同理可以得到：
kGii N / h kGji N / h
~ C u K u p(t ) M u
K K K
G
则柱单元的几何刚度为：
K G e
系数kij称为刚度影响系数，简称刚度系数， 物理意义是： kij—由第j自由度的单位位移 所引起的第i自由度的力 即j自由度给定一个单位位移， 而其余自由度都不动时， 所需要的力（反力）。
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I
p1 (t ) f I1 p (t ) f I2 , , p (t ) 2 p N (t ) f IN
fI fD fS 0
相对运动方程：
u g ) cu ku 0 m(u
eff—effective
以上结合单自由度结构体系给出了不同影响因素下结构 运动方程的建立方法，虽然例题极为简单，但包含了最 基本的概念和原理。以后会涉及到更复杂的结构体系， 例如结构构造复杂、自由度多，包含连续分布的质量， 地震多方向（多维）和多点（在结构不同的支承处的地 面运动不一致）输入等等，但灵活应用本章介绍的方法 都可以得到解决。
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2.3 重力的影响
并不是对任何结构动、静力反应问题都可以这样处理，因 为在以上推导中，假设弹簧的刚度k为常数，即结构是线弹 性的，因此只有对线弹性结构（如果是二维或三维问题， 还要加上小变形（位移）的限制）才可以使用叠加原理， 将静力、动力问题分开考虑。 应当注意的是，在以上推导过程中，假设悬挂的弹簧-质点 体系只发生竖向振动，在动荷载作用之前，重力被弹簧的 弹性变形所平衡，而施加荷载后，重力始终被弹性变形所 平衡。如果重力的影响没有 预先被平衡(或发生了变化)， 则在施加动力荷载产生进一步变形后，可以产生二阶影响 问题，例如P-Δ效应。最简单的例子是倒立摆，当倒立摆 产生水平振动后，摆的重力引起的附加弯矩是一个新的 量，它并没有预先被平衡(且随摆角变化)，将对体系的动 力反应产生影响，这种影响必然反映到结构的运动方程中。
结构动力学
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
2.3 重力的影响
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2.3 重力的影响
静平衡位置：受动力作用以前结构所处的实际位置 Δst——重力W=mg作用下体系的静位移
st W / k
k c k c Δst c fs( t ) fD( t) m ( W) W 0 fI ( t) W P ( t) (a ) (b ) ( c) (d ) u (t) W P (t)
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f I mu f D cu
f s k (u st )
外荷载为：
应用D’Alembert原理： f I f D f s p(t ) W
cu k (u st ) p(t ) W mu
p (t ) W
k st W
cu ku p(t ) mu
f I f D f s p(t )
2.5 直接平衡法
弹性恢复力：f s i
2.5 直接平衡法
对于三层结构， 刚度矩阵为：
ki1u1 ki 2u 2 kiN u N
对体系的弹性恢复力的全体可以写成矩阵的形式，
K
f s1 k11 k12 k1N u1 u f k k 22 k 2 N 2 21 s2 fs K u f sN k N 1 k N 2 k NN u N
k G1N u1 u kG2N 2 K G u k GNN u N
23
其[kG]称为几何刚度矩阵，其中的任一个元素kGij的物理意 义如下： kGij— 由第j个自由度单位位移和结构中轴力 共同引起的i自由度的附加力 24
{fI}称为惯性力向量， {M}称为质量矩阵， {ü}为加速度向量。
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2.5 直接平衡法
对于三层结构，忽略柱的质量，体系的质量矩阵为：
2.5 直接平衡法
如柱的质量不能忽略，则[M]的非对角线元素将不恒为 零。 柱引起的质量系数的物理含义可见下图，其中 的质量线密度。
M 0
0
应用D’Alember原理：
f I i f D i f s i pi (t ), i 1, 2, , N
fIi—惯性力； fDi—阻尼力； fsi—弹性恢复力； pi—外力。 共有N个方程。 也可以写成矩阵形式：
f s i ki1u1 ki 2u2 kiN u N
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2.5 直接平衡法
下面用一个简单的例子说明几何刚度的求法。 kGjj和kGij可根据力的平衡 条件确定，分别对柱的i点 和j点取矩，可以得到
k Gjj N / h k Gij N / h
2.5 直接平衡法
当考虑轴力影响(P —Δ效应)时，运动方程可写为：
C u K u K G u p (t ) M u
8
cu ku Peff (t ) mu
g Peff (t ) mu
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建立多自由度体系运动方程的方法
☀ 牛顿第二定律；直接平衡法 (D’Alember) ；虚位移原 理；Hamilton方程； 运动的Lagrange方程。 ☀ 基于矩阵位移法的 直接平衡方法 和基于变分原理的 Lagrange方程方法应用更广泛一些。 ①直接平衡方法应用动平衡的概念以矩阵的形式建立多 自由度体系的运动方程，概念直观，易于通过各个结 构单元矩阵 ( 刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵 ) 建立整 个结构体系的相应矩阵，进而建立体系的运动方程， 便于计算机编程。 ② 而对于一些特殊的问题，例如，大变形（位移）问 题，采用运动的Lagrange方程可能更有效。
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第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.4 地基运动的影响
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2.4 地基运动的影响
地基运动问题：结构的动力反应不是由直接作用到结构上的动力
引起的，而是由于结构基础的运动引起的。 ug—地基位移，是已知的 u —相对位移，反映结构变形 ut = u+ ug—绝对位移。
u g ) f I m(u 惯性力：
{fs}称为弹性恢复力向量， [k]称为刚度矩阵， {u}称为位移向量。
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k1 k 2 k2 0
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3
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2.5 直接平衡法
多自由度体系惯性力的一般表达形式为：
2.5 直接平衡法
惯性力也可以用矩阵的形式表达：
1 mi 2 u 2 miN u N f I i mi1u
结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：
C u K u p (t ) M u
[M]—质量矩阵； [C]—阻尼矩阵； [K]—刚度矩阵； {p(t)}—外荷载向量。
k G11 k G 21 fG k GN1
k G 22 k G 22 k GN 2
系数mij为质量影响系数，简称质量系数或质量，它的含义 是： mij—由j自由度的单位加速度引起的相应于i自由度的力 即给定j自由度一个单位加速度，产生了惯性力，其余自 由度加速度为零时，所需要的力。
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1 f I 1 m11 m12 m1N u f m m22 m2 N u 21 I2 2 f I M u fI3 u N mN 1 mN 2 mNN
m1
0 m2 0
0 0 m3
m 为柱
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2.5 直接平衡法
若采用粘性阻尼假设，采用与弹性恢复力相似的方法也可 以建立如下阻尼力向量的计算公式：
2.5 直接平衡法 外荷载向量可写成：
1 f D1 c11 c12 c1 N u f c c 22 c 2 N u 2 21 D2 f D C u N f DN c N 1 c N 2 c NN u } 为速度 其中{fD}称为阻尼力向量，[C]称为阻尼矩阵，{u 向量。系数cij称为阻尼影响系数，简称阻尼系数，其物 理意义：