2014山东省济南市一模试卷(文科数学)及答案
数学_2014年山东省济南市高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z满足z(1+i)=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数z¯是（）A 12+12i B 12−12i C −12+12i D −12−12i2. 已知集合A={x||x−1|<2}，B={x|y=lg(x2+x)}，则A∩(∁R B)=（）A [3, +∞)B (−1, 0]C (3, +∞)D [−1, 0]3. 某几何体三视图如图所示，则该几何几的体积等于（）A 2B 4C 8D 124. 函数y＝ln(x−sinxx+sinx)的图象大致是（）A B C D5. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A 1B 2C 3D 46. 在△ABC中，若sinCsinA =3，b2−a2=52ac，则cosB的值为（）A 13B 12C 15D 147. 如图，设抛物线y =−x 2+1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是（ ）A 56 B 45 C 34 D 23 8. 已知g(x)=ax +1，f(x)={2x −1，0≤x ≤2−x 2，−2≤x <0，对∀x 1∈[−2, 2]，∃x 2∈[−2, 2]，使g(x 1)=f(x 2)成立，则a 的取值范围是（ ） A [−1, +∞) B [−1, 1] C (0, 1] D (−∞, 1]9. 已知点M(x, y)是平面区域{x ≥0y ≥0x −y +1≥02x +y −4≤0内的动点，则(x +1)2+(y +1)2的最大值是（ ）A 10B 495 C √13 D 1310. 已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 1与双曲线C 2有共同的焦点，设左右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 1与C 2在第一象限的交点，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1⋅e 2的取值范围是（ ） A (19, +∞) B (15, +∞) C (13, +∞) D (0, +∞)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11. 某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70km/ℎ以下的汽车有________辆．12. 设圆C ：(x −3)2+(y −5)2=5，过圆心C 作直线l 交圆于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．13. 航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________（用数字作答）．14.在△ABC 中，E 为AC 上一点，且AC →=4AE →，P 为BE 上一点，且满足AP →=mAB →+nAC →(m >0, n >0)，则1m +1n 取最小值时，向量a →=(m,n)的模为________． 15. 已知下列命题：①设m 为直线，α，β为平面，且m ⊥β，则“m // α”是“α⊥β”的充要条件； ②(x 3+1x )5的展开式中含x 3的项的系数为60；③设随机变量ξ∼N(0, 1)，若P(ξ≥2)=p ，则P(−2<ξ<0)=12−p ；④若不等式|x +3|+|x −2|≥2m +1恒成立，则m 的取值范围是(−∞, 2)；⑤已知奇函数f(x)满足f(x +π)=−f(x)，且0<x <π2时f(x)=x ，则函数g(x)=f(x)−sinx 在[−2π, 2π]上有5个零点．其中真命题的序号是________（写出全部真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题；共75分．16. 已知函数f(x)=4cosωx ⋅sin(ωx −π6)+1(ω>0)的最小正周期是π． （1）求f(x)的单调递增区间；（2）求f(x)在[π8, 3π8]上的最大值和最小值．17. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB // DC ，AD ⊥DC ，AB =AD =1，DC =2，PD =√2，M 为棱PB 的中点． （1）证明：DM ⊥平面PBC ；（2）求二面角A −DM −C 的余弦值．18. 一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．(Ⅰ)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P 1； (Ⅱ)从袋中有放回地取球． ①求恰好取5次停止的概率P 2；②记5次之内（含5次）取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=49，a 4和a 8的等差中项为11． （1）求a n 及S n ；（2）证明：当n ≥2时，有1S 1+1S 2+...+1S n<74．20. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M(√6, 1)，离心率为√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P(√6, 0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足PA →⋅PB →=−2，试问直线AB 是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=k(x −1)e x +x 2．（1）当时k =−1e ，求函数f(x)在点(1, 1)处的切线方程；（2）若在y 轴的左侧，函数g(x)=x 2+(k +2)x 的图象恒在f(x)的导函数f′(x)图象的上方，求k 的取值范围；（3）当k ≤−l 时，求函数f(x)在[k, 1]上的最小值m ．2014年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. B3. B4. A5. C6. D7. C8. B9. D 10. C 11. 2012. y =2x −1或y =−2x +11 13. 300 14. √56 15. ③16. 解：（1）f(x)=4cosωxsin(ωx −π6)+1=2√3sinωxcosωx −2cos 2ωx +1 =√3sin2ωx −cos2ωx =2sin(2ωx −π6)，∵ 函数f(x)的最小正周期是π， ∴ T =2π2ω=π，∴ ω=1， ∴ f(x)=2sin(2x −π6)，令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，∴ −π6+kπ≤x ≤π3+kπ，∴ f(x)的单调递增区间[−π6+kπ, π3+kπ]，(k ∈z)；（2）∵ x ∈[π8, 3π8]， ∴ (2x −π6)∈[π12, 7π12]，∴ f(x)=2sin(2x −π6)∈[√6−√22, 2]， ∴ f(x)在[π8, 3π8]上的最大值2，最小值√6−√22． 17. （1）证明：连结BD ，取DC 的中点G ，连结BG ，由题意知DG =GC =BG =1，即△DBC 是直角三角形，∴ BC ⊥BD ， 又PD ⊥平面ABCD ，∴ BC ⊥PD ， ∴ BC ⊥平面BDP ，BC ⊥DM ，又PD =BD =√2，PD ⊥BD ，M 为PB 的中点，∴ DM ⊥PB ，∵ PB ∩BC =B ， ∴ DM ⊥平面SDC ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 2, 0)， P(0, 0, √2)，M(12,12,√22)， 设平面ADM 的法向量n 1→=(x,y,z)，则{n 1→⋅DM →=−x2+y2+√2z 2=0˙，取y =√2，得n 1→=(0,√2,−1)，同理，设平面ADM 的法向量n 2→=(x 1,y 1,z 1)，则{n 2→⋅DM →=x 12−y 12+√2z 12=0˙，取x 1=√2，得n 2→=(√2,0,1)， cos <n 1→，n 2→>=−13，∵ 二面角A −DM −C 的平面角是钝角， ∴ 二面角A −DM −C 的余弦值为−13．18. (Ⅰ)恰好取4次停止的概率：P 1=(69×38×27+39×68×27+39×28×67)×16=128．(Ⅱ)①恰好取5次停止的概率P 2=C 42×(13)2×(23)2×13=881．②由题意知随机变量ξ的取值为0，1，2，3，由n 次独立重复试验概率公式P n (k)=C n k p k(1−p)n−k ，得P(ξ=0)=C 50×(1−13)5=32243，P(ξ=1)=C 51×13×(1−13)4=80243， P(ξ=2)=C 52×(13)2(1−13)3=80243，ξ=3这个事件包括了三种情况，第一种取三次取到全是红球，第二种取四次取到三次红球，此时，第四次一定取到红球，前三次两次取到红球，第三种取五次取到三个红球，第五次取到的是红球，前四次取到两次红球，故有P(ξ=3)=(13)3+C 31×(13)3×(1−13)+C 42×(13)3×(1−13)2=51243，∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×32243+1×80243+2×80243+3×51243=13181．19. （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵ S 7=49，a 4和a 8的等差中项为11， ∴ {7a 1+21d =492a 1+10d =22，解得a 1=1，d =2，∴ a n =2n −1，S n =n 2．（2）证明：由（1）知S n =n 2，n ∈N ∗，①n =2时，1S 1+1S 2=1+14<74，∴ 原不等式也成立．②当n ≥3时，∵ n 2>(n −1)n ， ∴ 1n 2<1n−1−1n ，∴ 1S 1+1S 2+⋯+1S n=112+122+⋯+1n 2<1+14+12×3+⋯+1(n −1)n=1+14+[(12−13)+...+(1n −2−1n −1)+(1n −1−1n )]=1+14+(12−1n )=74−1n <74．20. 解：（1）∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为√22，∴ ca =√22，① ∵ 椭圆经过点M(√6, 1)，∴ 6a 2+1b 2=1，② 又a 2=b 2+c 2，③∴ 由①②③联立方程组解得a 2=8，b 2=c 2=4， ∴ 椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为y =kx +m ， 代入x 28+y 24=1，消去y 整理，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−8=0，由△>0，得8k 2+4−m 2>0，(∗)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4km2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1，∵ 点P(√6, 0)，A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足PA →⋅PB →=−2， ∴ PA →⋅PB →=(x 1−√6)(x 2−√6)+y 1y 2=(x 1−√6)(x 2−√6)+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+(km −√6)(x 1+x 2)+6+m 2=−2， ∴ (k 2+1)⋅2m 2−82k 2+1+(km −√6)⋅−4km2k 2+1+8+m 2=0，整理，得(√3m +2√2k)2=0， 解得m =−2√63k ，满足(∗) ∴ 直线AB 的方程为y =k(x −2√63)， ∴ 直线AB 经过定点(2√63, 0)． ②当直线AB 与x 轴垂直时，直线方程为x =2√63， 此时A(2√63, 2√63)，B(2√63, −2√63)，也有PA→⋅PB →=−2，综上，直线AB 一定过定点(2√63, 0)． 21. 解：（1）k =−1e 时，f(x)=−1e (x −1)e x +x 2， ∴ f′(x)=x(2−e x−1 )，∴ f′(1)=1，f(1)=1，∴ 函数f(x)在(1, 1)处的切线方程为y=x，（2）f′(x)=kx(e x+2k)<x2+(k+2)x，即：kxe x−x2−kx<0，∵ x<0，∴ ke x−x−k>0，令ℎ(x)=ke x−x−k，∴ ℎ′(x)=ke x−1，当k≤0时，ℎ(x)在x<0时递减，ℎ(x)>ℎ(0)=0，符合题意，当0<k≤1时，ℎ(x)在x<0时递减，ℎ(x)>ℎ(0)=0，符合题意，当k>1时，ℎ(x)在(−∞, −lnk)递减，在(−lnk, 0)递增，∴ ℎ(−lnk)<ℎ(0)=0，不合题意，综上：k≤1．（3）f′(x)=kx(e x+2k)，令f′(x)=0，解得：x1=0，x2=ln(−2k)，令g(k)=ln(−2k )−k，则g′(k)=−1k−1≤0，g(k)在k=−1时取最小值g(−1)=1+ln2>0，∴ x2=ln(−2k)>k，当−2<k≤−1时，x2=ln(−2k)>0，f(x)的最小值为m=min{f(0), f(1)}=min{−k, 1}=1，当k=−2时，函数f(x)在区间[k, 1]上递减，m=f(10=1，当k<−2时，f(x)的最小值为m=min{f(x2 ), f(1)}，f(x2 )=−2[ln(−2k )−1]+[ln(−2k)]2=x22−2x2+2>1，f(1)=1，此时m=1，综上：m=1．。
数学_2014年山东省菏泽市高考数学一模试卷(文科)_(含答案)
2014年山东省菏泽市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分）1. 已知集合M ={y|y =2sinx, x ∈[−5, 5]}，N ={x|y =log 2(x −1)}，则M ∩N =( ) A {x|1<x ≤2} B {x|−1<x ≤0} C {x|−2≤x ≤0} D {x|1<x ≤5}2. 如果复数z = 2 − 1 + i，则（ ）A |z|＝2B z 的实部为1C z 的虚部为−1D z 的共轭复数为1+i 3. 下列命题中的真命题是（ ）A 对于实数a 、b 、c ，若a >b ，则ax 2>bx 2B 不等式1x >1的解集是{x|x <1} C ∃α，β∈R ，使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立 D ∀α，β∈R ，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ成立4. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是( )A 2B 92C 32D 35. 某程序框图如图所示，现将输出(x, y)值依次记为：(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…(x n , y n )，…；若程序运行中输出的一个数组是(x, −10)，则数组中的x 等于（ ）A 64B 32C 16D 8 6. 下列四个图中，哪个可能是函数y =10ln|x+1|x+1的图象（ ）A B C D7. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x −2)=−f(x)，且在[0, 1]上是增函数，则有（ ） A f(14)<f(−14)<f(32) B f(−14)<f(14)<f(32) C f(14)<f(32)<f(−14) D f(−14)<f(32)<f(14)8.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参照附录，得到的正确结论是( )A 在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B 在犯错误的概率不超过2.5％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” C 有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” D 有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”9. 已知函数f(x)={sinπx(0≤x ≤1)log 2014x(x >1)，若a 、b 、c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是（ ）A (1, 2014)B (1, 2015)C (2, 2015)D [2, 2015] 10. 已知抛物线y 2=4x 的准线过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点且与双曲线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为（ ） A 32 B 4 C3 D 2二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分）11. 设f(x)=ax 3+3x 2+2，若f(x)在x =1处的切线与直线x +3y +3=0垂直，则实数a 的值为________．12. 设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1>0x −m <0y +m >0表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)满足x 0−2y 0=2，则m 的取值范围是________．13. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c 、，已知a 2−c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，则b ＝________．14. 如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB →在A 点处与圆O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP →⋅AB →的取值范围是________． 15. 函数B 1的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)=f(x 2)时总有x 1=x 2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=x +1(x ∈R)是单函数．下列命题： ①函数f(x)=x 2−2x(x ∈R)是单函数；②函数f(x)={log 2x ，x ≥22−x,x <2是单函数；③若y =f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；④函数f(x)在定义域内某个区间D 上具有单调性，则f(x)一定是单函数． 其中的真命题是________（写出所有真命题的编号）．三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16. 已知函数f(x)=2sinωxcosωx +2√3sin 2ωx −√3(ω>0)的最小正周期为π． (1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y =g(x)的图象．若y =g(x)在[0, b](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．17. 如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD // BC ，CE // BG ，且∠BCD ＝∠BCE =π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2．求证： (Ⅰ)EC ⊥CD ；(Ⅱ)求证：AG // 平面BDE ；(Ⅲ)求：几何体EG −ABCD 的体积．18. 对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A“型2件（1）从该批电器中任选1件，求其为“B“型的概率；（2）从重量在[80, 85)的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率． 19. 已知数列{a n }，a 1=−5，a 2=−2，记A(n)=a 1+a 2+...+a n ，B(n)=a 2+a 3+...+a n+1，C(n)=a 3+a 4+...+a n+2(n ∈N ∗)，若对于任意n ∈N ∗，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2） 求数列{|a n |}的前n 项和． 20. 已知函数f (x )=ax−a e x(x ∈R ，a ≠0).(1)当a =−1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点，求实数a 的取值范围． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，以椭圆C 左顶点T 为圆心作圆T ：(x +2)2+y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM →⋅TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：OR ⋅OS 为定值．2014年山东省菏泽市高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. C4. C5. B6. C7. B8. D9. C 10. D 11. −1 12. (23，+∞) 13. 414. [−5, 5]15. ③16. 解：(1)由题意，可得f(x)=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx−√3=sin2ωx−√3cos2ωx=2sin(2ωx−π3)．∵ 函数的最小正周期为π，∴ 2π2ω=π，解得ω=1．由此可得函数的解析式为f(x)=2sin(2x−π3)．令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，∴ 函数f(x)的单调增区间是[kπ−π12，kπ+5π12]，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f(x+π6)+1的图象，∵ f(x)=2sin(2x−π3)∴ g(x)=2sin[2(x+π6)−π3]+1=2sin2x+1，可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1．令g(x)=0，得sin2x=−12，可得2x=2kπ+7π6或2x=2kπ+11π6，k∈Z，解之得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12，k∈Z，∴ 函数g(x)在每个周期上恰有两个零点，若y=g(x)在[0, b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．17. （1）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG＝BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴ EC⊥平面ABCD，又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD（2）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG＝MN，MN // BC // DA，且MN=AD=12BC，∴ MG // AD，MG＝AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴ AG // DM ∵ DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴ AG // 平面BDE(Ⅲ)V EG−ABCD＝V D−BCEG+V G−ABD=13×2+12×2×2+13×12×1×1×2=7318. 解：（1）设“从该批电器中任选1件，其为“B”型”为事件A 1， 则P(A 1)=50−550=910所以从该批电器中任选1件，求其为”B”型的概率为910．（2）设“从重量在[80, 85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为“A”型”为事件A 2， 记这5件电器分别为a ，b ，c ，d ，e ，其中“A”型为a ，b ．从中任选2件，所有可能的情况为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种． 其中恰有1件为”A”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种． 所以P(A 2)=610=35．所以从重量在[80, 85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为“A”型的概率为35． 19. 解：（1）根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列 ∴ A(n)+C(n)=2B(n)−−−−−−−−−−−−−− 整理得a n+2−a n+1=a 2−a 1=−2+5=3∴ 数列{a n }是首项为−5，公差为3的等差数列--------------∴ a n =−5+3(n −1)=3n −8−−−−−−−−−−−−−− （2）|a n |={−3n +8,n ≤23n −8,n ≥3−−−−−−−−−−−−−−记数列{|a n |}的前n 项和为S n ． 当n ≤2时，S n =n(5+8−3n)2=−3n 22+132n 当n ≥3时，S n =7+(n−2)(1+3n−8)2=3n 22−132n +14综上，S n ={−32n 2+132nn ≤232n 2−132n +14n ≥3−−−−−−−−−−−−−−20. 解：(1)因为函数f(x)=ax−a e x(a ≠0)，所以f′(x)=−ae x (x−2)(e x )2=−a(x−2)e x，x ∈R .当a =−1时，f(x)，f′(x)的情况如下表：所以，当a =−1时，函数f(x)的极小值为f(2)=−e ，无极大值.(2)因为F′(x)=f′(x)=−a(x−2)e x，①当a <0时，F(x)，F′(x)的情况如下表：若使函数F(x)没有零点，需且仅需F(2)=a e 2+1>0，解得a >−e 2，所以此时−e 2<a <0；②当a >0时，F(x)，F′(x)的情况如下表：因为F(2)>F(1)>0，且F(1−10a)=e1−10a−10e 1−10a<e−10e 1−10a<0，所以此时函数F(x)总存在零点．综上所述，所求实数a 的取值范围是{a|−e 2<a <0}． 21. 依题意，得a ＝2，e =ca =√32， ∴ c =√3，b =√4−3=1， 故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1, y 1)，N(x 1, −y 1)，不妨设y 1>0． 由于点M 在椭圆C 上，所以y 12=1−x 124． (∗)由已知T(−2, 0)，则TM →=(x 1+2,y 1)，TN →=(x 1+2,−y 1)， ∴ TM →⋅TN →=(x 1+2,y 1)⋅(x 1+2,−y 1) ＝(x 1+2)2−y 12=(x 1+2)2−(1−x 124)=54x 12+4x 1+3=54(x 1+85)2−15． 由于−2<x 1<2，故当x 1=−85时，TM →⋅TN →取得最小值为−15． 由(∗)式，y 1=35，故M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325．故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)， 不妨设sinθ>0，由已知T(−2, 0)，则TM →⋅TN →=(2cosθ+2,sinθ)⋅(2cosθ+2,−sinθ) ＝(2cosθ+2)2−sin 2θ ＝5cos 2θ+8cosθ+3 =5(cosθ+45)2−15．故当cosθ=−45时，TM →⋅TN →取得最小值为−15，此时M(−85,35)，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2=1325． 故圆T 的方程为：(x +2)2+y 2=1325．方法一：设P(x 0, y 0)，则直线MP 的方程为：y −y 0=y 0−y1x 0−x 1(x −x 0)，令y ＝0，得x R =x 1y 0−x 0y 1y 0−y 1，同理：x S =x 1y 0+x 0y 1y 0+y 1， 故x R ⋅x S =x 12y 02−x 02y 12y 02−y 12 (∗∗)又点M 与点P 在椭圆上，故x 02=4(1−y 02)，x 12=4(1−y 12)， 代入(∗∗)式， 得：x R ⋅x S =4(1−y 12)y 02−4(1−y 02)y 12y 02−y 12=4(y 02−y 12)y 02−y 12=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R |⋅|x S |＝|x R ⋅x S |＝4为定值． 方法二：设M(2cosθ, sinθ)，N(2cosθ, −sinθ)，不妨设sinθ>0，P(2cosα, sinα)，其中sinα≠±sinθ． 则直线MP 的方程为：y −sinα=sinα−sinθ2cosα−2cosθ(x −2cosα)， 令y ＝0，得x R =2(sinαcosθ−cosαsinθ)sinα−sinθ，同理：x S =2(sinαcosθ+cosαsinθ)sinα+sinθ，故x R⋅x S=4(sin2αcos2θ−cos2αsin2θ)sin2α−sin2θ=4(sin2α−sin2θ)sin2α−sin2θ=4．所以|OR|⋅|OS|＝|x R|⋅|x S|＝|x R⋅x S|＝4为定值．。
2014年山东省高考数学试卷及解析(文科)
2014年山东省高考数学试卷（文科）一.选择题每小题5分，共50分1、（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A、3﹣4iB、3+4iC、4﹣3iD、4+3i2、（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A、（0，2]B、（1，2）C、[1，2）D、（1，4）3、（5分）函数f（x）=的定义域为（）A、（0，2）B、（0，2]C、（2，+∞）D、[2，+∞）4、（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A、方程x3+ax+b=0没有实根B、方程x3+ax+b=0至多有一个实根C、方程x3+ax+b=0至多有两个实根D、方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5、（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A、x3＞y3B、sinx＞sinyC、ln（x2+1）＞ln（y2+1）D、＞6、（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A、a＞1，c＞1B、a＞1，0＜c＜1C、0＜a＜1，c＞1D、0＜a＜1，0＜c＜17、（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A、2B、C、0D、﹣8、（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验、所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组、如图是根据试验数据制成的频率分布直方图、已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A、6B、8C、12D、189、（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A、f（x）=B、f（x）=x2C、f（x）=tanxD、f（x）=cos（x+1）10、（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A、5B、4C、D、2二.填空题每小题5分，共25分11、（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为、12、（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为、13、（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为、14、（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为、15、（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为、三.解答题共6小题，共75分16、（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示、工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测、地区A B C数量50150100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率、17、（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知a=3，cosA=，B=A+、（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积、18、（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点、（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC、19、（12分）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n、20、（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数、（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性、21、（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为、（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）、点D 在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点、（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值、参考答案与试题解析一.选择题每小题5分，共50分1、（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A、3﹣4iB、3+4iC、4﹣3iD、4+3i题目分析：利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值、试题解答解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A、点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题、2、（5分）设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A、（0，2]B、（1，2）C、[1，2）D、（1，4）题目分析：分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可、试题解答解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}，∴A∩B={x|1≤x＜2}、故选：C、点评：本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题、3、（5分）函数f（x）=的定义域为（）A、（0，2）B、（0，2]C、（2，+∞）D、[2，+∞）题目分析：分析可知，，解出x即可、试题解答解：由题意可得，，解得，即x＞2、∴所求定义域为（2，+∞）、故选：C、点评：本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件、高考中对定义域的考查，大多属于容易题、4、（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A、方程x3+ax+b=0没有实根B、方程x3+ax+b=0至多有一个实根C、方程x3+ax+b=0至多有两个实根D、方程x3+ax+b=0恰好有两个实根题目分析：直接利用命题的否定写出假设即可、试题解答解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根、故选：A、点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查、5、（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A、x3＞y3B、sinx＞sinyC、ln（x2+1）＞ln（y2+1）D、＞题目分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键、试题解答解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A、当x＞y时，x3＞y3，恒成立，B、当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立、C、若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y，但x2＞y2不成立、D、若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立、故选：A、点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键、6、（5分）已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A、a＞1，c＞1B、a＞1，0＜c＜1C、0＜a＜1，c＞1D、0＜a＜1，0＜c＜1题目分析：根据对数函数的图象和性质即可得到结论、试题解答解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D、点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础、7、（5分）已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（）A、2B、C、0D、﹣题目分析：由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m 的值、试题解答解：由题意可得cos===，解得m=，故选：B、点评：本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题、8、（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验、所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组、如图是根据试验数据制成的频率分布直方图、已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A、6B、8C、12D、18题目分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；试题解答解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人、故选：C、点评：本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题、9、（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A、f（x）=B、f（x）=x2C、f（x）=tanx D、f（x）=cos（x+1）题目分析：由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可、试题解答解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴、函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确、故选：D、点评：本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查、10、（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A、5B、4C、D、2题目分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0、a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案、试题解答解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）、化目标函数为直线方程得：（b＞0）、由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小、∴2a+b=2、即2a+b﹣2=0、则a2+b2的最小值为、故选：B、点评：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题、二.填空题每小题5分，共25分11、（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3、题目分析：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可、试题解答解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3、故答案为：3、点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力、12、（5分）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π、题目分析：利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期试题解答解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π、点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题、13、（5分）一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12、题目分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积、试题解答解：∵一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，∴h=1，棱锥的斜高为：==2，该六棱锥的侧面积为：=12、故答案为：12、点评：本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题、14、（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4、题目分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可、试题解答解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4、故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4、点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式、根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键、15、（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为y=±x、题目分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x2=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x、试题解答解：∵右顶点为A，∴A（a，0），∵F为抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，F，∵|FA|=c，∴抛物线的准线方程为由得，，由①②，得=2c，即c2=2a2，∵c2=a2+b2，∴a=b，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故答案为：y=±x、点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键、三.解答题共6小题，共75分16、（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示、工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测、地区A B C数量50150100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率、题目分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案、试题解答解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为、点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题、17、（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c、已知a=3，cosA=，B=A+、（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积、题目分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值、（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案、试题解答解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+、∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3、（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=、点评：本题主要考查了正弦定理的应用、解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用、18、（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点、（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC、题目分析：（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F 为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC、试题解答证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC、点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19、（12分）在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a，记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n，求T n、题目分析：（Ⅰ）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出、（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b n=a=n（n+1），因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）、对n分奇偶讨论即可得出、试题解答解：（Ⅰ）∵a2是a1与a4的等比中项，∴，∵在等差数列{a n}中，公差d=2，∴，即，化为，解得a1=2、∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n、（Ⅱ）∵b n=a=n（n+1），∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）n b n=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）n n•（n+1）、当n=2k（k∈N*）时，b2k﹣b2k﹣1=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4kT n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣b2k﹣1）=4（1+2+…+k）=4×=2k（k+1）=、当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=（b2﹣b1）+（b4﹣b3）+…+（b2k﹣2﹣b2k﹣3）﹣b2k﹣1=n（n+1）=﹣、故T n=、（也可以利用“错位相减法”）点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题、20、（13分）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数、（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性、题目分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y ﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可、（Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可、试题解答解：，（Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）、（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a ＞0，令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0、以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程、①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立、（x＞0）②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0，∴g（x）=0的两根一正一负，计算得当0＜x＜时，g（x）＞0；当x＞时，g（x）＜0、综合（1）（2）可知，当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增、点评：导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法、21、（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为、（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）、点D 在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点、（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值、题目分析：（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值、试题解答解：（Ⅰ）由题意知，，则a2=4b2、∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2、将y=x代入可得，因此，解得a=2、则b=1、∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）、∵直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率、设AD方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0、联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0、∴、因此、由题意可得、∴直线BD 的方程为、令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）、可得、∴，即、因此存在常数使得结论成立、（ii）直线BD 方程为，令x=0，得，即N （）、由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面积为S==当且仅当时等号成立∴△OMN 面积的最大值为21/ 21。
数学_2014年山东省泰安市高考数学一模试卷(文科)_(含答案)
2014年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数z =a +bi(a, b ∈R)，若z1+i =2−i 成立，则点P(a, b)在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 如果点P(2, y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2=4x 上，则|PF|=( ) A 1 B 2 C 3 D 43. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：由K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，K 2=500×(40×270−30×160)2200×300×70×430≈9.967附表：A 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C 有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D 有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”4. 给定命题p ：函数y =ln[(1−x)(1+x)]为偶函数；命题q ：函数y =e x −1e x +1为偶函数，下列说法正确的是（ ）A p ∨q 是假命题B (￢p)∧q 是假命题C p ∧q 是真命题D (￢p)∨q 是真命题 5. 已知平面向量a →，b →的夹角为120∘，且a →⋅b →=−1，则|a →−b →|的最小值为（ ） A √6 B √3 C √2 D 16. 执行所示的程序框图，如果输入a ＝3，那么输出的n 的值为（ ）A 2B 3C 4D 57. 将函数f(x)=√3sin2x −cos2x 的图象向左平移|m|个单位(m >−π2)，若所得的图象关于直线x =π6对称，则m 的最小值为（ ）A −π3B −π6C 0D π128. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为（ ）A 8B 4C 4√3D √39. 设直线x =m 与函数f(x)=x 2+4，g(x)=2lnx 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN|达到最小时m 的值为（ ） A 14 B 12 C 1 D 210. 已知函数f(x)=(x −1)[x 2+(a +1)x +a +b +1]的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a 2+b 2的取值范围是（ ）A [√5, +∞)B (√5, +∞)C [5, +∞)D (5, +∞)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝________． 12. 在区间[−1, 3]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为________．13. 已知F 1，F 2是双曲线E 的两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一个公共点是M ，若∠MF 1F 2=30∘，则双曲线E 的离心率是________．14. 已知sinβ=35(π2<β<π)，且sin(α+β)=cosα，则sin 2α+sinαcosα−2cos 2α等于________．15. 定义域为R 的函数f(x)满足f(x +1)=2f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)=x 2−x ，则当x ∈[−2, −1]时，f(x)的最小值为________．三、解答题16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cosC =ba +3c5a ． （1）求sinA ；（2）若a =8√2，b =10，求BA →在BC →上的投影．17. 已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC // AD ．∠BAD =90∘，且PA =AB =BC =1，AD =2，PA ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点． （1）证明：PC ⊥CD ；（2）设F 为PA 上一点，且AF →=14AP →，证明：EF // 平面PCD ．18. 某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关．据统计，当X =70时，Y =460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年的X 值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（1）完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表（2）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；（3）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率． 19. 已知数列{a n }中，a 1=t （t 为非零常数），其前n 项和为S n ，满足a n+1=2S n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的n ∈N ∗，都有λa n >n(n +1)成立，求实数λ的取值范围．20. 如图，A、B是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两个顶点，它的短轴长为1，其一个焦点与短轴的两个端点构成正三角形．（1）求椭圆方程；（2）若直线y=kx(k>0)与椭圆相交于R、S两点．求四边形ARBS面积的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx+mx，其中m为常数．(I)当m=−1时，求函数f(x)的单调区间；(II)若f(x)在区间(0, e]上的最大值为−3，求m的值；(III)令g(x)=f(x)+2x −f′(x)，若x≥1时，有不等式g(x)≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．2014年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. C4. B5. A6. C7. B8. C9. C10. D11. 1512. 1213. √3+114. −9515. −11616. 解：（1）在△ABC中，∵ cosC=ba +3c5a，∴ cosC=sinBsinA+3sinC5sinA，化简可得5sinAcosC=5sinB+3sinC，即5sinAcosC=5sin(A+C)+3sinC，即5sinAcosC=5sinAcosC+5cosAsinC+3sinC，∴ sinC(5cosA +3)=0，即5cosA +3=0， ∴ cosA =−35，sinA =45．（2）∵ a =8√2，b =10，cosC =b a+3c 5a，由余弦定理可得a 2+b 2−c 22ab=b a+3c 5a，解得：c =2．再由正弦定理可得bsinB =asinA ， ∴ sinB =bsinA a=√22， ∴ cosB =√22． 故BA →在BC →上的投影为c ⋅cosB =2×√22=√2．17. 解：（1）连结AC ， ∵ PA ⊥平面ABCD ， ∴ PA ⊥CD ，取AD 中点G ，连结CG ，在直角梯形ABCD 中∠BAD =90∘，AB =BC =1，AD =2，BC // AD ， ∴ AG =GD =GC =1，CG ⊥AD ， ∴ CD ⊥AC ，∴ CD ⊥平面PAC ， ∴ PC ⊥CD ．（2）取AG 的中点H ，连结BG ，EH ，FH ， ∵ E 为AB 的中点， ∴ EH // BG ，又BC =DG =1，BC // DG ， ∴ 四边形BCDG 为平行四边形， ∴ GC // CD ，∵ AF →=14AP →，AH =14AD ，∴ FH // PD ，∴ 平面EFH // 平面PCD ， ∴ EF // 平面PCD ．18. 解：（1）近20年降雨量为110，160，220的频数分别为：3、7、2，由频数除以20得频率分别为320，720，220，频率分布表如图：（2）20个数从小到大排列为：70，110，110，110，140，140，140，140，160，160，160，160，160，160，160，200，200，200，220，220 中位数是160；平均降雨量x ¯=120(70+110×3+140×4+160×7+200×3+220×2)=156； （3）由已知可设 Y =12X +B ∵ X =70时，Y =460，∴ B =425， ∴ Y =12X +425．当Y ≥520时，由12X +425≥520，解得：X ≥190．∴ 发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥， ∴ 发电量低于520（万千瓦时）的概率P =320+220=14． 19. 解：（1）当n =1时，a 1=t ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12a n+1−12a n ，即a n+1=3a n (n ≥2)， 又a 1=t ≠0， ∴a n+1a n=3 (n ≥2)，又a 2=2S 1=2t ，∴ 当n ≥2时，数列{a n }是以a 2为首项，3为公比的等比数列． ∴ a n =2t ⋅3n−2(n ≥2)， 又∵ a 1=t 不适合上式，∴ a n ={t(n =1)2t ⋅3n−2(n ≥2)；（2）当t >0时，λa n >n(n +1)成立，等价于λ大于n(n+1)a n的最大值．当n =1时，有λ>2t ，当n ≥2时，令b n =n(n+1)2t⋅3n−2， b n+1−b n =(n +1)(n +2)2t ⋅3n−1−n(n +1)2t ⋅3n−2=n+12t⋅3n−1(n +2−3n)=1−n 2t⋅3n−1<0．∴ 当n ≥2时，数列{a n }为递减数列， ∴ 当n ≥2时，b n ≤b 2=3t ． ∴ 当t >0时，λ>3t ．当t <0时，λa n >n(n +1)成立，等价于λ大于n(n+1)a n的最小值．当n =1时，有λ<2t ，当n ≥2时，令b n =n(n+1)2t⋅3n−2， b n+1−b n =(n +1)(n +2)2t ⋅3n−1−n(n +1)2t ⋅3n−2=n+12t⋅3n−1(n +2−3n)=1−n 2t⋅3n−1>0．∴ 当n ≥2时，数列{b n }为递增数列， ∴ 当n ≥2时，b n ≥b 2=3t ． ∴ 当t <0时，λ<3t ．综上所述，当t >0时，λ>3t；当t <0时，λ<3t．20. 解：（1）∵ A 、B 是椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的两个顶点， 它的短轴长为1，其一个焦点与短轴的两个端点构成正三角形， ∴ b =12，c =1⋅sin60∘=√32，∴ a =1，∴ 椭圆方程为x 214+y 2=0．（2）设点R 为(x 1, y 1)，点S 为(x 2, y 2)，直线y =kx 与曲线4x 2+y 2=1联立得(kx)2+4x 2=1，即(k 2+4)x 2−1=0， 设点R(x 1, y 1)，S(x 2, y 2)，联立{y =kx4x 2+y 2=1，得(kx)2+4x 2=1，即(k 2+4)x 2−1=0， ∴ x 1+x 2=0，x 1x 2=−1k 2+4，由题意知S四边形ARBS=S△RBS+S△RAS=14(2+k)|x1−x2|=14(2+k)√(x1+x2)2−4x1x2=14√(2+k)2⋅4k2+4=12√4+4k+k2k2+4=12√1+4k+4k≤12√1+2√k⋅4k=√22．当且仅当k=4k(k>0)，即k=2时，取“=”号，∴ 四边形ARBS面积的最大值为√22．21. 解：(1)易知f(x)定义域为(0, +∞)，当a=−1时，f(x)=−x+lnx，f′(x)=−1+1x，令f′(x)=0，得x=1．当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0．∴ f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数．(2)∵ f′(x)=m+1x，x∈(0, e]，①若m≥0，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0, e]上增函数，∴ f(x)max=f(e)=me+1≥0，不合题意．②若m<0，则由f′(x)>0，即0<x<−1m由f′(x)<0，即−1m<x≤e．从而f(x)在(0, −1m )上增函数，在(−1m, e]为减函数，∴ f(x)max=f(−1m )=−1+ln(−1m)令−1+ln(−1m)=−3，∴ m=e−2，∵ −e2<−1e，∴ m=−e2为所求．(III)∵ g(x)=f(x)+2x −f′(x)，f′(x)=m+1x，f(x)=lnx+mx，∴ g(x)=lnxx −1x，若x≥1时，有不等式g(x)≥kx+1恒成立，∴ k≤g(x)(x+1)=lnx+lnxx +1x+1，令ℎ(x)=(x)(x+1)=lnx+lnxx +1x+1，∴ ℎ′(x)=x−lnxx2>恒大于0，∴ ℎ(x)在[1, +∞)为增函数，∴ ℎ(x)min=ℎ(1)=2，∴ k≤2．。
山东省济南市高考数学一模试卷文科含答案解析
2019年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设复数z知足z?（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣34i B．﹣3﹣4i C．34iD34i ++．﹣2M={x|x≤x＜3，会合N=x y=}，则M∪N=（）．已知会合﹣}{|A．MB．N C x1≤x2D．{x3x3}．{|﹣≤}|﹣≤＜3．某校高三（1）班共有48人，学号挨次为1，2，3，，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27B．26C．25D．244．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4D．45．设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，给出以下四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β此中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知命题p：?x0∈R，使sinx0=；命题q：?x∈（0，），x＞sinx，则以下判断正确的选项是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假7f x）=2sinωxφw0，|φ）的部分图象以下图，f0f）．函数（（+）（＞|＜则（）+（的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．已知x，y知足拘束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，] C．[，] D．[，]第1页（共18页）9．已知函数f （x ）= 2bx2x，连续投掷两颗骰子获得的点数分别是 abfax ﹣+，，则函数（x ）在x=1处获得最值的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0），△ABC 的三个极点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为 M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3．若直线 AB ， BC ， AC1++的值为（ ）的斜率之和为﹣，则A ．﹣B ．﹣C ．D ．二、填空题：（此题共 5小题，每题 5分，共25分）11．设ln3=a ，ln7=b ，则e a +e b =_______．（此中e 为自然对数的底数）12．已知向量 ，，此中||= ，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是_______．13．已知过点（2，4）的直线l 被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0截得的弦长为 6，则直线l 的 方程为_______．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无穷增添时， 多边形面积可无穷迫近圆的面积，并创办了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽获得了圆周率精准到小数点后两位的近似值 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出 n 的值为_______．（参照数据：sin15°，°）15 f x ） = gx） =kx1 f x ）﹣g x ） =0 有两个．已知函数 （ ，（ +，若方程 （ （ 不一样实根，则实数k 的取值范围为 _______．三、解答题:本大题共 6小题，共 75分16．近期，济南楼市迎往来库存一系列新政， 此中房产税收中的契税和营业税双双下调，对 住宅市场连续增添和去库存产生踊跃影响． 某房地产企业从两种户型中各取出9套进行促销第2页（共18页）活动，此中A 户型每套面积100平方米，均价万元/平方米，B 户型每套面积 80平方米，均价万元/平方米．下表是这 18 套住所平方米的销售价钱：（单位：万元/平方米）： 房号/户型 1234567 89A 户型aB 户型 b（I ）求a ，b 的值；（II ）张先生想为自己和父亲母亲买两套售价小于 100万元的房屋，求起码有一套面积为 100平方米的概率．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角 C 的值；（Ⅱ）若 c=2，且△ABC 的面积为 ，求a ，b ．18．如图，四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为正方形，侧面 PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，E ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点 （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面 PAH ⊥平面DEF ．19．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，知足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a }，{b}的通项公式；nn（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，能否存在k ∈N *，使得等式1 ﹣2T k =建立，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明原因．20 C=1ab0C “”2+y 2： +．若．设椭圆（＞＞），定义椭圆的有关圆方程为抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点组成直角三角形（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和“有关圆”E 的方程；“ ”E 上随意一点 P 的直线 l y=kx m 与椭圆交于 A B O为坐标原点， （Ⅱ）过有关圆： + ，两点， 若OA ⊥OB ，证明原点O 到直线 AB 的距离为定值，并求 m 的取值范围．2 b lnx xgx ）= ﹣ 2 1 ﹣ b x ，已知曲线 y=f x 1 21．设函数f （x ）=ax+（ ﹣ ），（ +（ ） （ ）在点（，f （1））处的切线与直线 x ﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数 f （x ）的极值点；（Ⅲ）若关于随意b ∈（1，+∞），总存在x ，x ∈[1，b]，使得f （x ）﹣f （x2 ）﹣1＞g （x ）1 211﹣g （x 2）+m 建立，务实数 m 的取值范围．第3页（共18页）2019年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设复数z知足z?（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A ．﹣34i B．﹣3﹣4i C34iD34i +．+．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】由z2i）=10﹣5i，得z=，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，?（+则z的共轭复数可求．【解答】解：由z?（2i）=10﹣5i，+得=3﹣4i，则z的共轭复数=3+4i．应选：C．2M={x x x＜3N=x y=}，则M∪N=（）．已知会合|﹣≤}，会合{|A ．MB．N C x1x2D．{x3x3}．{|﹣≤≤}|﹣≤＜【考点】并集及其运算．【剖析】分别求出会合M、N的范围，进而求出其并集即可．【解答】解：会合M={x|﹣x≤x＜3}={x|0≤x＜3}，会合N={x|y=}={x|﹣3≤x≤2}，则M∪N={x|﹣3≤x＜3}，应选：D．3．某校高三（1）班共有48人，学号挨次为1，2，3，，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26C．25D．24【考点】系统抽样方法．【剖析】依据系统抽样的特点，从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，则系统抽样的分段间隔为8，可求得余下的同学的编号．【解答】解：∵从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，∴系统抽样的分段间隔为=8，∵学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，∴抽取的另一个同学的学号应为27，应选：A．第4页（共18页）a4b的最小值为（）4ax by=1经过点（122+．已知直线+，），则A．B．2C．4D．4【考点】基本不等式．【剖析】直线ax by=1经过点（12），可得：a2b=1．再利用基本不等式的性质、指数的+，+运算性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），a+2b=1．则2a4b==2，当且仅当时取等号．+≥应选：B．5．设m，n是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，给出以下四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β此中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】①依据线面垂直的性质定理进行判断．②依据线面平行的判断定理进行判断．③依据线面平行的判断定理进行判断．④依据线面垂直和面面垂直的判断定理进行判断．【解答】解：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β建立，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α∥β不必定建立，有可能订交，故②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n?β；故③错误，④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故④错误，故正确的选项是①，应选：A6p x∈R，使sinx=；命题q x0x＞sinx，则以下判断．已知命题：?00：?∈（，），正确的选项是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【剖析】分别判断出p，q的真假，进而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：?x∈R，都有sinx≤1，故命题p：?x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单一递加，∴f（x）f（0）=0，故命题q：?x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，第5页（共18页）应选：B．7fx）=2sinωxφw0，|φ＜）的部分图象以下图，f0f）．函数（（+）（＞|则（）+（的值为（）A2﹣B．2+C1﹣D1．．．+【考点】正弦函数的图象．【剖析】依据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的分析式，进而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：依据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T===2π，∴ω；当x=﹣时，函数f（x）获得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；f0f（）=2sin（﹣2sin2×﹣）∴（）+）+（=2×（﹣）+2sin=2﹣．应选：A．8．已知x，y知足拘束条件，则z=的范围是（）第6页（共18页）A ．[ ，2]B ．B[﹣ ， ]C ．[ ， ]D ．[ ， ]【考点】简单线性规划．【剖析】画出知足条件的平面地区，求出角点的坐标，依据 z= 的几何意义求出 z 的范围即可．【解答】解：画出知足条件的平面地区，如图示：， 由 ，解得A （1，2）， 由，解得B （3，1），而z= 的几何意义表示过平面地区内的点与（﹣ 1，﹣1）的直线的斜率，明显直线AC 斜率最大，直线 BC 斜率最小，K AC = = ，K BC ==，应选：C ．9．已知函数f （x ）=ax 2﹣bx 2+x ，连续投掷两颗骰子获得的点数分别是a ，b ，则函数f（x ）在x=1处获得最值的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】全部的（a ，b ）合计6×6=36个，函数 f ′（x ）=ax 2﹣bx 在x=1处获得最值等价于f ″（1）=2a ﹣b=0，用列举法求得知足条件的（ a ，b ）有3个，再依据概率公式计算即可．【解答】解：连续投掷两颗骰子获得的点数分别是a ，b ，共有36种等可能事件，f x） =ax 3 ﹣ bx 2 x ∵ （ +，∴ f ′（x ）=ax 2﹣bx+1，∵函数f ′（x ）=ax 2﹣bx+1在x=1处获得最值，第7页（共18页）f ″（x ）=2ax ﹣b ，f ″（1）=2a ﹣b=0，即2a=b ，知足的基本领件有（1，2），（2，4），（3，6），共3种，故函数f ′（x ）在x=1处获得最值的概率为 =，应选：C ．10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0），△ABC 的三个极点都在抛物线上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为 M ，N ，Q ，且M ，N ，Q 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3．若直线 AB ， BC ， AC的斜率之和为﹣ 1+ + 的值为（） ，则A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】设AB ，BC ，AC 的方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出 y 1，y 2，y 3，依据斜率之和为﹣ 1 化简+ + 即可得出答案．【解答】解：设 AB 的方程为x=myt ，BC 的方程为x=m yt ，AC 的方程为 x=myt ，1 +12 +2 3+3联立方程组，消元得：y 2﹣2pm 1y ﹣2pt 1=0，y 1=pm 1，同理可得：y 2=pm 2，y 3=pm 3，∵直线 AB ， BC ， AC 的斜率之和为﹣ 1，∴++=1﹣．∴则 + += + + =（++）=﹣．应选：B ．二、填空题：（此题共 5小题，每题 5分，共25分）ab．（此中e 为自然对数的底数）11．设ln3=a ，ln7=b ，则e+e=10【考点】对数的运算性质．【剖析】使用对数恒等式解出．【解答】解：∵ln3=a ，ln7=b ，e a =3，e b =7， e a +e b =10． 故答案为 10．12=，|| =2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是 ．．已知向量，，此中||第8页（共18页）【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】利用向量垂直的数目积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数目积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为 θ，∵|| = ，| | =2﹣）⊥ ，，且（∴（﹣）? =| |2﹣? =||2﹣| |?||cos θ=3﹣2cos θ=0，解得cos θ= ， 0≤θ≤π，∴θ=， 故答案为： ．13．已知过点（2，4）的直线l 被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0截得的弦长为6，则直线l 的方程为x ﹣2=0或3x ﹣4y+10=0．【考点】直线与圆的地点关系．【剖析】设过点（2，4）的直线 l 的方程为 y=k （x ﹣2）+4，求出圆 C 的圆心C （1，2），半径r= ，圆心C （1，2）到直线l 的距离d ，由此能求出直线 l 的方程；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为x=2也知足条件．由此能求出直线 l 的方程．【解答】解：设过点（2，4）的直线l 的方程为y=k （x ﹣2）+4，圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0的圆心C （1，2），半径r== ，圆心C （1，2）到直线l 的距离d== ，∵过点（2，4）的直线l 被圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣5=0截得的弦长为 6，∴由勾股定理得：，即，解得k= ，∴直线l 的方程为y= （x ﹣2）+4，即3x ﹣4y+10=0，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=2，圆心C （1，2）到直线x=2的距离d=1，知足，故x ﹣2=0是直线l 的方程．综上，直线l 的方程为x ﹣2=0或3x ﹣4y +10=0．故答案为：x ﹣2=0或3x ﹣4y+10=0．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无穷增添时， 多边形面积可无穷迫近圆的面积，并创办了 “ ”“ ”割圆术．利用割圆术刘徽获得了圆周率精准到小数点 后两位的近似值 ，这就是有名的“徽率”．如图是利用刘徽的 “割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为24 ．（参照数据：sin15°，°）第9页（共18页）【考点】程序框图．【剖析】列出循环过程中 S 与n 的数值，知足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟履行程序，可得n=6，S=3sin60°= ，不知足条件 S ≥，n=12，S=6×sin30°=3，不知足条件S ≥，n=24，S=12×sin15°=12×，知足条件S ≥，退出循环，输出n 的值为24．故答案为：24．15．已知函数 f （x ）= ，g （x ）=kx+1，若方程 f （x ）﹣g （x ）=0有两个不一样实根，则实数k 的取值范围为 （ ，1）∪（1，e ﹣1]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【剖析】方程f （x ）﹣kx=1有两个不一样实根可化为函数 f （x ）与函数y=kx+1有两个不一样的交点，作函数f （x ）与函数y=kx+1 的图象，联合函数的图象求解．【解答】解：∵ g x ） =kx1（ +，∴方程f （x ）﹣g （x ）=0有两个不一样实根等价为方程 f （x ）=g （x ）有两个不一样实根，即f （x ）=kx+1，则等价为函数 f （x ）与函数y=kx+1有两个不一样的交点，当1＜x ≤2，则0＜x ﹣1≤1，则f （x ）=f （x ﹣1）=e x ﹣1，当2＜x ≤3，则1＜x ﹣1≤2，则f （x ）=f （x ﹣1）=e x ﹣2，当3＜x ≤4，则2＜x ﹣1≤3，则f （x ）=f （x ﹣1）=ex ﹣3，当x ＞1时，f （x ）=f （x ﹣1），周期性变化； 函数y=kx+1的图象恒过点（ 0，1）； 作函数f （x ）与函数 y=kx+1的图象以下，C （0，1），B （2，e ），A （1，e ）；第10页（共18页）故kAC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e=1；实数k的取值范围为（11e1]；，）∪（，﹣故答案为：三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近期，济南楼市迎往来库存一系列新政，此中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住宅市场连续增添和去库存产生踊跃影响．某房地产企业从两种户型中各取出9套进行促销活动，此中A户型每套面积100平方米，均价万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价万元/平方米．下表是这18套住所平方米的销售价钱：（单位：万元/平方米）：房号/户型123456789A户型aB户型b（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父亲母亲买两套售价小于100万元的房屋，求起码有一套面积为100平方米的概率．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【剖析】（Ⅰ）由已知利用均匀数公式能求出a，b．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，B户型小于100万的有4套，先求出买两套售价小于100万的房屋所含基本领件总数，再列举法求失事件A=“起码有一套面积为100平方米住宅所含基本领件个数，由此能求出起码有一套面积为100平方米的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：（），解得，），解得．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，设为A1，A2，户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4买两套售价小于100万的房屋所含基本领件总数为=15，令事件A=“起码有一套面积为100平方米住宅”，第11页（共18页）则A 中所含基本领件有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，共9个 ∴P （A ）= ，∴起码有一套面积为 100平方米的概率为．．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC 的面积为 ，求a ，b ．【考点】正弦定理；余弦定理．【剖析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得sinA=2sinAcosC ，因为sinA ≠0，解得，又C 是三角形的内角，即可得解C 的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得 ab=4 ，联立刻可解得 a b的+ ，值．【解答】（此题满分为 12分） 解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b ， 2sinCcosA+sinA=2sinB ，2sinCcosA+sinA=2sin （A+C ），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC ，∴sinA=2sinAcosC ，∴ ，又∵C 是三角形的内角，∴（Ⅱ）∵ ，∴ ，∴ab=4，又∵c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，4=（a+b ）2﹣2ab ﹣ab ， a+b=4， a=b=2．18．如图，四棱锥 P ﹣ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E ，E ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点 （Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面 PAH ⊥平面DEF ．第12页（共18页）【考点】平面与平面垂直的判断；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ）取CD 中点N ，连结FN ，EN ，则FN ∥PD ，EN ∥AD ，故而平面EFN ∥平面PAD ，因此EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）由侧面PAD ⊥底面ABCD 可得PA ⊥平面ABCD ，故PA ⊥DE ，由正方形的性质可得DE ⊥AH ，故DE ⊥平面PAH ，于是平面PAH ⊥平面DEF ．【解答】证明：（Ⅰ）取 CD 中点N ，连结FN ，EN ．∵在△CPD 中，F ，N 为中点，∴FN ∥PD ． ∵正方形ABCD 中，E ，N 为中点， ∴EN ∥AD ，∵EN?平面EFN ，FN?平面EFN ，EN ∩FN=N ，PD?平面PAD ，AD?平面PAD ，PD ∩AD=D ，∴平面EFN ∥平面PAD ，∵EF?平面EFN ， EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）∵侧面 PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，侧面PAD ∩底面ABCD=AD ，∴PA ⊥底面ABCD ，∵DE?底面ABCD ，∴DE ⊥PA ，∵E ，H 分别为正方形 ABCD 边AB ，BC 中点，Rt △ABH ≌Rt △ADE ，则∠BAH=∠ADE ，∴∠BAH+∠AED=90°，则DE ⊥AH ，∵PA?平面PAH ，AH?平面PAH ，PA ∩AH=A ，DE ⊥平面PAH ，∵DE?平面EFD ，∴平面PAH ⊥平面DEF ．19．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前 n 项和为S n ，知足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，能否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =建立，若存在，求出 k 的值；若不存在，说明原因．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出；（II ）利用“裂项乞降”与数列的单一性即可得出．第13页（共18页）【解答】解：（Ⅰ）设等差数列 {a n }的公差为 d （d ≠0），∴ ，解得a 1=3，d=2， b 1=a 1=3，b 2=a 4=9， ∴．（Ⅱ）由（I ）可知：a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．，∴ = ，∴ ， 单一递减，得 ，而，因此不存在k ∈N *，使得等式建立．20．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），定义椭圆C 的“有关圆”方程为x 2+y 2=．若抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆 C 短轴的一个端点和两个焦点组成 直角三角形（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和“有关圆”E 的方程；（Ⅱ）过“有关圆”E 上随意一点 P 的直线l ：y=kx+m 与椭圆交于 A ，B 两点，O 为坐标原点， 若OA ⊥OB ，证明原点O 到直线AB 的距离为定值，并求m 的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（Ⅰ）由抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）与椭圆C 的一个焦点重合，椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点组成直角三角形，获得b=c=1，由此能求出椭圆C 的方程和“有关圆”E的方程．（Ⅱ）联立方程组得（ 12k 2 ） x 2 4km x+2m 2﹣2=0 ，由此利用根的鉴别式、韦 + +达定理、点到直线距离公式，联合已知条件能证明原点 O 到直线AB 的距离为定值，并能求出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为若抛物线y 2=4x 的焦点为（1，0）与椭圆C 的一个焦点重合，因此c=1又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点组成直角三角形，因此b=c=1故椭圆C 的方程为，“有关圆”E 的方程为第14页（共18页）证明：（Ⅱ）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立方程组得（ 12k 2 x 24kmx 2m 2 2=0+ ） + + ﹣=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）=8（2k 2﹣m 2+1）＞0，即2k 2﹣m 2+1＞0，由条件OA ⊥OB 得3m 2﹣2k 2﹣2=0因此原点O 到直线l 的距离是由3m 2﹣2k 2﹣2=0得为定值．此时要知足△＞ 0 ，即 2k 2m 21 0 ，﹣ + ＞，又即，因此，即 或2 b lnx x gx ）= ﹣ 2+（ 1b x ，已知曲线 y=fx 121．设函数f （x ）=ax+（ ﹣ ），（ ﹣ ） （）在点（，f （1））处的切线与直线 x ﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数 f （x ）的极值点；（Ⅲ）若关于随意 b 1 ∞x x 2∈[ 1 b fxfx1gx 1）∈（ ，+ ），总存在1，， ]，使得（1）﹣（2）﹣＞（﹣g （x 2）+m 建立，务实数 m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单一性．【剖析】（Ⅰ）求出函数的导数，获得 f ′（1）=2a=﹣1，求出a 的值即可；（Ⅱ）求出f （x ）的导数，联合二次函数的性质，经过议论b 的范围，确立函数的单一区间，求出函数的极值点即可；（Ⅲ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，b]，求出F （x ）的导数，获得F （x ）max ﹣F （x ）min =F （b ）﹣F （1）=blnb ﹣b+1，问题转变为即blnb ﹣b ＞m 对随意b ∈（1，+∞）建立．构tb）=blnbb b 1∞t bm的范围即造函数：（﹣，∈[ ， +），经过议论函数（）的单一性，求出可．【解答】解：（Ⅰ），第15页（共18页）因此k=f'（1）=2a=﹣1，因此（Ⅱ） ，其定义域为（0∞），，+ ，令h （x ）=﹣x 2﹣bx+b ，x ∈（0，+∞）△=b 2+4bi ）当﹣4≤b ≤0时，△=b 2+4b ≤0，有h （x ）≤0，即f'（x ）≤0，因此f （x ）在区间（0，+∞）上单一递减，故f （x ）在区间（0，+∞）无极值点； ii ）当b ＜﹣4时，△＞0，令h （x ）=0，有，，x 2＞x 1＞0，当x ∈（0，x 1）时，h （x ）＜0，即f'（x ）＜0，得f （x ）在（0，x 1）上递减；当x ∈（x 1，x 2）时，h （x ）＞0，即f'（x ）＞0，得f （x ）在（x 1，x 2）上递加；当x ∈（x 2，+∞）时，h （x ）＜0，即f'（x ）＜0，得f （x ）在（x 2，+∞）上递减．此时f （x ）有一个极小值点 和一个极大值点 ．（iii ）当b ＞0时，△＞0，令h （x ）=0，有，，当x ∈（0，x 2）时，h （x ）＞0，即f'（x ）＞0，得f （x ）在（0，x 2）上递加；当x ∈（x 2，+∞）时，h （x ）＜0，即f'（x ）＜0，得f （x ）在（x 2，+∞）上递减．此时f （x ）独一的极大值点 ，无极小值点．综上可知，当 b ＜﹣4时，函数 f （x ）有一个极小值点 和一个极大值点．当﹣4≤b ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上有无极值点；当b ＞0时，函数 f （x ）有独一的极大值点 ，无极小值点；III ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，b]， 则F （x ）==blnx ﹣x若总存在 x 1，x 2∈[1，b]，使得f （x 1）﹣f （x 2）﹣1＞g （x 1）﹣g （x 2）+m 建立，第16页（共18页）即总存在x 1，x 2∈[1，b]，使得f （x 1）﹣g （x 1）＞f （x 2）﹣g （x 2）+m+1建立，即总存在x 1，x 2∈[1，b]，使得F （x 1）﹣F （x 2）＞m+1建立，F x Fx ）min ＞ m1，即 （ ）max ﹣（ + 因为 x ∈[ 1b F' （ x 0 F x ）在[ 1 b，]，因此 ）≥，即 （ ，]上单一递加，因此F （x ）max ﹣F （x ）min =F （b ）﹣F （1 ）=blnb ﹣b+1，即blnb ﹣b+1＞m+1对随意b ∈（1，+∞）建立，即blnb ﹣b ＞m 对随意b ∈（1，+∞）建立．t b=blnb ﹣ b b 1 ∞ ），t ' b =lnb， 结构函数：（） ，∈[ ，+ （） b 1 t' b ）≥ 0t b 1 ，+∞）上单一递加， 当∈[ ，+∞）时，（ ，∴（）在[∴t （b ） mi n =t 1 = 1 b ∈（ 1 ∞ t bt1 = 1 （ ） ﹣．∴关于随意 ，+ ），∴ （）＞（ ） ﹣． 因此m ≤﹣1第17页（共18页）2019年9月12日第18页（共18页）。
2014学年山东省济南中考数学年试题.
数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(文史类)数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =( )A .5B .8C .10D .143.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A .100B .150C .200D .250 4.下列函数为偶函数的是( )A .()1f x x =-B .2()f x x x =+C .()22x x f x -=-D .()22x x f x -=+5.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为 ( )A .10B .17C .19D .366.已知命题p ：对任意x ∈R ，总有||0x ≥；q ：1x =是方程20x +=的根.则下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧⌝ B .p q ⌝∧ C .p q ⌝∧⌝D .p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .12B .18C .24D .308.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为 ( )ABC .4D9.若42log 34)log a b +=(a b +的最小值是( )A.6+B.7+C.6+D.7+10.已知函数13,(1,0],()1,(0,1],x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A .91(,2](0,]42--B .111(,2](0,]42-- C .92(,2](0,]43--D .112(,2](0,]43-- 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.已知集合{3,4,5,12,13}A =，{2,3,5,8,13}B =，则AB = .12.已知向量a 与b 的夹角为60︒，且a (2,6)=--，|b|=a b = .13.将函数ππ()sin()(0)22f x x ωφωφ=+>-，≤＜图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到s i n y x =的图象，则π()6f = . 14.已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为 .15.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=.求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[5060)，与[6070)，中的学生人数； （Ⅲ）从成绩在[5070)，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率. 18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8a b c ++=.（Ⅰ）若2a =，52b =，求cos C 的值；（Ⅱ）若22sin cos sin cos 2sin 22B AA B C +=，且ABC △的面积9sin 2S C =，求a 和b 的值.19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a ∈R ，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，π3BAD ∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.（Ⅰ）证明：BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F △（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.。
数学_2014年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)_(含答案)
2014年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x|x =√n ，n ∈A}，则A ∩B =（ ） A {1, 2} B {1, 4} C {2, 3} D {9, 16}2. 已知复数z =1−i ，z ¯为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A z ¯=−1−i B z ¯=−1+i C |z ¯|=2 D |z ¯|=√2 3. 函数y =2√3−x+lg(3x +1)的定义域为（ ）A (−13，+∞) B (−13，3) C (−13，13) D (−∞,−13)4. 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计该校上学期400名教师中使用多媒体进行教学次数在[16, 30)内的人数为（ ）A 100B 160C 200D 280 5. 若cosθ+sinθ=−√53，则cos(π2−2θ)的值为（ ）A 49 B 29 C −29 D −496. 已知a ，b ∈R ，则“log 2a >log 2b”是“(13)a <(13)b ”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 9B 10C 11D 2328. 已知命题p ：若a =(1, 2)与b =(−2, λ)共线，则λ=−4；命题q:∀k ∈R ，直线y =kx +1与圆x 2+y 2−2y =0相交．则下面结论正确的是（ ）A ￢p∨q是真命题B p∧￢q是真命题C p∧q是假命题D p∨q是假命题9.当a>0时，函数f(x)=(x2−ax)e x的图象大致是( )A B C D10. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的交点为：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（）A √2+1B 3C √2D 2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题纸给定的横线上．11. 为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K的观测值k=50×(13×20−10×7)223×27×20×30≈4.844．则可以有________%的把握认为选修文科与性别有关系．12. 利用计算机产生0∼3之间的均匀随机数a，则事件“a2−3a+2<0”发生的概率为________．13. 若变量x，y满足约束条件{x+y≤82y−x≤4x≥0y≥0且z=5y−x的最大值为a，最小值为b，则a+b的值是________．14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为________．15. 设函数f(x)=a x+b x−c x，其中a，b，c为三角形的三边，且c为最大边，现有三个命题：①∀x∈(−∞, 1)，f(x)>0；②∀x∈R，a x，b x，c x均能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1, 2)，使f(x)=0．其中的真命题为________（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，征明过程或演算步骤．16. 已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω>0)的最小正周期是π，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象．（1）求g(x)的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g(π2−A)=45，b=2，ABC的面积为3，求边长a的值．17. 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中；随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位mm），将所得数据分组，得到如下频率分布表：（1）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数；（2）用分层抽样的方法从差的绝对值在[−2, −1)和(3, 4]的产品中抽取5个，求其中差的绝对值在[−2, −1)中的产品的个数；（3）在（2）中抽取的5个产品中任取2个，差的绝对值在[−2, −1)和(3, 4]中各有1个的概率．18. 设数列{a n }满足a 1=2，a 2+a 4=8，且对任意的n ∈N ∗，都有a n +a n+2=2a n+1 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ．且满足S 1⋅S n =2b n −b 1，n ∈N ∗，b 1≠0，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．19. 已知四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G 、H 、M 分别是CE 、CF 、FB 的中点． （1）求证：AE // 平面BDGH ； （2）求证：EM ⊥平面AFC ．20. 已知圆C 1：(x +1)2+y 2=16，点C 2(1, 0)，点Q 在圆C 1上运动，QC 2的垂直平分线交QC 1于点H ．（1）求动点H 的轨迹C 的方程；（2）若曲线C 与x 轴交于A 、B 两点，过点C 1的直线交曲线C 于M 、N 两点，记△ABM 与△ABN 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值． 21. 已知函数f(x)=lnx ．（1）若直线y =x +m 与函数f(x)的图象相切，求实数m 的值； （2）证明曲线y =f(x)与曲线y =x −1x 有唯一的公共点； （3）设0<a <b ，比较f(b)−f(a)2与b−ab+a 的大小，并说明理由．2014年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. D3. B4. B5. D6. A7. C8. A9. B 10. B11. 95 12. 1313. 8 14. 1007 15. ①③16. 解：（1）∵ f(x)=√3sinωxcosωx +cos 2ωx −12(ω>0)=√32sin2ωx +1+cos2ωx 2−12 =√32sin2ωx +12cos2ωx =sin(2ωx +π6)．∵ f(x)的最小正周期为π，且ω>0，∴ 2π2ω=π，∴ ω=1．∴ f(x)=sin(2x +π6)．将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数y =sin(x +π6)的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y =sinx 的图象， 故g(x)=sinx ；（2）由（1）知g(x)=sinx ，∴ g(π2−A)=sin(π2−A)=cosA =45， ∵ 0<A <π，∴ sinA =√1−cos 2A =√1−(45)2=35． ∵ △ABC 的面积为3，∴ 12bcsinA =3， 又∵ b =2，∴ 12×2⋅c ⋅35=3，得c =5．由a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA =22+52−2×2×5×45=13． 得a =√13．17. 解：（1）设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505000=20x+20，解得x =5000×2050−20=1980，即这批产品中的合格品的件数估计是1980件；（2）设所抽产品中差的绝对值在[−2, −1)中的产品有x 件， 依题意知88+2=x5，解得x =4，即所抽产品中差的绝对值在[−2, −1)中的产品有4件；（3）由（2）知，所抽5件产品在[−2, −1)中有4个, 在(3, 4]中有1个，分别设为a 1，a 2，a 3，a 4，b ，在5个产品中任取2个的情况为：{a1, a2}；{a1, a3}；{a1, a4}；{a1, b}；{a2, a3}；{a2, a4}；{a2, b}；{a3, a4}；{a3, b}；{a4, b}，共10种，在[−2, −1)和(3, 4]中各有1个的情况为{a1, b}；{a2, b}；{a3, b}；{a4, b}，共4种=0.4．故所求的概率为p=41018. 解：（1）由n∈N∗，都有a n+a n+2=2a n+1，知{a n}为等差数列，设公差为d，∵ a1=2，a2+a4=8，∴ 2×2+4d=8，解得d=1，∴ a n=a1+(n−1)d=2+(n−1)×1=n+1；（2）由S1S n=2b n−b1得，当n=1时，有b12=2b1−b1=b1，∵ b1≠0，∴ b1=1，S n=2b n−1①，当n≥2时，S n−1=2b n−1−1②，①-②得，b n=2b n−2b n−1，即b n=2b n−1(n≥2)，则数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，b n=2n−1．∴ a n b n=(n+1)⋅2n−1，T n=2+3×2+4×22+...+n⋅2n−2+(n+1)⋅2n−1③，2T n=2×2+3×22+4×23+n⋅2n−1+(n+1)⋅2n④，③-④得，−T n=2+2+22+...+2n−1−(n+1)⋅2n=(n+1)⋅2n=−n⋅2n，=1+2n−12−1∴ T n=n⋅2n．19. 证明：（1）连结OC，在△AEC中，∵ G是CE的中点，∴ OG // AE，又∵ OG⊂平面BDGH，AE⊄平面BDGH，∴ AE // 平面BDGH．（2）连结FO，与EM交于N点，∵ 四边形BDEF为正方形，且M，O分别为BF、BD的中点，∴ EF=BF，MF=BO，∠MFE=∠FBO=90∘，∴ △MEF≅△BOF，∴ ∠EMF=∠BOF，又在△MNF与△FBO中，∠MFN=∠BFO，∴ ∠MNF=∠FBO=90∘，∴ FO⊥EM，∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，又∵ 平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴ AC⊥平面BDEF，∴ AC⊥EM，∵ AC⊂平面AFC，FD⊂平面AFC，FO∩AC=O，∴ EM⊥平面AFC．20. 解：（1）∵ QC2的垂直平分线交QC1于H，∴ |HQ|=|HC2|，∴ |HC 2|+|HC 1|=|HC 1|+|HQ|=|QC 1|=4>|C 1C 2|=2，∴ 动点H 的轨迹是点C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a =4，2c =2，∴ b 2=3， ∴ 椭圆的标准方程是x 24+y 23=1；（2）当直线斜率不存在时，直线方程为x =−1，此时△ABM 与△ABN 的面积相等，|S 1−S 2|=0；当直线斜率存在时，设直线方程为y =k(x +1)(k ≠0)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 直线方程代入椭圆方程，消去y 可得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， ∴ x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，∴ |S 1−S 2|=2|y 1+y 2|=2|k(x 1+x 2)+2k|=12|k|3+4k 2 ∵ k ≠0，∴ |S 1−S 2|=123|k|+4|k|≤2√12=√3，当且仅当k =±√32时等号成立，故|S 1−S 2|的最大值√3．21. 解：（1）f ′(x)=1x ，设切点为(x 0, y 0)，则k =1x 0=1，∴ x 0=1，y 0=lnx 0=ln1=0， 代入y =x +m ，得m =−1．（2）令ℎ(x)=f(x)−(x −1x )=lnx −x +1x ， 则ℎ′(x)=1x −1−1x 2=−x 2+x−1x 2=−(x−12)2−34x 2<0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)内单调递减． 又ℎ(1)=ln1−1+1=0，∴ x =1是函数ℎ(x)唯一的零点， 故点(1, 0)是两曲线唯一的公共点． （3）f(b)−f(a)2−b−a b+a =lnb−lna2−b−a b+a=12ln ba−b a −1b a+1，∵ 0<a <b ，∴ ba >1， 构造函数φ(x)=12lnx −x−1x+1，(x >1)，则φ′(x)=12x−x+1−(x−1)(x+1)2=12x−2(x+1)2=(x−1)22x(x+1)2>0，∴ φ(x)在(1, +∞)内单调递增． 又当x =1时，φ(1)=0，∴ x >1时，φ(x)>0，即12lnx >x−1x+1， 则有12ln ba >b a −1b a+1成立，即lnb−lna2>b−ab+a，即f(b)−f(a)2>b−ab+a．。
2014年山东省实验中学高考数学模拟试卷(文科)
2014年山东省实验中学高考数学模拟试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合A={-1，2，3}，B={y|y=x3，x∈A}，则A∩B=（）A.{0}B.{1}C.{-1}D.{0，1}【答案】C【解析】解：将x=-1，2，3分别代入y=x3，得：y=-1，8，27，即B={-1，8，27}，∵A={-1，2，3}，∴A∩B={-1}．故选：C．将A中元素代入y=x3，求出y的值，确定出B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数z=（x2-1）+（x+1）i（x∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则x的值为（）A.-1B.1C.±1D.0【答案】B【解析】解：复数z=（x2-1）+（x+1）i（x∈R，i是虚数单位）是纯虚数，所以x2-1=0且x+1≠0，则x的值为1．故选：B．本题复数的基本概念，实部为0，虚部不为0，求出x即可．本题考查复数的基本概念的应用，基本知识的考查．3.已知函数f（x）=，则f（f（2014））=（）＞A. B.- C.1 D.-1【答案】D【解析】，解：∵f（x）=＞∴f（f（2014））=f（16）=2cos=2cos=-1．故选D．根据2014＞2000，将x=2014代入x＞2000段的解析式求出f（2014）=16，再将16代入x≤2000段的解析式求出值．本题考查分段函数求值：关键是判定出自变量的值属于那一段，将自变量代入相应段的解析式，属于基础题．4.已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则圆C上各点到l的距离的最小值为（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】解：∵圆C：（x-1）2+（y-1）2=2的圆心C（1，1），半径r=，圆心C（1，1）到直线的距离d==2，∴圆C上各点到l的距离的最小值为：d-r=2=．故选：A．圆C上各点到l的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径．本题考查圆C上各点到l的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．5.已知命题p：函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，命题q：log a2+log2a≥2（a ＞0且a≠1），则下列命题中为真命题的是（）A.p∨qB.p∧qC.（￢p）∧qD.p∨（￢q）【答案】D【解析】解：命题p：函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上是增函数，只有当a＞1时是真命题，因此p是假命题．命题q：log a2+log2a≥2（a＞0且a≠1），只有当a＞1时，命题q才是真命题，因此q 是假命题．∴只有p∨（￢q）是真命题．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性、复合命题真假的判定方法，属于基础题．6.已知直线kx-y+k+1=0（k∈R）上存在点（x，y）满足，则实数k的取值范围为（）A.[-，+∞）B.（-∞，-]C.[-1，]D.[-，]【答案】C【解析】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为kx-y+k+1=0过定点D（-1，1）．所以当kx-y+k+1=0过x-2y-3=0与x=1的交点B（1，-1）时，得到k的最小值：-1，当kx-y+k+1=0过x=1与x=y-3=0的交点时，对应k取得最大值：．所以-1≤k≤．故选：C．画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入kx-y+k+1=0中，求出kx-y+k+1=0对应的k的端点值即可．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个交点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7.已知数列a n+1=a n+na n中，a1=1，若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是（）A.n≤11？B.n≤10？C.n≤9？D.n≤8？【答案】C【解析】解：在数列{a n}中，由a n+1=a n+n，分别取n=1，2，…，9可得，a2-a1=1a3-a2=2…a10-a9=9．累加可得，a10=a1+1+2+3+ (9)框图首先给变量n和S赋值，n=1，S=1．然后进行判断，判断框中的条件满足时执行S=S+n，不满足时输出S，因数列{a n}的第10项a10=a1+1+2+3+ (9)所以程序运行结束时的n值应为10，此时判断框中的条件不再满足，结合选项可知判断框中的条件应是n≤9？．故选C．由题目给出的数列递推式，累加后可知a10=a1+1+2+3+…+9．然后结合程序框图中的执行步骤即能得到判断框中的条件．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，当型结构是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件算法结束，是基础题．8.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）==-=-f（x）故函数为奇函数，图象关于原点对称，故A错误由分子中cos3x的符号呈周期性变化，故函数的符号也呈周期性变化，故C错误；不x∈（0，）时，f（x）＞0，故B错误故选：D求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的奇偶性及各区间上函数的符号，进而利用排除法可得答案．本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．9.将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.π【答案】A【解析】解：∵y=cos2x+sin2x==2sin（2x+），∴将函数y=cos2x+sin2x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象对应的函数解析式为．∵所得到的图象关于y轴对称，∴为偶函数．即2m+=k，m=，．当k=0时，m的最小值为．故选：A．由两角和的正弦化简y=cos2x+sin2x，平移后由函数为偶函数得到2m+=k，由此可求最小正数m的值．本题考查了y=A sin（ωx+φ）型函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是基础题．10.已知M是x2=8y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PM|=m|PN|，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴长为（）A.2（-1）B.4（-1）C.2（+1）D.4（+1）【答案】B【解析】解：过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PM|=m|PN|，∴|PM|=m|PB|∴=，设PM的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx-2，代入x2=8y，可得x2=8（kx-2），即x2-8kx+16=0，∴△=64k2-64=0，∴k=±1，∴P（4，4），∴双曲线的实轴长为PM-PN=-（4+2）=4（-1）．故选：B．过P作准线的垂线，垂足为B，则由抛物线的定义，结合|PM|=m|PN|，可得=，设PM的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，是解题的关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为【答案】2.6【解析】解：点，在回归直线上，计算得，；代入得a=2.6；故答案为2.6．本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知，在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．12.已知函数f（x）=log2（3-x），若在[-2，3）上随机取一个实数x0，则使f（x0）≤1成立的概率为______ ．【答案】【解析】解：由函数f（x）=log2（3-x），f（x0）≤1，则log2（3-x0）≤1，解得，1≤x0≤3，得符合题意的区间为[1，3]而大前提：在区间[-2，3）内随机选一个数故所求概率等于：P=，故答案为：．不等式log2（3-x0）≤1的解集为：1≤x0≤3，区间的长度为2，根据几何概率模型的意义，用符合题意的区间长度除以所有的区间长度，即得到本题的概率．熟练掌握对数函数的单调性，解出不等式再用几何概率的公式解题，是本小题的关键所在．13.已知α是第一象限角，sinα=，tan（β-α）=-，则tan（β-2α）的值为______ ．【答案】-1【解析】解：∵α是第一象限角，sinα=，∴cosα===，∴=，又tan（β-α）=-，∴tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]===-1．故答案为：-1．利用三角函数基本关系式可得tanα，再利用两角和差的正切公式即可得出．本题考查了三角函数基本关系式、两角和差的正切公式，属于基础题．14.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，其直观图如下图所示：∵三棱柱的体积V==2，挖去的棱锥体积V==，故该几何体的体积为2-=，故答案为：由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱，挖去一个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．15.已知函数f（x）定义在R上，对任意实数x有f（x+3）=-f（x）+2，若函数y=f （x-1）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=，则f（2014）= ______ ．【答案】【解析】解：∵y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，∴y=f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，∵f（x+3）=-f（x）+2，∴f（x+6）=-f（x+3）+2=f（x），即函数的周期是6，则f（2014）=f（336×6-2）=f（-2），当x=-2时，f（-2+3）=-f（-2）+2，即f（1）=-f（-2）+2，∴f（-2）=2-f（1）=2-=，故f（2014）=f（-2）=，故答案为：．根据条件求出函数f（x）是偶函数，以及推断出函数的周期性，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（2sin，2），=（cos B，2cos2-1），且∥．（Ⅰ）求角B的余弦值；（Ⅱ）若b=2，求S△ABC的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（2sin，2），=（cos B，2cos2-1），且∥，∴2sin（2cos2-1）-2cos B=0；即2sin cos=2cos B，则sin B=2cos B，①联立sin2B+cos2B=1，解得cos B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B≥2ac-2accos B，∵b=2，得cos B=．∴4≥2ac-2ac•=，即ac≤3当且仅当a=c取等号．S△ABC==，即S△ABC的面积的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用向量平行的坐标公式，建立方程关系，即可求角B的余弦值；（Ⅱ）根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质即可求出三角形面积的最值．本题主要考查解三角形的应用，利用向量平行的坐标公式求出cos B是解决本题的关键，综合考查的余弦定理以及基本不等式的应用．综合性较强．17.某地区统一组织A，B两校举行数学竞赛，考试后分别从A，B两校随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到下面的结果：（Ⅰ）若考试分数大于或等于80分为优秀，分别估计A，B两校的优秀率；（Ⅱ）已知B校用这次成绩对学生进行量化评估，每一个学生的量化评估得分y，与其考试分数t的关系为y=，＜，＜，，求B校一个学生量化评估成绩大于0的概率和该校学生的平均量化评估成绩．【答案】解：（Ⅰ）从列表知，A，B两校的优秀人数分别为30，42，故A校的优秀率为=0.3，B两校的优秀率为．（Ⅱ）由表知，B校t＜60时的频数为4，频率为0.04；60≤t＜80时的频数为12+42=54．频率为0.54；t≥80时的频数为32+10=42，频率为0.42；∴B校一个学生的量化评估成绩估计为-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．【解析】（Ⅰ）从列表知，A，B两校的优秀人数，根据频率公式求出A，B两校的优秀率；（Ⅱ）由表知，B校t＜60时的频数为4，频率为0.04；60≤t＜80时的频数为12+42=54．频率为0.54；t≥80时的频数为32+10=42，频率为0.42；代入y的解析式求出B校一个学生的量化评估成绩．本题考查数据的频率公式，属于一道基础题．18.如图，已知鞭形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠EFA=60°，点H，G分别是线段EF，BC的中点，点M为HE的中点．（Ⅰ）求证：MG∥平面ADF．（Ⅱ）求证：平面AHC⊥平面BCE．【答案】证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接FN，NG，∵G为BC的中点，ABCD为直角梯形，AB=2CD=4，∴NG∥AB，且NG==3，又ABEF为菱形，∴EF∥AB，且EF=AB=4，又∵H为EF的中点，M为HE的中点，∴FM=3，且FM∥NG，∴四边形FMGN为平行四边形．∴MG∥FN，又∵FN⊂平面ADF，MG⊄平面ADF，∴MG∥平面ADF．（Ⅱ）连接AE，因为ABFE为菱形，∠EFA=60°，H为EF的中点，∴AH⊥EF，即有AH⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，AB为面ABEF与面ABCD的交线，∴AH⊥面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴AH⊥BC，∵在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，∴∠ABC=45°，∵AB∥CD，∴∠BCD=135°又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，又AH⊂平面AHC，AC⊂平面AHC，∴BC⊥平面AHC，∵BC⊂平面BCE，∴平面AHC⊥平面BCE．【解析】（Ⅰ）取AD的中点N，连接FN，NG，由于G为BC的中点，ABCD为直角梯形，AB=2CD=4，进而可知NG∥AB，且NG=3，又ABEF为菱形，推断出EF∥AB，且EF=AB=4，又H 为EF的中点，M为HE的中点，推断出FM=3，且FM∥NG，进而可知四边形FMGN 为平行四边形，即MG∥FN，利用线面平行的判定定理知MG∥平面ADF．（Ⅱ）连接AE，因为ABFE为菱形，∠EFA=60°，H为EF的中点，根据AH⊥EF，即有AH⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，AB为面ABEF与面ABCD的交线，进而可知AH⊥面ABCD，根据线面垂直的性质可知AH⊥BC，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，进而可求得∠ABC，根据AB∥CD，求得∠BCD，又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，求得∠ACD，进而可知∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，根据线面垂直的判定定理知BC⊥平面AHC，最后根据面面垂直的判定定理推断出平面AHC⊥平面BCE．本题主要考查了面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理及线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．19.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）设{b n-（-1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a1=2且a2，a4，a8成等比数列，∴（3d+2）2=（d+2）（7d+2），解得d=2，故a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．（Ⅱ）令，设{c n}的公比为q，∵b2=7，b5=71，a n=2n，∴c2=b2-a2=7-4=3，c5=b5+a5=71+10=81，∴，故q=3，∴，即，∴．T n=b1+b2+b3+…+b n=（30+31+…+3n-1）+[-2+4-6+…+（-1）n2n]当n为偶数时，；当n为奇数时，=．∴为偶数为奇数．【解析】（Ⅰ）设出等差数列的公差，结合a1=2，且a2，a4，a8成等比数列列式求出公差，则数列{a n}的通项可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项代入b n-（-1）n a n，由{b n-（-1）n a n}是等比数列，且b2=7，b5=71列式求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，则数列{b n}的通项可求，然后分n为奇数和偶数利用分组求和得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查利用分组求和法求数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．20.设f（x）=-x3+ax2+2a2x（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+（1-a）x2+2a（1-a）x，若0＜a＜2，g（x）在[1，4]上的最小值为-，求g（x）在该区间上的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=-x3+ax2+2a2x（a∈R），∴f′（x）=-x2+ax+2a2=-（x-2a）（x+a），由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，①当a=0时，有x2≤0，得x=0，不合题意；②当a＞0时，有-a＜x＜2a，∵f（x）在（，∞）上存在递增区间，∴2a＞，即a＞；③当a＜0时，有2a＜x＜-a，∵f（x）在（，∞）上存在递增区间，∴-a＞，即a＜-．综上，a的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+（1-a）x2+2a（1-a）x=-，∴g′（x）=-x2+x+2a=，∵0＜a＜2，∴＜，且＜＜＜，由g′（x）＞0，得＜＜，∴g（x）在，上递增，在，上递减，∴，又∵0＜a＜2，∴g（4）-g（1）=（-）-（-）=6a-＜0，∴g（4）＜g（1），∴在[1，4]上，函数，解得a=1，此时g（x）=-，在[1，4]上，==．【解析】（Ⅰ）由已知条件得f′（x）=-（x-2a）（x+a），由f′（x）≥0，得（x-2a）（x+a）≤0，由此结合已知条件能求出a的取值范围．（Ⅱ）由已知条件得g（x）=-，g′（x）=，由此结合已知条件能求出g（x）在区间[1，4]上的最大值．本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查函数在闭区间上的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．21.在平面直角坐标系x O y中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），已知点（1，e）和（e，）都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，若在椭圆C上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵点（1，e）和（e，）都在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，∴，，e=，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x R，y R），∵四边形OPRG为平行四边形，∴线段PQ的中点即为线段OR的中点，即x1+x2=x R，y1+y2=y R，∵点R在椭圆上，∴，∴，化简，得（1+2k2）（x1+x2）2+8km（x1+x2）+8m2=2，①由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由△＞0，得2k2+1＞m2，②又，代入①式，得-，化简，得4m2=1+2k2，代入②式，得m≠0，又∵4m2=1+2k2≥1，∴m≤-，或m≥．∴m的取值范围为（-∞，-]∪[，+∞）．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x R，y R），由已知条件推导出x1+x2=x R，y1+y2=y R，由点R在椭圆上，得到（1+2k2）（x1+x2）2+8km（x1+x2）+8m2=2，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出m的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．。
2014年山东省济南市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2014年山东省济南市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分） 1．4的算术平方根是（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．±2 D ．16 2．如图，点O 在直线AB 上，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．140°D ．150° 3．下列运算中，结果是a 5的是（ ） A ．a 2•a 3 B ．a 10÷a 2 C ．（a 2）3 D ．（﹣a ）54．我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家，嫦娥三号探测器的发射总质量约为3700千克，3700用科学记数法表示为（ ） A ．3.7×102 B ．3.7×103 C ．37×102 D ．0.37×104 5．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ）A ．主视图的面积为5B ．左视图的面积为3C ．俯视图的面积为3D ．三种视图的面积都是47．化简211m m m m--÷的结果是（ ） A ．m B ．1m C ．m ﹣1 D ．11m -8．下列命题中，真命题是（ ）A ．两对角线相等的四边形是矩形B ．两对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．两对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两对角线相等的四边形是等腰梯形 9．若一次函数y=（m ﹣3）x+5的函数值y 随x 的增大而增大，则（ ） A ．m ＞0 B ．m ＜0 C ．m ＞3 D ．m ＜310．如图，在▱ABCD 中，延长AB 到点E ，使BE=AB ，连接DE 交BC 于点F ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．∠E=∠CDFB ．EF=DFC ．AD=2BFD ．BE=2CF11．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（ ）A ．23 B ．12 C ．13D ．1412．如图，直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO′B ，则点O′的坐标是（ ）A ．3）B ．C ．（2，）D ．（，4）13．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是（ ）A ．2B C ．32D 14．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列S 0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若S 0可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是（ ） A ．（1，2，1，2，2） B ．（2，2，2，3，3） C ．（1，1，2，2，3） D ．（1，2，1，1，2）15．二次函数y=x 2+bx 的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t≥﹣1B ．﹣1≤t ＜3C ．﹣1≤t ＜8D ．3＜t ＜8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 16．|﹣7﹣3|= ．17．分解因式：x 2+2x+1= ．18．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为15，那么口袋中球的总个数为．19．若代数式12x-和321x+的值相等，则x=．20．如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于．21．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数kyx=在第一象限的图象经过点B．若OA2﹣AB2=12，则k的值为．三、解答题（本大题共7小题，共57分）22．（7分）（1）化简：（a+3）（a﹣3）+a（4﹣a）；（2）解不等式组：31442xx x-⎧⎨-+⎩＜≥．23．（7分）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC．（2）如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．24．（8分）2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预定了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？25．（8分）在济南开展“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据m= ，x= ，y= ．（2）被调查同学劳动时间的中位数是 时； （3）请将频数分布直方图补充完整； （4）求所有被调查同学的平均劳动时间．26．（9分）如图1，反比例函数ky x（x ＞0）的图象经过点A （，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC=75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ． （1）求k 的值；（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式； （3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．27．（9分）如图1，有一组平行线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，正方形ABCD 的四个顶点分别在l 1，l 2，l 3，l 4上，EG 过点D 且垂直l 1于点E ，分别交l 2，l 4于点F ，G ，EF=DG=1，DF=2． （1）AE= ，正方形ABCD 的边长= ；（2）如图2，将∠AEG 绕点A 顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l 3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l 2，l 4上． ①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明； ②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．28．（9分）如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．参考答案与解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．4的算术平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．16【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据乘方运算，可得一个数的算术平方根．【解答过程】解：∵22=4，，故选：A．【总结归纳】本题考查了算术平方根，乘方运算是解题关键．2．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°。
2014年山东省济南市中考数学试卷与答案(word整理版)
2014年山东省济南市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．4的算术平方根是（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．16 2．如图，点Ｏ在直线AB 上，若401=∠，则2∠的度数是（ ）A ． 50B ． 60C ． 140D ． 1503．下列运算中，结果是5a 的是（ ）A ．23a a ⋅B ．210a a ÷C ．32)(aD ．5)(a -4．我国成功发射了嫦娥三号卫星，是世界上第三个实现月面软着陆和月面巡视探测的国家．嫦娥三号探测器的发射总质量约3700千克，3700用科学计数法表示为（ ）A ．2107.3⨯ B ．3107.3⨯ C ．21037⨯ D ．41037.0⨯10．在□ABCD 中，延长AB 到E ，使BE ＝AB ，连接DE 交BC 于F ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．CDF E ∠=∠B ．DF EF =C ．BF AD 2= D ．CF BE 2= 11．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为（ ）A ．32B ．21C ．31D ．4112．如图，直线233+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，把AOB ∆沿着直线AB 翻折后得到B O A '∆，则点O '的坐标是（ ）A ．)3,3(B ．)3,3(C ．)32,2(D ．)4,32(13．如图，O ⊙的半径为1，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形，点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是（ ）到红球的概率为51，那么口袋中球的总个数为____________.19．若代数式21-x 和123+x 的值相等，则=x ．20．如图，将边长为12的正方形ABCD 是沿其对角线AC 剪开，再把ABC ∆沿着AD 方向平移，得到C B A '''∆，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离A A '等于________.21．如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形， 90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数xy =在第一象限的图象经过点B ，若1222=-AB OA ，则k 的值为________.三、解答题（本大题共7个小题，共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22． （7分）（1）化简：)4()3)(3(a a a a -+-+． （2）解不等式组：⎩⎨⎧+≥-<-24413x x x ．23．（7分）（1）如图，在四边形ABCD 是矩形，点E 是AD 的中点，求证：EC EB =．．（2）如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.24．（8分）2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？A D CB ’第20题图 AB CDE 第23题（1）图 A BC O 第23题（2）图25．（8分）在济南市开展的“美丽泉城，创卫我同行”活动中，某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如下图所示：（1）统计表中的=m，=x，=y；（2）被调查同学劳动时间的中位数是时；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．26．（9分）如图1，反比例函数)0(>=xxky的图象经过点A（32，1），射线AB与反比例函数图象交与另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，yADBAC⊥=∠,75 轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求DAC∠tan的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线xl⊥轴，与AC相交于N，连接CM，求CMN∆面积的最大值．27．（9分）如图1，有一组平行线4321l l l l ∥∥∥，正方形ABCD 的四个顶点分别在4321,,,l l l l 上，EG 过点Ｄ且垂直于1l 于点Ｅ，分别交42,l l 于点Ｆ，Ｇ，2,1===DF DG EF ． （1）=AE ，正方形ABCD 的边长＝ ；（2）如图2，将A E G ∠绕点A 顺时针旋转得到D E A ''∠，旋转角为)900( <<αα，点D '在直线3l 上，以D A '为边在的D E ''左侧作菱形B C D A '''，使点C B '',分别在直线42,l l 上． ①写出D A B ''∠与α的函数关系并给出证明； ②若 30=α，求菱形B C D A '''的边长．28．（9分）如图1，抛物线2163x y -=平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影S ；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N ，设t OM =，试探求： ①t 为何值时MAN ∆为等腰三角形；②t 为何值时线段PN 的长度最小，最小长度是多少．1l 2l 3l4lABCDEF G1l 2l 3l4lAE ’D ’B ’C ’G ’2014年山东省济南市中考数学试卷答案A ．A ．B ．D ．B ． A ． B ．C ．D ．C ．A ．B ． D ．C ． 16． 10．17.2)1(+x ．18.15．19.7．20． 4或8．21． 6． 22.（1）9449)4()3)(3(22-=-+-=-+-+a a a a a a a a （2）由13<-x 得4<x ；由244+≥-x x 得2≥x ． 所以原不等式组的解为42<≤x ． 23．（1）在ABE ∆和DCE ∆中，EDC EAB DE AE DC AB ∠=∠==,,,于是有 DCE ABE ∆≅∆，所以EC EB =． （2）在OAB ∆中，OB OA B A =∴∠=∠, ，连接OC ，则有8,6,===⊥BC AC OC AB OC ， 所以10862222=+=+=AC OC OA ．24．设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，由题意有⎩⎨⎧=+=+580070055010y x y x ，解之⎩⎨⎧==28y x ．所以，小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张．25.解:（1）由于频率为0.12时，频数为12，所以频率为0.4时，频数为40，即40=x ； 频数为18，频率应为0.18时，即18.0=y ；10018403012=+++=m ． （2）被调查同学劳动时间的中位数为1.5时； （3）略（4）所有被调查同学的平均劳动时间为 32.118.024.05.13.0112.05.0=⨯+⨯+⨯+⨯时． 26．（1）由反比例函数)0(>=x xky 的 图象经过点A （32，1），得32132=⨯=k ；（2）由反比例函数)0(32>=x xy 得 点B 的坐标为（1，32），于是有30,45=∠∴=∠DAC BAD ，33tan =∠DAC ， AD =32，则由33tan =∠DAC 可得CD =2，C 点纵坐标是-1，直线AC 的截距是-1，而且过点A （32，1）则直线解析式为133-=x y ． （3）设点M 的坐标为)1)(,32(>m m m， 则点N 的坐标为)12,32(-mm ，于是CMN ∆面积为 )12(3221+-⨯⨯=∆m m m S CMN])422(89[3)112(322--=++-⨯=m m m ， 所以，当4=m 时，CMN ∆面积取得最大值839． 27.（1）在RT RT AED GDC ∆∆，中，AD=DC,又有ADE ∠和DAE ∠互余，ADE ∠和CDG ∠互余，故DAE ∠和CDG ∠相等，GDC AED ∆≅∆，知1==GD AE ,又321=+=AD ，所以正方形ABCD 的边长为103122=+．（2）①过点B '作B M '垂直于1l 于点M ，在RT RT ’AE D ABM ∆∆''，中, =’B M AE ',=AD AB '',故RT RT ’AE D AB M ∆∆''≅，所以A ,’D E B AM ''∠∠互余，D A B ''∠与α之和为90︒，故D A B ''∠=90︒－α.②过E 点作ON 垂直于1l 分别交12l ,l 于点O ，N ，若30=α,60E D N ''∠=︒，=1AE ',故1=2E O ', 5=2E N ', E D ''=3=. 28.（1）设平移后抛物线的解析式2316y x bx =-+， 将点A （8，,0）代入，得233162y x x =-+.顶点B （4,3）， 阴影S =OC ×CB ＝12.（2）直线AB 的解析式为364y x =-+，作NQ 垂直于x 轴于点Q ，①当MN ＝AN 时， N 点的横坐标为82t +，纵坐标为2438t-，由三角形NQM 和三角形MOP 相似可知NQ MQ OM OP =,得2438826t tt --=，解得982t ,=（舍去）. 当AM ＝AN 时，AN ＝8t -,由三角形ANQ 和三角形APO 相似可知()385NQ t =-()485AQ t =-,MQ ＝85t -，由三角形NQM 和三角形MOP 相似可知NQ MQ OM OP =得：()388556t t t --=，解得：t ＝12（舍去）.当MN ＝MA 时，45MNA MAN ∠=∠<︒故AMN ∠是钝角，显然不成立.故92t =.②方法一：作PN 的中点C ，连接CM ，则CM ＝PC ＝21P Ｎ，当CM 垂直于x 轴且M 为OQ 中点时PN 最小， 此时t ＝3，证明如下：假设t ＝3时M 记为0M ，C 记为0C 若M 不在0M 处，即M 在0M 左侧或右侧，若C 在0C 左侧或者C 在0C 处，则CM 一定大于00C M ,而PC 却小于0PC ，这与CM ＝PC 矛盾， 故C 在0C 右侧，则PC 大于0PC ,相应PN 也会增大， 故若M 不在0M 处时 PN 大于0M 处的PN 的值，故当t ＝3时，MQ ＝3, 3=2NQ ,根据勾股定理可求出PM＝与MN15=2PN ． 故当t ＝3时，PN 取最小值为152．方法二：由MN 所在直线方程为662t x t y -=，与直线AB 的解析式364y x =-+联立，得点N 的横坐标为tt x N 292722++=，即029362=-+-N N x t x t ，由判别式0)2936(42≥--=∆N N x x ，得6≥N x 或14-≤N x ，又80<<N x ， 所以N x 的最小值为6，此时t ＝3， 当t ＝3时，N 的坐标为（6，23），此时PN 取最小值为152．。
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绝密★启用并使用完毕前
2014山东省济南市一模试卷
文科数学
本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．训练时间l20分钟，满分150分，考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科
类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第l卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使
用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
锥体的体积公式：V=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．
第I卷 (共50分)
一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
(1)已知复数21izi(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(2)已知集合A={|2,xyyxR}，B={|lg(1)xyx}，则AB为
(A)(，l) (B)(0，+) (C)(0，1) (D)(0，1]
(3)命题“2,10xRx”的否定是
(A)2,10xRx (B) 2,10xRx
(C)2,10xRx (D) 2,10xRx
(4)将函数cos21yx的图象向右平移4个单位，再向下平移1个
单位后得到的函数图象对应的表达式为
(A)sin2yx (B) sin22yx
(C) cos2yx (D) cos(2)4yx
(5)执行右面的程序框图输出的T的值为
2
(A)4 (B)6
(C)8 (D)10
(6)已知直线m，n不重合，平面，不重合，下列命题正确的是
(A)若m，n，m//，n//，则//
(B)若m，m，//，则m//n
(C)若，m，n，则mn
(D)若m，n，则mn
(7)函数sinlnsinxxyxx的图象大致是
(8)已知变量x，y，满足约束条件111xyxyxa，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的
值为
(A)2 (B) 83 (C)4 (D)8
(9)已知F1，F2是双曲线22221xyab (a>0，b>0)的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的
直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离
心率e的取值范围是
(A)(1，2) (B)(1，5) （C）(1,5) (D)( 5，+)
(10)已知()fx定义域为(0，+)，'()fx为()fx的导函数，且满足()'()fxxfx，则不
等式2(1)(1)(1)fxxfx的解集是
(A)(0，1) (B)(1，+) (C)(1，2) (D)(2，+)
第Ⅱ卷(共100分)
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二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25
分。
(11)某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同
学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按
如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小
于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分„„
第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此
绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中
成绩优秀(大于等于80分)的学生有 名．
(12)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1，有一动点在此长方体内随
机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为 ．
(13)已知直线340xya与圆224210xxyy相切，
则实数a的值为 ．
(14)如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2， AD=DC=1，
P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，
,(1)DQDCCPCB
，则
APAQ
的取值范围是 ．
(15)有一个奇数组成的数阵排列如下：
则第30行从左到右第3个数是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
(16)(本小题满分12分)
已知函数21()3sincoscos2fxxxx．
(I)求()fx的最小正周期及对称轴方程；
(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1()22Af，bc=6，求a的最
小值.
(17)(本小题满分l2分)
一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．
4
(I)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
(II)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的
球中至少有一个红球的概率．
(18)(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是
矩形，平面MADN平面ABCD，E，F分别为MA，
DC的中点，求证：
(I)EF//平面MNCB；
(Ⅱ)平面MAC平面BND．
(19)(本小题满分12分)
设等差数列{na}的前n项和为S，且S3=2S2+4，a5=36．
(I)求na，Sn；
(Ⅱ)设*1()nnbSnN，1231111...nnTbbbb，求Tn
(20)(本小题满分13分)
已知函数2()()xfxxaxe在(0，1)上单调递减．
(I)求a的取值范围；
(Ⅱ)令2()[(3)21],()'()()xgxaxaaehxfxgx，求()hx在[1，2]上的最
小值．
(21)(本小题满分14分)
已知椭圆C：22221xyab (a>b>0)的离心率为22，且椭圆C上一点与两个焦点F1，
F2构成的三角形的周长为22+2．
(I)求椭圆C的方程；
(II)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设22FAFB，若21，
求
11
FAFB
的取值范围．
5
6
7
8
9