中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)

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(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)32页 ok

(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)32页 ok

二次函数最值专项练习60题1.画出抛物线y=4(x﹣3)2+2的大致图象,写出它的最值和增减性.2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(﹣1,0)、B(2,3)两点,求出此二次函数的解析式;并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值.3.已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a>﹣2,求(1)函数在一2<x≤a的最小值;(2)函数在a≤x≤a+2的最小值.4.已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3,求实数a的值.5.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数,即:(a+b)2≥0,且﹣(a+b)2≤0.据此,我们可以得到下面的推理:∵x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2,而(x+1)2≥0∴(x+1)2+2≥2,故x2+2x+3的最小值是2.试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值?若有,请求出它的最大值或最小值.6.如图所示,已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30°,若边长AB=x(cm).(1)写出▱ABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.(2)当x取什么值时,y的值最大?并求最大值.7.求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值.8.已知m,n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根,求y=(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值.9.当﹣1≤x≤2时,求函数y=f(x)=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值,并求最小值为﹣1时,a的所有可能的值.10.已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1,求m的值.11.已知函数是关于x的二次函数.(1)求m的值;(2)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最低点?(3)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最高点?12.两个数的和为6,这两个数的积最大可以达到多少?利用图象描述乘积与因数之间的关系.13.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.这两个正方形面积之和有最值吗?如有,求出最值;如没有请说明理由.14.关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m,且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10,则m的最大值是多少?15.求函数的最小值.16.当﹣1≤x≤1时,函数y=﹣x2﹣ax+b+1(a>0)的最小值是﹣4,最大值是0,求a、b的值.17.已知a2+b2=1,,求a+b+ab的取值范围.18.如图,在矩形ABCD中,B(16,12),E、F分别是OC、BC上的动点,EC+CF=8.当F运动到什么位置时,△AEF的面积最小,最小为多少?19.如图;AC,BD是四边形ABCD的对角线,AC⊥BD于点O;(1)求证:S四边形ABCD=AC•BD;(2)若AC+BD=10,当AC,BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?20.先画出函数图象,然后结合图象回答下列问题:(1)函数y=3x2的最小值是多少?(2)函数y=﹣3x2的最大值是多少?(3)怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值?与同伴交流.21.将长为156cm的铁线剪成两段,每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形,求这两个正方形面积和的最小值.22.已知函数y=(a+2)x2﹣2(a2﹣1)x+1,其中自变量x为正整数,a也是正整数,求x何值时,函数值最小.23.设实数a,b满足:3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0,求u=9a2+72b+2的最小值.24.若函数y=4x2﹣4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3,求a的值.25.说明:不论x取何值,代数式x2﹣5x+7的值总大于0.并尝试求出当x取何值时,代数式x2﹣5x+7的值最小?最小值是多少?26.求经过点A(0,2)、B(2,0)、C(﹣1,2)的抛物线的解析式,并求出其最大或最小值.27.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,两个动点P,Q同时从A点出发,点P沿AC运动,点Q沿AB,BC运动,两点同时到达点C.(1)点Q的速度是点P速度的多少倍?(2)设AP=x,△APQ的面积是y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围,(3)求出y的最大值.28.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点,点C是线段AB上一动点,点D是抛物线上一动点,且CD平行于y轴,求在移动过程中CD的最大值.29.代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗?若有,请求出:当x取何值时,最大(小)值是多少?30.已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2(1)通过配方,求当x取何值时,y有最大或最小值,最大或最小值是多少?(2)当﹣1≤x≤2时,函数有最小值2.求a所有可能取的值.31.设函数y=|x2﹣x|+|x+1|,求﹣2≤x≤2时,y的最大值和最小值.32.求函数y=(k﹣1)x2﹣2(k﹣1)x﹣k的最值,其中k为常数且k≠1.33.已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2,当时,y的最大值为﹣3,求a.34.求函数y=x2+5x+8的最小值.35.已知二次函数y=(3﹣k)x2+2,求:(1)当k为何值时,函数有最大值?最大值是多少?(2)当k为何值时,函数有最小值?最小值是多少?36.求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值(t为常数).37.已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3,求实数a的值.38.(1)求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值.(2)已知:|y|≤1,且2x+y=1,求2x2+16x+3y2的最小值.39.已知y=x2﹣2ax﹣3,﹣2≤x≤2.(1)求y的最小值;(2)求y的最大值.40.当|x+1|≤6时,求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值?41.用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍,门MN宽2m,怎样设计才能使鸡舍的面积最大?42.如图所示,在直角梯形ABCD中,AB=2,P是边AB的中点,∠PDC=90°,问梯形ABCD面积的最小值是多少?43.有两条抛物线y=x2﹣3x,y=﹣x2+9,通过点P(t,0)且平行于y轴的直线,分别交这两条抛物线于点A和B,当t在0到3的范围内变化时,求线段AB的最大值.44.如图,半径为1的半圆内接等腰梯形,其下底是半圆的直径,试求:(1)它的周长y与腰长x之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.(2)当腰长为何值时,周长有最大值?这个最大值为多少?45.已知点P,Q,R分别在△ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求△ABC的面积的最大值.46.已知:0≤x≤1,函数的最小值为m,试求m的最大值.47.阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值.他画图研究后发现,x=1和x=5时的函数值相等,于是他认为需要对m进行分类讨论.他的解答过程如下:∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3,∴由对称性可知,x=1和x=5时的函数值相等.∴若1≤m<5,则x=1时,y的最大值为2;若m≥5,则x=m时,y的最大值为m2﹣6m+7.请你参考小明的思路,解答下列问题:(1)当﹣2≤x≤4时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________;(2)若p≤x≤2,求二次函数y=2x2+4x+1的最大值;(3)若t≤x≤t+2时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31,则t的值为_________.48.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动.(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形APQCD的面积为Scm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.(2)t为何值时,S最小?最小值是多少?49.已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点,点C是线段AB上一动点,点D是抛物线上一动点,且CD平行于y轴,求在移动过程中CD的最大值.50.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,两个动点P,Q同时从A点出发,点P沿AC运动,点Q沿AB,BC运动,两点同时到达点C.(1)点Q的速度是点P速度的多少倍?(2)设AP=x,△APQ的面积是y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围,(3)求出y的最大值.51.一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,BC=6.用这块废料剪出一个平行四边形AGEF,其中,点G,E,F分别在AB,BC,AC上.设CE=x(1)求x=2时,平行四边形AGEF的面积.(2)当x为何值时,平行四边形AGEF的面积最大?最大面积是多少?52.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运动至B,C),DE∥AC,交AB 于E,设BD=x,△ADE的面积为y.(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;(2)x为何值时,△ADE的面积最大?最大面积是多少?53.如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉放置.(1)求证:重叠部分的图形是菱形;(2)求重叠部分图形的周长的最大值和最小值.(要求画图﹑推理﹑计算)54.如图,设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,延长QP交AC的延长线于点R.当点P在何处时,△BPQ与△CPR的面积之和取最大(小)值?并求出最大(小)值.55.(2012•杭州)当k分别取﹣1,1,2时,函数y=(k﹣1)x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.56.(2003•黄石)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C(0,3),若△ABC的面积为9,求此二次函数的最小值.57.(2013•南岗区一模)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,且AO=8,BO=6,P是线段AB上一个动点,PE⊥A0于E,PF⊥B0于F.设PE=x,矩形PFOE的面积为S(1)求出S与x的函数关系式;(2)当x为何值时,矩形PFOE的面积S最大?最大面积是多少?58.(2013•资阳)在关于x,y的二元一次方程组中.(1)若a=3.求方程组的解;(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值.59.(2010•漳州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm.动点P、Q分别从A、C两点同时出发,其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动;点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动.过P作PE∥CB交AD于点E,设动点的运动时间为x秒.(1)用含x的代数式表示EP;(2)当Q在线段CD上运动几秒时,四边形PEDQ是平行四边形;(3)当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时,求四边形EPDQ面积的最大值.60.(2010•长春)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°.AB=30,BC=x,其中15<x <30.作DE⊥AB于点E,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在F处,DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长.(2)设四边形DEBG的面积为S,求S与x的函数关系式.(3)当x为何值时,S有最大值,并求出这个最大值.二次函数最值解答题60题参考答案:1.解:因为顶点坐标为(3,2),对称轴为x=3,与y轴交点为(0,38),因为△=144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8<0,所以与x轴无交点.作图得:最值2.增减性:当x≥3时,y随x的增大而增大;当x≤3时,y随x的增大而减小2.解:由函数图象可得二次函数图象过点C(0,3),将A,B,两点代入函数解析式得解得:a=﹣1,b=2,c=3,可得二次函数解析式为:y=﹣x2+2x+3;配方得:y=﹣(x﹣1)2+4,∴对称轴x=1,最大值为43.解:二次函数y=x2﹣x﹣2=﹣的图象如图:顶点坐标为(,),(1)当﹣2<a<时,函数为减函数,最小值为当x=a时,y=a2﹣a﹣2.当a≥时,y min=﹣,(2)当a>﹣2,且a+2<,即:﹣2<a<﹣时,函数为减函数,最小值为:y x=a+2=(a+2)2﹣(a+2)﹣2,当a<≤a+2,即﹣≤a<时,函数的最小值为y=﹣4.解:配方y=(x+a)2﹣1,函数的对称轴为直线x=﹣a,顶点坐标为(﹣a,﹣1).①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时,函数最小值为﹣1,不合题意;②当﹣a<0即a>0时,∵当x=3时,y有最大值;当x=0时,y有最小值,∴,解得a=2;③当﹣a>3即a<﹣3时,∵当x=3时,y有最小值;当x=0时,y有最大值,∴,解得a=﹣5.∴实数a的值为2或﹣55.解:原式=3(y﹣1)2+8,∵(y﹣1)2≥0,∴3(y﹣1)2+8≥8,∴有最小值,最小值为86.解:(1)过A作AE⊥BC于E,如图,∵∠B=30°,AB=x,∴AE=x,又∵平行四边形ABCD的周长为8cm,∴BC=4﹣x,∴y=AE•BC=x(4﹣x)=﹣x2+2x(0<x<4);(2)y=﹣x2+2x=﹣(x﹣2)2+2,∵a=﹣,∴当x=2时,y有最大值,其最大值为27.解:对称轴x=﹣=﹣=,①≤0,即a≤0时,0≤x≤1范围内,y随x的增大而增大,当x=0时,y最小,最小值y=2×02﹣a×0+1=1,②0<<1,即0<a<4时,当x=时有最小值,最小值y=2×()2﹣a×+1=1﹣,③≥1,即a≥4时,0≤x≤1范围内,y随x的增大而减小,当x=1时,y最小,最小值y=2×12﹣a×1+1=3﹣a,综上所述,a≤0时,最小值为1,0<a<4时,最小值为1﹣,a≥4时,最小值为3﹣a8.解:依题意△=4a2﹣4(a+6)≥0,即a2﹣a﹣6≥0,∴a≤﹣2或a≥3,(3分)由m+n=2a,mn=a+6,y=m2+n2﹣2(m+n)+2=(m+n)2﹣2mn﹣2(m+n)+2=4a2﹣6a﹣10,=4(a﹣)2﹣,∴a=3时,y的最小值为8.(12分)故y的最小值为89.解:对称轴x=﹣=﹣=a,①a≤﹣1时,﹣1≤x≤2范围内,y随x的增大而增大,当x=﹣1时,y最小,最小值y=2×(﹣1)2﹣4a×(﹣1)+a2+2a+2=a2+6a+4,②﹣1<a<2时,当x=a时,有最小值,最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2,③a≥2时,﹣1≤x≤2范围内,y随x的增大而减小,当x=2时,y最小,最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10,综上所述,a≤﹣1时,最小值为a2+6a+4,﹣1<a<2时,最小值为﹣a2+2a+2,a≥2时,最小值为a2﹣6a+10;∵最小值为﹣1,∴a2+6a+4=﹣1,整理得a2+6a+5=0,解得a1=﹣1,a2=﹣5,﹣a2+2a+2=﹣1,整理得,a2﹣2a﹣3=0,解得a3=﹣1,a4=3(舍去),a2﹣6a+10=﹣1,整理得,a2﹣6a+11=0,△=(﹣6)2﹣4×1×11=﹣8<0,方程无解,综上所述,a的所有可能值为﹣1、﹣510.解:根据抛物线顶点坐标公式得:=1,解得:m=1011.解:(1)根据二次函数的定义可知:m2+2m﹣6=2,m+2≠0,解得:m=2或﹣4.(2)当m=2时,抛物线的开口向上,有最小值,此函数图象的顶点为最低点;(3)当m=﹣4时,抛物线的开口向下,有最大值,此函数图象的顶点为最高点12.解:设两数为x、y,两数的积为s,根据题意列方程组得,,整理得,s=x(6﹣x)=﹣x2+6x,配方得,s=﹣(x﹣3)2+9,可见,s的最大值为9.如图:由于函数为抛物线,其与x轴的交点坐标为:(0,0),(6,0),顶点为(3,9),对称轴为直线x=3,画出函数图象13.解:设一段铁丝的长度为x,另一段为(20﹣x),则S=x2+(20﹣x)(20﹣x)=(x﹣10)2+12.5,∴由函数当x=10cm时,S最小,为12.5cm214.解:由0≤a2﹣4a﹣2≤0,解得:﹣2≤a≤2﹣或2+≤a≤6.由y=x2﹣4ax+5a2﹣3a可得y=(x﹣2a)2+a2﹣3a,则最小值m=a2﹣3a=(a﹣)2﹣,它的图象的对称轴为a=.在上述a的取值范围内的a值中6与的距离最大.∴a=6时,原函数的最小值m有最大值m=62﹣3×6=1815.解:根据x2﹣x﹣6≥0且x2﹣x﹣6≠6时,函数才有意义,解得:x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4,此时函数y=x2﹣4x﹣9,图象如图:在x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4的范围内可知,当x=3时,这个函数的最小值为﹣1216.解:由题意:对称轴为x=﹣.其次这是一个定区间(﹣1≤x≤1)动对称轴(x=﹣)的函数,所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论.第一种情况:0<﹣≤1,不可能.因对称轴在区间内故函数最大值在x=﹣时取到,因对称轴在区间左半段故函数最小值在x=1时取到.联立x=﹣时y=﹣4与x=﹣1时y=0两个方程解得a=2±2,均不符合条件,故舍去.第二种情况,﹣<﹣1,即对称轴在区间外,此时a>2,在区间内函数单调递减,故x=﹣1时y=0,x=1时y=﹣4,解得a=2,b=﹣2,满足a>0的条件.解得:a=2,b=﹣217.解:∵a2+b2=(a+b)2﹣2ab,a2+b2=1,∴ab=,设a+b=t,则﹣≤t≤,∴y=a+b+ab=+a+b=(t2﹣1)+t=t2+t﹣=(t+1)2﹣1,∴t=﹣1时,y有最小值为﹣1,t=时,y有最大值,此时y=(+1)2﹣1=,∴﹣1≤y≤,即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤18.解:在矩形ABCD中,B(16,12),EC+CF=8;则AB=OC=16,BC=OA=12;设CF=x,则EC=8﹣x;S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF=OA×OC﹣×OE×OA﹣×AB×BF﹣×CE×CF=12×16﹣×[16﹣(8﹣x)]×12﹣×16×(12﹣x)﹣×x×(8﹣x)=x2﹣2x+48=(x﹣2)2+46;因此,当x=2时,S△AEF取得最小值46.故当F运动到CF为2时,△AEF的面积最小,最小为4619.(1)证明:∵AC⊥BD,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,=AC•OB+AC•OD,=AC(OB+OD)=AC•BD;(2)解:设AC=x,∵AC+BD=10,∴BD=10﹣x,∴四边形ABCD的面积=x(10﹣x)=﹣(x2﹣10x)=﹣(x﹣5)2+,∵﹣<0,∴当x=5时,四边形ABCD的面积有最大值,此时AC=5,BD=520.解:(1)根据图象得:它的最小值是0;(2)根据图象得:它的最大值是0;(3)当a>0时,y=ax2有最小值,当a<0时,y=ax2有最大值21.解:设其中一段铁丝的长度为xcm,另一段为(156﹣x)cm,则两个正方形面积和S=x2+(156﹣x)2=(x﹣78)2+761,∴由函数当x=78cm时,S最小,为761cm2.答:这两个正方形面积之和的最小值是761cm222.解:∵y=(a+2)x2﹣2(a2﹣1)x+1,∴y=(a+2)+1﹣,其对称轴为,因为a为正整数,故因,,因此,函数的最小值只能在x取a﹣2,a﹣1,时达到,(1)当a﹣1=时,a=1,此时,x=0使函数取得最小值,由于x是正整数,故应舍去;(2)a﹣2<<a﹣1时,即a>1时,由于x是正整数,而为小数,故x=不能达到最小值,当x=a﹣2时,y1=(a+2)(a﹣2)2﹣2(a2﹣1)(a﹣2)+1,当x=a﹣1时,y2=(a+2)(a﹣1)2﹣2(a2﹣1)(a﹣1)+1,又y1﹣y2=4﹣a,①当4﹣a>0时,即1<a<4且a为整数时,x取a﹣1,使y2为最小值;②当4﹣a=0时,即a=4时,有y1=y2,此时x取2或3;③当4﹣a<0时,即a>4且为整数时,x取a﹣2,使y1为最小值;综上,(其中a为整数)23.解:由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0可得(a﹣2b)(3a﹣4b+5)=0,(6分)所以a﹣2b=0,或3a﹣4b+5=0.(8分)①当a﹣2b=0,即a=2b时,u=9a2+72b+2=36b2+72b+2=36(b+1)2﹣34,于是b=﹣1时,u的最小值为﹣34,此时a=﹣2,b=﹣1.(13分)②当3a﹣4b+5=0时,u=9a2+72b+2=16b2+32b+27=16(b+1)2+11,于是b=﹣1时,u的最小值为11,此时a=﹣3,b=﹣1.(18分)综上可知,u的最小值为﹣3424.解:∵y=4x2﹣4ax+a2+1(0≤x≤2),∴y=4+1,(1)当0≤≤2,即0≤a≤4时,最小值为1,不符合题意,舍去;(2)当<0即a<0时,令f(0)=3得:a2+1=3,解得:a=±,故a=﹣;(3)当>2即a>4时,令f(2)=3,即a2﹣8a+14=0,解得;a=4±,故a=4+;综上有;a=﹣或4+25.解:原式=(x)2+.∵(x)2≥0.∴原式>0恒成立;当x=时,原式有最小值为26.解:由题意设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c,把A(0,2)、B(2,0)、C(﹣1,2)分别代入二次函数解析式,得:解得所以函数解析式为:y=﹣x2﹣x+2,配方得:y=﹣(x﹣)2+,所以二次函数有最大值且最大值为:27.解:(1)∵在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,∴BC=2,AC=,而两个动点P,Q同时从A点出发,点P沿AC运动,点Q沿AB,BC运动,两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷=倍;(2)∵设AP=x,△APQ的面积是y,①当Q在AB上,即时,,②当Q在BC上,即时,,即:;(3)对于()当时,对于(≤x≤)当时,,∵,∴当时,.28.解:设C(m,2m+1),D(m,m2),则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣(m﹣1)2+2,当m=1时,CD有最大值229.解:原式=(x﹣)2﹣,∴当x=时,原式有最小值为﹣30.解:(1)y=2x2﹣4ax+a2+2a+2,y=2(x﹣a)2﹣a2+2a+2,当x=a时,y有最小值为3﹣(a﹣1)2;(2)当﹣1≤x≤2时,3﹣(a﹣1)2=2,解得a=0或a=2,当x<﹣1时,则当x=﹣1时y=2,解得,当x>2时,则当x=2时y=2,解得a=4,所以:a=0或a=2或或a=431.解:(1)当1≤x≤2时,y=x2﹣x+x+1=x2+1,当x=1时取最小值为2,x=2时取最大值为5;(2)当﹣2≤x≤﹣1时,y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2,当x=﹣1时,y取得最小值为2,当x=﹣2时,y取得最大值为7;(3)当﹣1≤x≤0时,y=x2﹣x+x+1=x2+1,当x=﹣1时,y取最大值为2,当x=0时,y取最小值为1;(4)当0≤x≤1时,y=x﹣x2+x+1=﹣(x﹣1)2+2,当x=1时y取最大值为2,当x=0时y取最小值为1;综上所述:y的最大值为7,最小值为132.解:∵y=(k﹣1)x2﹣2(k﹣1)x﹣k,=(k﹣1)(x﹣1)2﹣2k+1,∴当k>1时,函数有最小值为﹣2k+1,当k<1时,函数有最大值为﹣2k+133.解:(1)若,即﹣1≤a≤1,抛物线开口向下,当时,y最大值=2a,∵二次函数最大值﹣3,即与﹣1≤a≤1矛盾,舍去.(2)若当时,y随x增大而减小,当时,y最大值=﹣a2+4a﹣1,由又a>1,∴(3)若当时,y随x增大而增大,当时,y最大值=﹣a2﹣1,由又a<﹣1,∴综上所述,或34.最小值===.35.解:(1)3﹣k<0,即k>3时,函数有最大值2;(2)3﹣k>0,即k<3时,函数有最大小236.解:二次函数的对称轴为直线x=﹣=t,①﹣1≤t≤1时,x=t时,函数有最大值y=t2﹣2t•t+1=﹣t2+1,②t<﹣1时,x=1时,函数有最大值y=12﹣2t•1+1=﹣2t+2,③t>1时,x=﹣1时,函数有最大值y=(﹣1)2﹣2t•(﹣1)+1=2t+237.解:(1)若,即﹣1≤a≤1,抛物线开口向下,当时,y最大值=2a,∵二次函数最大值﹣3,即与﹣1≤a≤1矛盾,舍去.(2)若当时,y随x增大而减小,当时,y最大值=﹣a2+4a﹣1,由又a>1,∴(3)若当时,y随x增大而增大,当时,y最大值=﹣a2﹣1,由又a<﹣1,∴综上所述,或38.解:(1)若x2﹣4≥0,即|x|≥2,则y=x2﹣3x﹣4∴,若x2﹣4≤0,即|x|≤2,则y=﹣x2﹣3x+4∴,∴(2≤x≤5),当x=5时,y最大值=6;当x=2时,y最小值=﹣6,对(﹣2≤x≤2),当时,;x=2时,y最小值=﹣6,综上所述,x=2时,y最小值=﹣6;当时,;(2)由2x+y=1得,y=1﹣2x,由|y|≤1得﹣1≤x≤1故0≤x≤1,∴z为开口向上,对称轴为的抛物线,虽然有最小值,但不在0≤x≤1的范围内,因此不是所求的最值.又x=0时,z=3;x=1时,z=21.∴所求的最小值为339.解:对称轴为直线x=﹣=a,①a<﹣2时,x=﹣2时,y有最小值,最小值=(﹣2)2﹣2a×(﹣2)﹣3=4+4a﹣3=4a+1,x=2时,y有最大值,最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1;②﹣2≤a≤0时,x=a时y有最小值,最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3,x=2时,y有最大值,最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1;③0<a≤2时,x=a时y有最小值,最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3,x=﹣2时,y有最大值,最大值=(﹣2)2﹣2a×(﹣2)﹣3=4+4a﹣3=4a+1;④a>2时,x=2时,y有最小值,最小值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1,x=﹣2时,y有最大值,最大值=(﹣2)2﹣2a×(﹣2)﹣3=4+4a﹣3=4a+140.解:∵|x+1|≤6,解得:﹣7≤x≤5,∴当﹣7≤x<0时,y=﹣x2﹣2x+1=﹣(x+1)2+2,当x=﹣1时,取得最大值为2;当0≤x≤5时,y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,故当x=5时,y取得最大值为16.综合上述,原函数式最大值为1641.解:设鸡舍的长为x,则宽为(14﹣2x+2)=8﹣x,所以,鸡舍的面积=x(8﹣x)=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16,所以,当x=4,即长与宽都是4时,鸡舍的面积最大,最大值是16m2.答:鸡舍的长与宽都是4m时,鸡舍的面积最大42.解:设梯形上底为x,下底为y,∵AB=2,P是边AB的中点,∠PDC=90°,∴1+y2﹣(1+x2)=4+(y﹣x)2,解得:y=+x,梯形ABCD面积=×(x+y)×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4,当x=时,即x=1,y=3时,梯形ABCD面积取得最小值为443.解:将直线x=t,代入y=x2﹣3x,y=﹣x2+9中,得A和B的纵坐标分别为t2﹣3t,﹣t2+9,∴AB=,∴当时,线段AB取得最大值44.解:(1)作OE⊥AD,DF⊥AO,垂足分别为E、F,由垂径定理可知AE=AD=x,易证Rt△ADF∽Rt△AOE,∴=,即=,解得AF=x2,∴CD=AB﹣2AF=2﹣x2,∴y=2x+2+2﹣x2=﹣x2+2x+4,∵OA=1,AF=x2,∴x2<1∴0<x<;(2)∵y=﹣x2+2x+4=﹣(x﹣1)2+5,∴x=1时,周长最大为545.解:由正弦定理得:BQ=2cosB,CQ=2cosC,由上可推出BC=2(cosB+cosC),AB=BC,AC=BC,∴S△ABC=×AB×AC×sinA,∵三边固定,当面积最大时,sinA=1,∠A=90°,又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP所以△APR相似于△QPR因为PR边公用,所以AP=AR=QP=QR=1AB=AC=2,∴S△ABC=×AB×AC×sinA=246.解:函数,∴y=+﹣,(1)当0≤≤1时,m=﹣,(2)当<0时,m=,(3)当>1时,m=1﹣a+,综上知:a=1时,m有最大值0.2547.解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,∴当﹣2≤x≤4时,二次函数y=2x2+4x+1的最大值为:2×42+4×4+1=49;(2)∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1,∴由对称性可知,当x=﹣4和x=2时函数值相等,∴若p≤﹣4,则当x=p时,y的最大值为2p2+4p+1,若﹣4<p≤2,则当x=2时,y的最大值为17;(3)t<﹣2时,最大值为:2t2+4t+1=31,整理得,t2+2t﹣15=0,解得t1=3(舍去),t2=﹣5,t≥﹣2时,最大值为:2(t+2)2+4(t+2)+1=31,整理得,(t+2)2+2(t+2)﹣15=0,解得t1=1,t2=﹣7(舍去),所以,t的值为1或﹣548.解:(1)第t秒钟时,AP=tcm,故PB=(6﹣t)cm,BQ=2tcm,故S△PBQ=•(6﹣t)•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72.∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72(0<t<6);(2)∵S=t2﹣6t+72=(t﹣3)2+63,∴当t=3秒时,S有最小值63cm249.解:设C(m,2m+1),D(m,m2),则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣(m﹣1)2+2,当m=1时,CD有最大值250.解:(1)∵在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,∴BC=2,AC=,而两个动点P,Q同时从A点出发,点P沿AC运动,点Q沿AB,BC运动,两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷=倍;(2)∵设AP=x,△APQ的面积是y,①当Q在AB上,即时,,②当Q在BC上,即时,,即:;(3)对于()当时,对于(≤x≤)当时,,∵,∴当时,51.解:设平行四边形AGEF的面积是S.∵四边形AGEF是平行四边形,∴EF∥AG;∵∠A=30°,∠C=90°,CE=x,BC=6,∴∠A=∠CFE=30°,∴CF=x,AC=6,∴AF=6﹣x;∴S=AF•CE=(6﹣x)x=﹣x2+6x,即S=﹣x2+6x;(1)当x=2时,S=﹣4+12=8,即S=8.答:平行四边形AGEF的面积为(平方单位)…4分(2)由S=﹣x2+6x,得,∴,∴当x=3时,平行四边形AGEF的面积最大,最大面积是(平方单位)…9分52.解:(1)在Rt△ABC中,AC==6,∴tanB=.∵DE∥AC,∴∠BDE=∠BCA=90°.∴DE=BD•tanB=x,CD=BC﹣BD=8﹣x.设△ADE中DE边上的高为h,∵DE∥AC,∴h=CD.∴y=DE•CD=•(8﹣x),即y=+3x.自变量x的取值范围是0<x<8;(2)x==4时,y最大==6.即当x=4时,△ADE的面积最大为653.(1)证明:过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∵两条纸条宽度相同(对边平行),∴AB∥CD,AD∥BC,AE=AF,∴四边形ABCD是平行四边形,∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF,又∵AE=AF,∴BC=CD,∴四边形ABCD是菱形;(2)解:当两张纸条如图所示放置时,菱形周长最大,设这时菱形的边长为xcm,由勾股定理:x2=(8﹣x)2+22,得:4x=17,即菱形的最大周长为17cm.当两张纸条如图所示放置时,即是正方形时取得最小值为:2×4=8.54.解:在Rt△BPQ中,设PB=x,由∠B=60°,得:BQ=,PQ=,从而有PC=CR=a﹣x,∴△BPQ与△CPR的面积之和为:S=x2+(a﹣x)2=(x﹣a)2+a2,∵0≤x≤a,∴当x=0时,S取最大值a2,当x=a时,S取最小值a255.解:k可取值﹣1,1,2(1)当k=1时,函数为y=﹣4x+4,是一次函数(直线),无最值;(2)当k=2时,函数为y=x2﹣4x+3,为二次函数.此函数开口向上,只有最小值而无最大值;(3)当k=﹣1时,函数为y=﹣2x2﹣4x+6,为二次函数.此函数开口向下,有最大值.因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2(x+1)2+8,则当x=﹣1时,函数有最大值为856.解:设A(m,0),B(n,0),则m,n是方程x2+bx+c=0的两个根,∵y=x2+bx+c过点C(0,3),∴c=3,又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9,∴|AB|=6,∴|m﹣n|=6,即(m+n)2﹣4mn=36,而,∴b2﹣12=36,b=±4,∴y=x2±4x+3=(x±2)2﹣9,∴所求的最小值为﹣957.解:(1)在矩形PFOE中,OF=PE=x,∵AO=8,BO=6,∴tanB==,即=,解得PF=(6﹣x),∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•(6﹣x)=﹣x2+8x,即S=﹣x2+8x;(2)∵S=﹣x2+8x=﹣(x2﹣6x+9)+12=﹣(x﹣3)2+12,∴当x=3时,矩形PFOE的面积S最大,最大面积是1258.解:(1)当a=3时,方程组为,②×2得,4x﹣2y=2③,①+③得,5x=5,解得x=1,把x=1代入①得,1+2y=3,解得y=1,所以,方程组的解是;(2)方程组的两个方程相加得,3x+y=a+1,所以,S=a(3x+y)=a(a+1)=(a+)2﹣,所以,当a=﹣时,S有最小值﹣59.解:(1)∵PE∥CB,∴∠AEP=∠ADC,又∵∠EAP=∠DAC,∴△AEP∽△ADC,(2分)∴=,∴=,(3分)∴.(4分)(2)由四边形PEDQ1是平行四边形,可得EP=DQ1.(5分)即x=3﹣x,所以x=1.5.(6分)∵0<x<2.4(7分)∴当Q在线段CD上运动1.5秒时,四边形PEDQ是平行四边形.(8分)(3)S四边形EPDQ2=(x+x﹣3)•(4﹣x)(9分)=﹣x2+x﹣6=﹣(x﹣)2+,(10分)又∵2.4<x<4,(12分)∴当x=时,S取得最大值,最大值为60.解 :(1)由题意,得EF=AE=DE=BC=x ,AB=30, ∴BF=2x-30.(2)∵∠F=∠A=45°,∠CBF=∠ABC=90°, ∴∠BGF=∠F=45°.∴BG=BF=2x-30,∴S=S DEF △−S GBF △=21DE ²−21BF ² =21 x ²−21(2x −30)² =−23 x ²+60x −450. (3)S=−23 x ²+60x −450=−23 (x −20)²+150. ∵a =−23 <0,15<20<30, ∴当x=20时,S 有最大值,最大值为150。

二次函数的最值问题(中考题)(含答案)

二次函数的最值问题(中考题)(含答案)

典型中考题(有关二次函数的最值)屠园实验 周前猛一、选择题1. 已知二次函数y=a (x-1)2+b 有最小值 –1,则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案:C2.当-2≤x≤l 时,二次函数 y=-(x-m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为( )A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案:C∵当-2≤x≤l 时,二次函数 y=-(x-m )2+m 2+1有最大值4, ∴二次函数在-2≤x≤l 上可能的取值是x=-2或x=1或x=m.当x=-2时,由 y=-(x-m )2+m 2+1解得m= - 74 ,2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时,它在-2≤x≤l 的最大值是6516,与题意不符. 当x=1时,由y=-(x-m )2+m 2+1解得m=2,此时y=-(x-2)2+5,它在-2≤x≤l 的最大值是4,与题意相符.当x= m 时,由 4=-(x-m )2+m 2+1解得m=当m=它在-2≤x≤l 的最大值是4,与题意相符;当,2≤x≤l 在x=1处取得,最大值小于4,与题意不符.综上所述,实数m 的值为2或. 故选C .3. 已知0≤x≤12,那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是( ) A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案:C解:∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2.∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.又∵0≤x≤12,∴当x=12时,y取最大值,y最大=-2(12-2)2+2=-2.5.故选:C.4、已知关于x的函数.下列结论:①存在函数,其图像经过(1,0)点;②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点;③当时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;④若函数有最大值,则最大值必为正数,若函数有最小值,则最小值必为负数。

真确的个数是()A,1个B、2个 C 3个D、4个答案:B分析:①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;③根据二次函数的增减性,即可作出判断;④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断.解:①真,将(1,0)代入可得:2k-(4k+1)-k+1=0,解得:k=0.运用方程思想;②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;③假,如k=1,b5-=2a4,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法;④真,当k=0时,函数无最大、最小值;k≠0时,y最=224ac-b24k+1=-4a8k,∴当k>0时,有最小值,最小值为负;当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.二、填空题:1、如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=l,在AB 上的一点P,使矩形PNDM有最大面积,则矩形PNDM的面积最大值是答案:122、已知直角三角形两直角边的和等于8,两直角边各为时,这个直角三角形的面积最大,最大面积是答案:4、4,8解:设直角三角形得一直角边为x,则,另一边长为8-x;设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时,S最大=8.及两直角边长都为4时,此直角三角形的面积最大,最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2(0x4)答案:2,0最小值为0,当4x-x2最大,即x=2最大为4,所以,当x=0时,y最大值为2,当x=2时,y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a (0≤x≤1)的最大值是3,那么a的值为答案:0解:二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1,当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大,当x=1时最大值为3,代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图,在△ABC 中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB 、AC 上分别取点D 、E ,使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分,则这样线段的最小长度 .三、解答题:1某产品第一季度每件成本为50元,第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本;⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元,试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元,第三季度每件的销售价比第二季度有所下降,若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于48元,设第三季度每件产品获得的利润为y 元,试求y 与x 的函数关系式,并利用函数图象与性质求y 的最大值(注:利润=销售价-成本)解:(1)()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x (3)(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ,∴2.00≤x而()()2150160x x y ---==1040502++-x x=()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时,利用二次函数的增减性,y 随x 的增大而增大,而2.00≤x , ∴当2.0=x 时,y 最大值=18(元)说明:当自变量取值范围为体体实数时,二次函数在抛物线顶点取得最值,而当自变量取值范围为某一区间时,二次函数的最值应注意下列两种情形:若抛物线顶点在该区间内,顶点的纵坐标就是函数的最值。

初中数学:利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)

初中数学:利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)

初中数学:利用二次函数解决面积最值问题练习(含答案)一、选择题1.关于二次函数y=x2+4x-7的最大(小)值,下列叙述正确的是( )A.当x=2时,函数有最大值B.当x=2时,函数有最小值C.当x=-2时,函数有最大值D.当x=-2时,函数有最小值2.如图K-6-1,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( )图K-6-1A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m23.如图K-6-2所示,C是线段AB上的一个动点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )图K-6-2A.当C是AB的中点时,S最小B.当C是AB的中点时,S最大C.当C为AB的三等分点时,S最小D.当C为AB的三等分点时,S最大4.如图K-6-3,在矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,∠ABE=45°,BE=DE,连结BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( )图K-6-3图K-6-4二、填空题5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象如图K-6-5所示,当-5≤x≤0时,函数y 的最大值是________,最小值是________.图K-6-56.已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30,则这个直角三角形的面积最大为________.7.如图K-6-6,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB 向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC 的面积最小.链接学习手册例2归纳总结图K-6-68.如图K-6-7①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P 运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是________.图K-6-7三、解答题9.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).(1)如图K-6-8①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.图K-6-810.如图K-6-9所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q 分别从点A,B同时出发,设运动时间为t s(0<t≤4),△PDQ的面积为S cm2,求S关于t的函数表达式,并求△PDQ面积的最小值.图K-6-911.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图K-6-10所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,y有最大值?最大值是多少?图K-6-10如图K-6-11①,抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(-1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,△PFE的面积最大?并求最大值的立方根.(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图K-6-11[课堂达标]1.[解析] D ∵y=x 2+4x -7=(x +2)2-11, ∴此抛物线的开口向上,顶点为最低点, ∴x =-2时,函数有最小值.2.[解析] C 设BC =x m,则AB =(16-x)m,矩形ABCD 的面积为y m 2, 根据题意,得y =(16-x)x =-x 2+16x =-(x -8)2+64,当x =8时,y max =64, 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2. 故选C.3.[解析] A 设AC =x,则BC =1-x, 所以S =x 2+(1-x)2=2x 2-2x +1,所以当x =--22×2=12时,S 有最小值. 4.解析] C 易得BE =DE =2 2,则EP =EQ =2 2-x,过点Q 作QF ⊥AD 于点F,则QF =222-x)=2-22x,∴y =12PD·QF=12x(2-22x)=-24x 2+x =-24(x -2)2+22. 5.[答案] 6 -3 6.[答案] 112.5[解析] 设一条直角边长为x,则另一条直角边长为30-x, 故S =12x(30-x)=-12(x -15)2+112.5.∵-12<0,∴当x =15时,S 最大=112.5.故答案为112.5.7.答案] 3[解析] 设点P,Q同时出发后经过的时间为t s,四边形APQC的面积为S cm2,则S=S△ABC -S△PBQ=12×12×6-12(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27.∴当t=3时,S取得最小值.故填3.8.[答案] 12[解析] 观察图象,可以获得以下信息:①点P在由B→C的过程中,BP的长度y随时间x 变化的关系为正比例函数,表现在图象上应该是一段线段;②点P在由C→A的过程中,BP的长度y随时间x变化的关系为二次函数,表现在图象上应该是抛物线的一部分;③当BP⊥AC时,BP 的长度最短,反映在图象上应为抛物线的最低点;④当点P到达点A时,此时BP=5,∴AB=AC =5,AC边上的高BP=4,此时,由勾股定理,得AP=CP=52-42=3,∴AC=6,∴S△ABC =12×4×6=12.9.解:(1)根据题意,得y=x·50-x2=-12(x-25)2+6252,∴当x=25时,y最大,即当饲养室长为25 m时,占地面积y最大.(2)根据题意,得y=x·50-(x-2)2=-12(x-26)2+338,∴当x=26时,y最大,即当饲养室长为26 m时,占地面积y最大.∵26-25=1≠2,∴小敏的说法不正确.10.解:由题意知AP =t cm,BQ =2t cm, ∴PB =(6-t)cm,QC =(8-2t)cm,∴S =48-4t -t(6-t)-3(8-2t)=t 2-4t +24=(t -2)2+20. ∵t =2在0<t≤4范围内, ∴当t =2时,S 取最小值,为20, 即△PDQ 面积的最小值为20 cm 2. 11.解:(1)∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 的面积的2倍,∴AE =2BE.设BE =a,则AE =2a, ∴8a +2x =80,∴a =-14x +10,2a =-12x +20,∴y =(-12x +20)x +(-14x +10)x=-34x 2+30x.∵a =-14x +10>0,∴x<40,则y =-34x 2+30x(0<x<40).(2)∵y=-34x 2+30x =-34(x -20)2+300(0<x<40),且二次项系数为-34<0,∴当x =20时,y 有最大值,最大值为300. [素养提升]解:(1)将点A(0,3),B(-1,0),D(2,3)分别代入y =ax 2+bx +c,得⎩⎨⎧c =3,a -b +c =0,4a +2b +c =3,解得⎩⎨⎧a =-1,b =2,c =3.∴抛物线的函数表达式为y =-x 2+2x +3.(2)∵直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分, ∴直线l 必过其对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32.由点A,D 的坐标知,抛物线的对称轴为直线x =1,∴E(3,0),设直线l 的函数表达式为y =kx +m,代入⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32和(3,0),得⎩⎨⎧12k +m =32,3k +m =0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-35,m =95.∴直线l 的函数表达式为y =-35x +95.由⎩⎨⎧y =-35x +95,y =-x 2+2x +3,可得x F=-25.如图①,过点P 作PH⊥x 轴于点H,交l 于点M,过点F 作FN⊥PH 于点N. ∵点P 的纵坐标为y P =-t 2+2t +3,点M 的纵坐标为y M =-35t +95,∴PM =y P -y M =-t 2+2t +3+35t -95=-t 2+135t +65,则S △PFE =S △PFM +S △PEM =12PM·FN+12PM ·EH =12PM·(FN+EH)=12(-t 2+135t +65)(3+25)=-17 10·(t-1310)2+289100×1710,∴当t=1310时,△PFE的面积最大,最大值的立方根为3289100×1710=1710.(3)如图②,过点P作PK⊥x轴于点K,过点A作AQ⊥PK于点Q,则在Rt△PKE中,PE2=PK2+KE2=(-t2+2t+3)2+(3-t)2;在Rt△AQP中,PA2=AQ2+PQ2=t2+(-t2+2t)2;在Rt△AOE中,AE2=OA2+OE2=18.由图可知∠PEA≠90°.①若∠PAE=90°,则PE2=PA2+AE2,∴(-t2+2t+3)2+(3-t)2=t2+(-t2+2t)2+18,即-t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去).②若∠APE=90°,则AE2=PE2+PA2,∴18=(-t2+2t+3)2+(3-t)2+t2+(-t2+2t)2,即(t-3)(t2-t-1)=0,解得t=3(舍去)或t=1+52或t=1-52<-25(舍去).综上可知,存在满足条件的点P,t的值为1或1+52.1。

2023年中考数学二轮专项练习:二次函数的最值(含答案)

2023年中考数学二轮专项练习:二次函数的最值(含答案)

2023年中考数学二轮专项练习:二次函数的最值一、单选题1.将y=―(x+4)2+1的图象向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得函数最大值为( )A.y=―2B.y=2C.y=―3D.y=3 2.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣2t2+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )A.3s B.4s C.5s D.10s 3.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=﹣0.2x2+1.5x﹣2,则最佳加工时间为( )A.3min B.3.75min C.5min D.7.5min 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为0,则( )A.a>0,b2-4ac=0B.a<0,b2-4ac>0C.a>0,b2-4ac<0 D.a<0,b2-4ac=05.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①abc<0;②当x=1时,函数有最大值.③当x=﹣1或x=3时,函数y的值都等于0.④4a+2b+c<0.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.46.如图,抛物线y1=a(x+1)2﹣5与抛物线y2=﹣a(x﹣1)2+5(a≠0)交于点A(2,4),B(m,﹣4),若无论x取任何值,y总取y1,y2中的最小值,则y的最大值是( )A.4B.5C.2D.17.将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线的函数表达式是( )A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2―1C.y=(x―2)2+1D.y=(x―2)2―18.抛物线y=2x2―12x+22的顶点是( )A.(3,―4)B.(―3,4)C.(3,4)D.(2,4) 9.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=―2(x―20)2+1558,由于某种原因,价格只能15≤x≤22,那么一周可获得最大利润是( )A.20B.1508C.1558D.1585 10.如图,已知抛物线y=a x2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(2,0),且对称轴为直线x=12,有下列结论:①abc>0;②a+b>0;③4a+2b+3c<0;④无论a,b,c取何值,抛物线一定经过(c2a,0);⑤4a m2+4bm―b≥0.其中正确结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.已知非负数a,b,c满足a+b=3且c﹣3a=﹣6,设y=a2+b+c的最大值为m,最小值为n,则m﹣n的值是( )A.16B.15C.9D.7 12.一块矩形木板ABCD,长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上,另一条直角边与AB边交于点E,三角板的直角顶点P在AD 边上移动(不含端点A、D),当线段BE最短时,AP的长为( )A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm二、填空题13.已知二次函数y=ax2+bx+c(0≤x≤5)的图象如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,y的取值范围为 .14.二次函数y=2x2﹣4x+1的最小值是 .15.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形,则围成矩形面积的最大值是 cm2.16.对于两个二次函数y1,y2,满足y1+y2=2x2+23x+9.当x=m时,二次函数y1的函数值为5,且二次函数y2有最小值3.请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式 (要求:写出的解析式的对称轴不能相同).17.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1)在抛物线y=x2+2bx+c上(1)c= (用含b的式子表示);),平移后的抛物线仍经过A(-1,1),则平(2)若将该抛物线向右平移t个单位(t≥32移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为 .18.已知函数y=x2+4x―5,当―3≤x≤0时,此函数的最大值是 ,最小值是 .三、综合题19.如图,二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴交于A(―1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求二次函数的解析式和图象的对称轴;(2)若该二次函数在m―1≤x≤m内有最大值2m,求m的值.20.已知二次函数y=(x-1)(x-m).(1)若二次函数的对称轴是直线x=3,求m的值.(2)当m>2,0≤x≤3时,二次函数的最大值是7,求函数表达式.21.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格调查,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示:(1)写出对称轴是 ,顶点坐标 ;(2)当x取 时,函数有最 值是 ;(3)直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标;(4)利用图象直接回答当x为何值时,函数值y大于0?23.已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.(1)如图①,当PA的长度等于 时,∠PAD=60°;当PA的长度等于 时,△PAD是等腰三角形;(2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为(a,b),试求2S1S3﹣S22的最大值,并求出此时a、b的值.24.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品,据市场调查分析,如果按每件50元销售,一周能售出500件,若销售单价每涨1元,每周销量就减少10件,设销售单价为x元(x>50),一周的销售量为y件.(1)写出y与x的函数关系式: (标明x的取值范围);(2)设一周的销售利润为S,写出S与x的函数关系式,并确定当单价是多少时利润最大;(3)在超市对该种商品投入不超过12000元的情况下,使得一周销售利润为8000元,销售单价应定为多少元?答案解析部分1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】D 11.【答案】D 12.【答案】C 13.【答案】0≤y≤914.【答案】﹣115.【答案】6416.【答案】y 2=(x+3+12)2+3;y 2=(x ﹣1―32)2+317.【答案】(1)2b(2)71618.【答案】―5;―919.【答案】(1)解:二次函数y =a x 2+bx +c 的图象经过A(―1,0),B(3,0),C(0,3),∴a ―b +c =09a +3b +c =0c =3,解得a =―1b =2c =3,∴二次函数的解析式为y =―x 2+2x +3,y =―x 2+2x +3=―(x ―1)2+4,∴图象的对称轴为直线x =1(2)解:当m ≤1时,∵抛物线开口向下,对称轴为直线x =1,∴当x ≤1时,y 随x 的增大而增大,∵二次函数在m―1≤x≤m内有最大值2m,∴当x=m时,取最大值,则―m2+2m+3=2m,解得m1=―3,m2=3(不符合题意,舍去);当m―1≥1,即m≥2时,∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,∴当x>1时,y随x的增大而减小,∵二次函数在m―1≤x≤m内有最大值2m,∴当x=m―1时,取最大值,则―(m―1)2+2(m―1)+3=2m,解得m1=0(不符合题意,舍去),m2=2;当m―1<1<m,即1<m<2时,∵抛物线y=―(x―1)2+4开口向下,对称轴为直线x=1,∴当x=1时,函数有最大值为4,∴2m=4,∴m=2(不符合题意,舍去),综上所述,m的值为2或―3.20.【答案】(1)解:令y=0,即0=(x―1)(x―m),得x1=1,x2=m 也即抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(m,0)∵(1,0),(m,0)关于抛物线对称轴对称,且对称轴是直线x=3∴1+m2=3,解得m=5(2)解:由(1)可知,抛物线的对称轴为直线x=1+m2,∵m>2,∴x=1+m2>3 2∵a=1>0,且0≤x≤3时,二次函数的最大值是7∴当x=0时y max=7∴把(0,7)带入抛物线表达式得7=(0―1)(0―m)∴m=7 21.【答案】(1)解:由题意得:y=90﹣3(x﹣50)化简得:y=﹣3x+240(2)解:由题意得:w=(x﹣40)y(x﹣40)(﹣3x+240)=﹣3x2+360x﹣9600(3)解:w=﹣3x2+360x﹣9600∵a=﹣3<0,∴抛物线开口向下.=60时,w有最大值.当x=―b2a又x<60,w随x的增大而增大.∴当x=55元时,w的最大值为1125元.∴当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得1125元的最大利润.22.【答案】(1)直线x=2;(2,2)(2)2;大;2(3)解:二次函数的图象与x轴有两个交点,交点坐标为(1,0)和(3,0)(4)解:当1<x<3时,函数值y大于023.【答案】(1)2 3;2 2或558(2)解:过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E,F延长FP交BC于点G,则PG⊥BC,∵P点坐标为(a,b),∴PE=b,PF=a,PG=4﹣a,在△PAD,△PAB及△PBC中,S1=2a,S2=2b,S3=8﹣2a,∵AB为直径,∴∠APB=90°,∴PE2=AE•BE,即b2=a(4﹣a),∴2S1S3﹣S22=4a(8﹣2a)﹣4b2=﹣4a2+16a=﹣4(a﹣2)2+16,∴当a=2时,b=2,2S1S3﹣S22有最大值1624.【答案】(1)y=1000-10x(50≤x≤100)(2)解:由题意得:S=(x―40)(1000―10x)=―10x2+1400x―40000=―10 (x―70)2+9000,∵―10<0 , 50 ⩽x ⩽100,∴当x=70时,S有最大值,最大值为9000,∴S与x的函数关系式为:S=―10x2+1400x―40000,当单价为70元时,利润最大;(3)解:由题意得:―10x2+1400x―40000=8000,解得:x1=60 , x2=80,当x=60时,成本=40×[500―10(60―50)]=16000>12000,不符合题意,当x=80时,成本=40×[500―10(80―50)]=8000<12000,符合题意,故销售单价应定为80元.。

初中数学试题分类汇编之二次函数最值问题专项训练5(解答 附答案)

初中数学试题分类汇编之二次函数最值问题专项训练5(解答   附答案)

初中数学试题分类汇编之二次函数最值问题专项训练5(解答 附答案) 1.如图所示,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(−1,0)、(0,−3),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、 B、 C三点,且它的对称轴为直线x=1.点D为直线BC下方的二次函数的图象上的一个动点(点D与B、C不重合),过点D作y轴的平行线交BC于点E.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)设点D的横坐标为m,用含m的代数式表示线段DE的长;

(3)求△DBC面积的最大值,并求出此时点D的坐标.

2.如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0) (1)求抛物线的解析式和对称轴;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)该抛物线有一点D(x,y),使得S△ABC=S△DBC,求点D的坐标. 3.在平面直角坐标系xOy中,若▱ABCD的对角线交点在原点O上,并且其中一条对角

线在坐标轴上,那么我们称▱ABCD为“中心平行四边形”,其中要求▱ABCD的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列. (1)如图1,点A(2,3). ①若点B(3,0),在图中画出▱ABCD,并直接写出▱ABCD的面积;

②若“中心平行四边形”▱ABCD是矩形,求▱ABCD的面积;

(2)如图2,点M(1,5),N(4,2),点A在线段MN上,若“中心平行四边形”▱ABCD

中有一组对边垂直于坐标轴,直接写出▱ABCD面积的取值范围.

4.某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出,每天可销售出6台.这

种品牌的彩电每台降价100x(x为整数)元,每天可以多销售出3x台. (1)降价后:每台彩电的利润是______元,每天销售彩电______台,设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围(保证商家不亏本); (2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少?此时,每台彩电的销售价是多少时,彩电的销售量和营业额均较高? 5.已知y是关于x的函数,若其函数图象经过点, Ptt,则称点P为函数图象上的“郡

中考数学题型专项训练:二次函数与最值问题(含答案)

中考数学题型专项训练:二次函数与最值问题(含答案)

二次函数与最值问题1.如图,二次函数y =-x 2+2(m -2)x +3的图象与x 、y 轴交于A 、B 、C 三点,其中A (3,0),抛物线的顶点为D . (Ⅰ)求m 的值及顶点D 的坐标;(Ⅱ)当a ≤x ≤b 时,函数y 的最小值为74,最大值为4,求a ,b 应满足的条件;(Ⅲ)在y 轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使得△PDC 是等腰三角形如果存在,求出符合条件的点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A (3,0)代入y =-x 2+2(m -2)x +3,得-9+6(m -2)+3=0, 解得m =3,则二次函数为y =-x 2+2x +3,∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴顶点D 的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=-x2+2x+3中,得74=-x2+2x+3,解得x1=-12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知-12≤a≤1.当a=-12时,1≤b≤25,当-12<a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3,∴点C 坐标为(0,3).当△PDC 是等腰三角形时,分三种情况: ①如解图①,当DC =DP 时,由抛物线的对称性知由抛物线的对称性知::点P 与点C 关于抛物线的对称轴x =1对称,∴点P 坐标为(2,3);②如解图②,当PC =PD 时,则线段CD 的垂直平分线l 与抛物线的交点即为所求的点P ,过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点H ,过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥DH 的延长线于点N , ∵HD =HC =1,PC =PD ,∴HP 是线段CD 的垂直平分线. ∵HD =HC ,HP ⊥CD , ∴HP 平分∠MHN ,∵PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥HD 的延长线于点N , ∴PM =PN .设P (m ,-m 2+2m +3), 则m =4-(-m 2+2m +3),解得m =253±, ∴点P 的坐标为(253-,255+)(解图中未标记此点)或(253+,255-);③如解图③,当CD =CP 时,点P 在y 轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P 的坐标为(2,3)或(253-,255+)或(253+,255-).图① 图② 图③ 第1题解图2.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过(m ,b ),(m +1,a )两点,(Ⅰ)若m =1,c =1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b ≥a ,求m 的取值范围;(Ⅲ)当b ≥a ,m <0时,二次函数y =ax 2+bx +c 有最大值-2,求a 的最大值. 解:(Ⅰ)∵m =1,c =1,∴抛物线的解析式为y =ax 2+bx +1(a <0)过(1,b ),(2,a )两点,∴1421a b ba b a ++=ìí++=î, 解得11a b =-ìí=î,∴抛物线的解析式为y =-x 2+x +1; (Ⅱ)依题意得22am bm c b a m b m c a ì++=ïí①,由②-①得b=-am,∵b≥a,∴-am≥a,∵a<0,∴m≥-1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=-am,代入①得am2-am2+c=b,∴c=b=-am,∵b≥a,m<0,∴-1≤m<0,∵二次函数y=ax2+bx+c有最大值-2,∴244ac ba-=-2,∴8a=m2+4m,∴8a = (m +2)2-4, ∵-1≤m <0,∴-3≤(m +2)2-4<0,∴a ≤-83,∴a 的最大值为-83.3.平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =mx 2-2m 2x +2交y 轴于A 点,交直线x =4于B 点.(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m 的代数式表示); (Ⅱ)若AB ∥x 轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A ,B 之间的部分任取一点P (x p ,y p ),一定满足y p ≤2,求m 的取值范围.解:(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x =2ba -=222m m--=m ,∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2-2m2x+2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+2;(Ⅲ)当m>0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2-2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m<0时,如解图②,m <0时,y p ≤2恒成立.综上所述,m 的取值范围为m <0或m ≥2.第3题解图4.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为(2,5),且与y 轴交于点C (0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若-1≤x ≤3,试求y 的取值范围;(Ⅲ)若M (n 2-4n +6,y 1)和N (-n 2+n +74,y 2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y 1与y 2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x-2)2+5, 把(0,1)代入得:a(0-2)2+5=1,a=-1,∴抛物线的表达式为:y=-(x-2)2+5=-x2+4x +1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=-1,对称轴为直线x =2,且-1≤x ≤3,∴当x=-1时,y有最小值,最小值为y=-(-1-2)2+5=-4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是-4≤y≤5;(Ⅲ)∵n 2-4n+6=(n-2)2+2≥2,2,--n2+n+74=-(n-12)2+2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(-n2+n+74,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n 2-n+94,y2), ∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,∴①当n2-4n+6>n2-n+94时,即n<45时,y1<y 2;②当n2-4n+6=n2-n+94时,即n=45时,y1=y2;③当n2-4n+6<n2-n+94时,即n>45时,y1>y2.5.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n 相交于两点,这两点的坐标分别是(0,-12)和(m-b, m2-mb +n),其中 a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个交点; (Ⅲ)当-1≤x≤1时,设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.解:(Ⅰ)把点(0,-12)代入抛物线,得:c=-12;(Ⅱ)把点(0,-12)代入直线得:n=-12.把点(m-b,m2-mb+n)代入抛物线,得: a(m-b)2+b(m-b)+c =m2-mb+n∵c=n=-1 2,∴a(m-b)2+b(m-b)=m2-mb,am2-2abm+ab2+bm-b2-m2+mb=0, (a -1)m2-(a-1)1)•2•2bm+(a -1)b2=0, (a-1)(m2-2bm+b2)=0,(a-1)(m-b)2=0,若m -b =0,则(m -b ,m 2-mb +n )与(0,-12)重合,与题意不合, ∴a =1,∵抛物线y =ax 2+bx +c=x 2+bx -12,b 2-4ac =b 2-4×(-12)=b 2+2>0, ∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴有两个交点;(Ⅲ)y =x 2+bx -12,顶点(-2b ,-12-24b ),设抛物线y =x 2+bx -12在x 轴上方与x 轴距离最大的点的纵坐标为H ,在x 轴下方与x 轴距离最大的点的纵坐标为h , ①当-2b <-1时,即b >2时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |=y 0=12+b >52,在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(-1,y 0),∴|h |=|y 0|=|12-b |=b -12>32,∴|H |>|h |,∴这时|y 0|的最小值大于52,②当-1≤-2b≤0时,即0≤b ≤2时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |=y 0=12+b ≥12,当b =0时等号成立, 在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(-2b ,-12-24b ),∴|h |=|-1-2b |=2+2b ≥1,当b =0时等号成立,∴这时|y 0|的最小值等于12, ③当0<-2b≤1,即-2≤b <0时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(-1,y 0), ∴|H |=y 0=|1+(-1)b -12|=|12-b |=12-b >12,在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(-2b ,-12-24b ), ∴|h |=|y 0|=|-12-24b |=2+24b >12,∴这时|y 0|的最小值大于12;④当1<-2b时,即b <-2时,在x 轴上方与x 轴距离最大的点是(-1,y 0),∴|H|=12-b>52,在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|h|=|12+b|=-(b+12)>32,∴|H|>|h|,∴这时|y0|的最小值大于52,综上所述:当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为12.6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x+3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2+mx+n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=4时,求n的值;(Ⅱ)设m=-2,当-3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n 的最小值;(Ⅲ)当-3≤x≤0时,若二次函数y=x2+mx+n时的最小值为-4,求m 、n 的值. 解:(Ⅰ)当y =x +3=0时,x =-3, ∴点A 的坐标为(-3,0).∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A , ∴0=9-3m +n ,即n =3m -9, ∴当m =4时,n =3m -9=3; (Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x =-2m,当m =-2时,对称轴为x =1,n =3m -9=-15, ∴当-3≤x ≤0时,y 随x 的增大而减小,∴当x =0时,二次函数y =x 2+mx +n 取得最小值,最小值为-15.(Ⅲ)①当对称轴-2m≤-3,即m ≥6时,在-3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而增大,当x =-3时,y 取得最小值0,不符合题意;②当-3<-2m <0,即0<m <6时,在-3≤x ≤0范围内,x =-2m 时,y取得最小值442m n -,∵二次函数最小值为-4, ∴244n m n -=493=0m n --+ìïíïî, 解得:2 3m n -ìíî==或1021m n ìíî==(舍去), ∴m =2,n =-3; ③当-2m ≥0,即m ≤0时,在-3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而减小,当x =0时,y 取最小值,即n =-4, ∴4930n m n --+ìïíïî==,解得:53m=4nì-ïíïî=(舍去).综上所述:m=2,n=-3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+c(c为常数)的对称轴为x=1.(Ⅰ)当c=-3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2-2x+c上,求y1的最小值;(Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点B左侧,且OA=12OB,求抛物线的解析式;(Ⅲ)当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.解:(Ⅰ)当c=-3时,抛物线为y=x 2-2x-3,∴抛物线开口向上,有最小值,∴y最小值=244ac ba-=2()(4324)1´´---=-4,∴y1的最小值为-4;(Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点,①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①,设A(m,0),∵OA=12OB,∴B(2m,0),∵二次函数y =x2-2x+c的对称轴为x=1,由抛物线的对称性得1-m=2m-1,解得m=2 3,∴A(23,0),∵点A在抛物线y=x2-2x+c上,∴0=49-43+c,解得c=89,此时抛物线的解析式为y=x2-2x+89;②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②, 设A(-n,0),∵OA=12OB,且点A 、B在原点的两侧,∴B(2n,0),由抛物线的对称性得n+1=2n -1,解得n=2,∴A(-2,0),∵点A在抛物线y =x2-2x+c上,∴0=4+4+c,解得c=-8,此时抛物线的解析式为y=x2-2x-8,综上,抛物线的解析式为y=x 2-2x+89或y=x2-2x-8;(Ⅲ)∵抛物线y =x2-2x+c与x轴有公共点,∴对于方程x2-2x+c=0,判别式b2-4ac=4-4c≥0, ∴c≤1.当x=-1时,y=3+c;当x=0时,y=c,∵抛物线的对称轴为x=1,且当-1<x<0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,∴3+c>0且c<0,解得-3<c<0,综上,当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为-3<c<0.第7题解图8.已知抛物线 y=(m-1)x2+(m-2)x-1与x轴交于A、B 两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m <0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y =-x +b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥-5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m -1)x 2+(m -2)x -1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -¹-+î-ìí>①②, 由①得m ≠1≠1, , 由②得m ≠0≠0,, ∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m -1)x 2+(m -2)x -1与x轴的交点,∴令y=0,即 (m-1)x2+(m-2)x-1=0.解得 x1=-1,x2=11m -.∵m<0,∴−1<11m-<0.∵点A在点B左侧,∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(11m-,0).∴OA=1,OB=11m-. ∵OA:OB=3:1,∴11m-=31.∴m=-2.∴抛物线的解析式为y=-3x2−4x−1.(Ⅲ)∵点C 是抛物线y =-3x 2−4x −1与y 轴的交点,∴点C 的坐标为(0,-1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y =-5,即-3x 2−4x −1=- 5. 解得x 1=32,x 2=-2.∴新图象经过点D (-2,-5). 当直线y =-x +b 经过D 点时,可得b =-7. 当直线y =-x +b 经过C 点时,可得b =-1.当直线y =-x +b (b >−1)与函数y =-3x 2−4x −1的图象仅有一个公共点P (x 0,y 0)时,得-x 0+b =-3x 02−4x 0−1.整理得 3x 02+3x 0+b +1=0.由32-12(b +1)=-12b -3=0,得b =−14.结合图象可知,符合题意的b 的取值范围为-7≤b <-1或b>−1.4第8题解图9.如图,已知c<0,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2>x1),与y轴交于点C.(Ⅰ)若x2=1,BC=5,求函数y=x2+bx+c的最小值;(Ⅱ)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP 交y轴于点M.若OA=2,求抛物线y=x2+bx+c顶点的纵OM坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图 解:(Ⅰ)∵x2=1, ∴OB=1,∵BC=5,∴OC=22BC OB-=2,∴C(0,-2),把B(1,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c,得:0=1+b-2, 解得:b=1,∴抛物线的解析式为:y=x2+x-2.转化为y=(x+12)2-94;∴函数y =x 2+bx +c 的最小值为-94;(Ⅱ)∵∠OAM +∠OBC =90°=90°,,∠OCB +∠OBC =90°=90°, , ∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°=90°, , ∴△AOM ∽△COB , ∴OAOC OM OB =, ∴OC =OA OM•OB =2OB ,∵c <0,x 2>0,∴-c =2x 2,即x 2=-2c .∵x 22+bx 2+c =0,将x 2=-2c 代入化简得:c =2b -4.抛物线的解析式为:y =x 2+bx +c ,其顶点坐标为(-2b ,244c b -). 令x =-2b,则b =-2x .y =244c b -=c -24b =2b -4-24b =-4x -4-x 2,满足点P 在线段BC 上的x 最小取值,使P 、C 、M 重合, 此时C (0,c ),B (-2c ,0),A (2c ,0),根据根与系数的关系,对于x 2+bx +c =0, -b =-2c +2c =32c , 由c =2b -4,解得c =-1, 所以b =-32c =32,x =-2b=-34;所以自变量x 的取值范围x ≥-34∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y =-x 2-4x -4(x ≥-3).。

2023年九年级人教版数学中考复习重难点专练 二次函数的最值(含答案)

2023年九年级人教版数学中考复习重难点专练 二次函数的最值(含答案)

2023年人教版数学中考复习重难点专练——二次函数的最值一、单选题1.二次函数的最小值是A .1-B .1C .2-D .2 2.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )A .有最小值0,有最大值3B .有最小值﹣1,有最大值0C .有最小值﹣1,有最大值3D .有最小值﹣1,无最大值 3.二次函数()215y x =--+,当m x n ≤≤且0mn <时,y 的最小值为2m ,最大值为2n ,则m n +的值为( )A .52B .2C .12D .32 4.二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )A .-2B .2C .-1D .1 5.二次函数 22y x x c =--+ 在 32x -≤≤ 的范围内有最小值 5- ,则 c 的值是( )A .6-B .2C .2-D .3 6.二次函数y=x 2﹣8x+1的最小值是( )A .4B .﹣15C .﹣4D .15 7.二次函数y=3(x ﹣1)2+2的最小值是( )A .2B .1C .﹣1D .﹣2 8.已知关于x 的二次函数y =x 2﹣2x ﹣2,当a≤x≤a+2时,函数有最大值1,则a 的值为( )A .﹣1或1B .1或﹣3C .﹣1或3D .3或﹣39.二次函数223y x mx =+-,当01x ≤≤时,若图象上的点到x 轴距离的最大值为4,则m 的值为( )A .-1或1B .-1或1或3C .1或3D .-1或3 10.已知二次函数y=(x-m+2)(x+m-4)+n ,其中m ,n 为常数,则( )A .m>1,n<0时,二次函数的最小值大于0B .m=1,n>0时,二次函数的最小值大于0C .m<1,n>0时,二次函数的最小值小于0D .m=1,n<0时,二次函数的最小值小于0二、填空题11.二次函数 22y x =-+ 的最大值为 .12.二次函数y=x 2+(2m+1)x+(m 2﹣1)有最小值﹣2,则m= . 13.二次函数y=2x 2﹣2x+6的最小值是 .14.如图,在平面直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别为 ()11--, 、 ()21-, ,抛物线 ()20y ax bx c a =++≠ 的顶点P 在线段 AB 上,与x 轴相交于C 、D 两点,设点C 、D 的横坐标分别为 1x 、 2x ,且 12x x < .若 1x 的最小值是 2- ,则 2x 的最大值是 .15.已知二次函数y=x 2﹣2mx (m 为常数),当﹣2≤x≤1时,函数值y 的最小值为﹣2,则m 的值为 .三、解答题16.用总长为60的篱笆围成的矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化,L 是多少时,场地的面积S 最大?17.已知抛物线l 1的最高点为P (3,4),且经过点A (0,1),求l 1的解析式. 18.如图,二次函数的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B ,以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ,点P 是x 轴上一动点,连接DP ,过点P 作DP 的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标:(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.19.四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=10,当AC,BD的长是多少时,四边形的面积最大?20.甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球,已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在离地面1米的C处发出一球,乙在离地面1.5米的D处成功击球,球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米,现以A为原点,直线AB为x轴,建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.答案解析部分1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】D11.【答案】212.【答案】34 13.【答案】9214.【答案】315.【答案】32 或-16.【答案】解:由题意S=,当 时,S 有最大值.17.【答案】解:∵抛物线l 1的最高点为P (3,4),∴设抛物线的解析式为y=a (x ﹣3)2+4,把点(0,1)代入得,1=a (0﹣3)2+4,解得,a=﹣ 13, ∴抛物线的解析式为y=﹣13 (x ﹣3)2+4 18.【答案】(1)(﹣3,4);(2)设PA=t ,OE=l由△DAP=△POE=△DPE=90°得△DAP△△POE∴∴l=﹣∴当t=时,l有最大值即P为AO中点时,OE的最大值为;(3)存在.①点P点在y轴左侧时,P点的坐标为(﹣4,0)由△PAD△△OEG得OE=PA=1∴OP=OA+PA=4∵△ADG△△OEG∴AG:GO=AD:OE=4:1∴AG=,∴重叠部分的面积=;②当P点在y轴右侧时,P点的坐标为(4,0),此时重叠部分的面积为.19.【答案】解:设四边形ABCD的面积为y,AC的长为x,BD的长为(10-x)∴根据题意可得,y=102x x-()=-12x2+5x=-12(x-5)2+12.5根据题意可得,当x=5时,四边形的面积最大此时AC=BD=520.【答案】解:由题意得:C(0,1),D(6,1.5),抛物线的对称轴为直线x=4,设抛物线的表达式为:y=ax2+bx+1(a≠0),则据题意得:421.53661baa b⎧-=⎪⎨⎪=++⎩,解得:12413ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为:y=﹣124x2+13x+1,∵y=﹣124(x﹣4)2+53,∴飞行的最高高度为53米。

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)一、综合题1.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m.(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是()(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是(),求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.2.如图,抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点,正半轴相交于B点,与 y 轴相交于C 点.(1)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线 BC 对称的点的坐标;(2)在(1)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.3.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.4.已知抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)的顶点为M,经过原点O且与x轴另一交点为A.(1)求点A的坐标;(2)若△AMO为等腰直角三角形,求抛物线C1的解析式;(3)现将抛物线C1绕着点P(m,0)旋转180°后得到抛物线C2,若抛物线C2的顶点为N,当b=1,且顶点N在抛物线C1上时,求m的值.5.如图,抛物线G:y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P,y P),抛物线G与直线l:x=3交于点Q.(1)x P=,y P=(分别用含m的式子表示);y P与x P的函数关系式为;(2)求点Q的纵坐标y Q(用含m的式子表示),并求y Q的最大值;(3)随m的变化,抛物线G会在直角坐标系中移动,求顶点P在y轴与l之间移动(含y轴与l)的路径的长.6.如图,抛物线的顶点D的坐标为(﹣1,4),抛物线与x轴相交于A.B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,已知点E(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得△CEF的周长最小,如果存在,求出点F的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)如图2,连接AD,若点P是线段OC上的一动点,过点P作线段AD的垂线,在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N,当MN最大时,求△POM的面积.7.已知:如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ΔABO的中线AC与y轴交于点C,且⊙M经过O,A,C三点.(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与⊙M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE∥y轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.当EF=4√5时,求点P的坐标.9.如图1所示,已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点(A左B右),与y轴交于C点,E为抛物线上一点,且C、E关于抛物线的对称轴对称,作直线AE.(1)求直线AE的解析式;(2)在图2中,若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F,则点F的坐标为(直接填空);(3)点P为抛物线上一动点,过点P作直线PG与y轴平行,交直线AE于点G,设点P的横坐标为m,当S△PGE∶S△BGE=2∶3时,直接写出所有符合条件的m值,不必说明理由.10.综合与探究如图,直线y=−23x+4与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=ax2+43x+c经过B,C两点,与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为点D.抛物线的对称轴与x轴交于点E.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)点M是线段BC上一动点,连接DM并延长交x轴交于点F,当FM:FD=1:4时,求点M的坐标;(3)点P是该抛物线上的一动点,设点P的横坐标为m,试判断是否存在这样的点P,使∠PAB+∠BCO=90°,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.11.如图,点A,B在函数y=14x2的图像上.已知A,B的横坐标分别为-2、4,直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB.(1)求直线AB的函数表达式;(2)求ΔAOB的面积;(3)若函数y=14x2的图像上存在点P,使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半,则这样的点P共有个.12.如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y 轴正半轴交于点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.(1)求一次函数解析式;(2)求顶点P的坐标;,求点M (3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且tan∠OAM=32坐标;(4)设抛物线的对称轴交x轴于点E,连接AP交y轴于点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,连接QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.13.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,点D是拋物线在x轴上方,对称轴右侧上的一个动点,设点D的横坐标为m.连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的解析式;(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时,求m的值;2(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(x+m)(x−3m)图象的顶点为M,图象交x轴于A、14.如图,y关于x的二次函数y=−√33mB两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(−3,0),连接ED.(m>0)(1)写出A、B、D三点的坐标;(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系;(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15.在图1中,抛物线y=ax2+2ax﹣8(a≠0)与x轴交于点A、B(点A在B左侧),与y轴负半轴交于点C,OC=4OB,连接AC,抛物线的对称轴交x轴于点E,交AC于点F.(1)AB的长为,a的值为;(2)图2中,直线ON分别交EF、抛物线于点M、N,OM=√17,连接NC.①求直线ON的解析式;②证明:NC∥AB;③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似,且BF为△BFP的直角边,请直接写出点P坐标.16.如图,直线AB的解析式为y=−43x+4,抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴交于点C(6,0),点P是抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),当点P在第一象限内的抛物线上时,求△ABP面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点A作直线l//x轴,过点P作PH⊥l于点H,将△APH绕点A顺时针旋转,使点H的对应点恰好落在直线AB上,同时恰好落在坐标轴上,请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1.【答案】(1)解:方案一:点B的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+5)(x−5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15(x+5)(x−5)方案2:点B的坐标为(10,0).设抛物线的解析式为:y=ax(x−10).由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15x(x−10);方案3:点B的坐标为(5,−5),由题意可以得到抛物线的顶点为(0,0).设抛物线的解析式为:y=ax2,把点B的坐标(5,−5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15x2;(2)解:方案一:由题意:把x=3代入y=−15(x+5)(x−5),解得:y=165=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m方案二:由题意:把x=2代入y=−15x(x−10)解得:y=165=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m.方案三:由题意:把x=3代入y=−15x2解得:y=−95= −1.8,∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m.2.【答案】(1)解: 将点D( m,m+1 )代入y=−x2+3x+4中,得:m+1=−m2+3m+4,解得:m=−1或3,∵点D在第一象限,∴m=3,∴点D的坐标为(3,4);令y=0,则−x2+3x+4=0,解得:x1=−1,x2=4,令x=0,则y=4,由题意得A(-1,0),B(4,0),C(0,4),∴OC=OB=4,BC= 4√2,CD=3,∵点C、点D的纵坐标相等,∴CD∥AB,∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°,∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上.根据对称的性质知:CD=CE=3 ,∴OE=OC−CE=4−3=1,∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0,1);(2)解: 作PF⊥AB于F,DG⊥BC于G,由(1)知OB=OC=4,∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBF.∵CD=3,∠DCB=45°,∴CG=DG= 3√22,∵BC= 4√2,∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t−4.∴P(−5t+4,3t),∵P点在抛物线上,∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得:t=2225或t=0(舍去).∴点P的坐标为( −25,6625).3.【答案】(1)解:在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO= OBOA=3,∴OB=3OA=3.∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3,解得: {a =−1b =−2c =3.∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3(2)解:①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3,∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1,∴E 点的坐标为(﹣1,0).如图, 当∠CEF=90°时,△CEF ∽△COD .此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点,P (﹣1,4);当∠CFE=90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,则△EFC ∽△EMP . ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ,∴MP=3EM .∵P 的横坐标为t ,∴P (t ,﹣t 2﹣2t+3).∵P 在第二象限,∴PM=﹣t 2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t ,∴﹣t 2﹣2t+3=﹣(t ﹣1)(t+3),解得:t 1=﹣2,t 2=﹣3(因为P 与C 重合,所以舍去),∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3.∴P (﹣2,3).∴当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3); ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ,由题意,得{−3k +b =0b =1 ,解得: {k =13b =1,∴直线CD 的解析式为:y= 13 x+1.设PM 与CD 的交点为N ,则点N 的坐标为(t , 13 t+1),∴NM= 13 t+1.∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣( 13 t+1)=﹣t 2﹣ 73t +2. ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ,∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN (CM+OM )= 12 PN •OC= 12 ×3(﹣t 2﹣ 73t +2)=﹣ 32 (t+76)2+ 12124 ,∴当t=﹣ 76 时,S △PCD 的最大值为 12124 . 4.【答案】(1)解:∵抛物线C 1:y=ax 2+4ax+4a+b (a ≠0,b >0)经过原点O , ∴0=4a+b ,∴当ax 2+4ax+4a+b=0时,则ax 2+4ax=0, 解得:x=0或﹣4,∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是(﹣4,0)(2)解:∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a≠0,b>0),(如图1)∴顶点M坐标为(﹣2,b),∵△AMO为等腰直角三角形,∴b=2,∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,∴a(0+2)2+2=0,解得:a=﹣12,∴抛物线C1:y=﹣12x2﹣2x(3)解:∵b=1,抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,(如图2)∴a=﹣14,∴y=﹣14(x+2)2+1=﹣14x2﹣x,设N(n,﹣1),又因为点P(m,0),∴n﹣m=m+2,∴n=2m+2即点N的坐标是(2m+2,﹣1),∵顶点N在抛物线C1上,∴﹣1=﹣14(2m+2+2)2+1,解得:m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5.【答案】(1)m;m+3;y P=x P+3(2)解:∵抛物线 G :y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l :x =3 交于点 Q , ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 , 得 y Q =−m 2+7m −6 .∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254,∴当 m =72 时, y Q 的最大值为 254 .(3)解:∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1:y =x +3 运动, 如图,设直线 l 1:y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ,线段 BP 1 的长即为点 P 路径长.把 x B =0 , x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0,3) ,点 P 1(3,6) , 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴,垂足为M , 则 P 1M =3,BM =3 , 在 Rt △BMP 1 中, BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ,∴点 P 路径长为 3√2 .6.【答案】(1)解:设抛物线的表达式为:y =a (x+1)2+4, 把x =0,y =3代入得:3=a (0+1)2+4,解得:a =﹣1 ∴抛物线的表达式为y =﹣(x+1)2+4=﹣x 2﹣2x+3(2)解:存在.如图1,作C 关于对称轴的对称点C ′,连接EC ′交对称轴于F ,此时CF+EF的值最小,则△CEF的周长最小.∵C(0,3),∴C′(﹣2,3),易得C′E的解析式为:y=﹣3x﹣3,当x=﹣1时,y=﹣3×(﹣1)﹣3=0,∴F(﹣1,0)(3)解:如图2,∵A(﹣3,0),D(﹣1,4),易得AD的解析式为:y=2x+6,过点D作DH⊥x轴于H,过点M作MG⊥x轴交AD于G,AH=﹣1﹣(﹣3)=2,DH=4,∴AD=√AH2+DH2=√22+42=2√5,设M(m,﹣m2﹣2m+3),则G(m,2m+6),(﹣3≤m≤﹣1),∴MG=(﹣m2﹣2m+3)﹣(2m+6)=﹣m2﹣4m﹣3,由题易知△MNG∽△AHD,∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m =﹣2时,MN 有最大值;此时M (﹣2,3),又∵C (0,3),连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM =∠HAD ,∠MCP =∠DHA =90°, ∴△MCP ∽△DHA , ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC =1∴OP =OC ﹣PG =3﹣1=2, ∴S △POM = 12×2×2 =2,7.【答案】(1)解:由题意,得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为:y=﹣ 12 x 2+x+4(2)解:设点Q 的坐标为(m ,0),过点E 作EG ⊥x 轴于点G .由﹣ 12 x 2+x+4=0, 得x 1=﹣2,x 2=4∴点B 的坐标为(﹣2,0) ∴AB=6,BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 (m+2)(4﹣2m+43)= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 (m ﹣1)2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时,S △CQE 有最大值3,此时Q (1,0) (3)解:存在.在△ODF 中. (ⅰ)若DO=DF ∵A (4,0),D (2,0) ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中,OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度.此时,点F 的坐标为(2,2) 由﹣ 12 x 2+x+4=2, 得x 1=1+ √5 ,x 2=1﹣ √5此时,点P 的坐标为:P (1+ √5 ,2)或P (1﹣ √5 ,2). (ⅱ)若FO=FD ,过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得:OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3∴F(1,3)由﹣12x2+x+4=3,得x1=1+ √3,x2=1﹣√3此时,点P的坐标为:P(1+ √3,3)或P(1﹣√3,3).(ⅲ)若OD=OF∵OA=OC=4,且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2,而OF=OD=2 <2√2,与OF≥2 √2矛盾,所以AC上不存在点使得OF=OD=2,此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为:P(1+ √5,2)或P(1﹣√5,2)或P(1+ √3,3)或P(1﹣√3,3)8.【答案】(1)解:∵C为OB的中点,点B(0,4),∴点C(0,2),又∵M为AC中点,点A(4,0),0+4 2=2,2+02=1,∴点M(2,1)(2)解:∵⊙P与直线AD,则∠CAD=90°,设:∠CAO=α,则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α,tan∠CAO=OCOA =12=tanα,则sinα=√5,cosα=√5,AC=√10,则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10,则点D(0,−8),设直线AD的解析式为:y=mx+n,将点A、D的坐标分别代入得:{0=4m+n−8=n,解得:{m=2n=−8,所以直线AD的表达式为:y=2x−8(3)解:设抛物线的表达式为:y=a(x−2)2+1,将点B坐标代入得:4=a(0-2)2+1,解得:a=34,故抛物线的表达式为:y=34x2−3x+4,过点P作PH⊥EF,则EH=12EF=2√5,cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5,解得:PE=5,设点P(x,34x2−3x+4),则点E(x,2x−8),则PE=34x2−3x+4−2x+8=5,解得x=143或2(舍去2),则点P(143,193) .9.【答案】(1)解:∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5,∴该抛物线的对称轴为:x=−42×(−1)=2,令y=−x2+4x+5中x=0,则y=5,∴点C的坐标为(0,5),∵C、E关于抛物线的对称轴对称,∴点E的坐标为(2×2−0,5),即(4,5),令y =−x 2+4x +5中y =0,则−x 2+4x +5=0, 解得:x 1=−1,x 2=5,∴点A 的坐标为(−1,0)、点B 的坐标为(5,0), 设直线AE 的解析式为y =kx +b ,将点A(−1,0)、E(4,5)代入y =kx +b 中, 得:{0=−k +b 5=4k +b ,解得:{k =1b =1,∴直线AE 的解析式为y =x +1; (2)(6,-7)(3)解:符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10.【答案】(1)解:当x =0时,得y =4, ∴点C 的坐标为(0,4),当y =0时,得−23x +4=0,解得:x =6, ∴点B 的坐标为(6,0), 将B ,C 两点坐标代入,得{36a +43×6+c =0,c =4. 解,得{a =−13,c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2,163). (2)解:作MG ⊥x 轴于点G ,∵∠MFG =∠DFE ,∠MGF =∠DEF =90°, ∴ΔMGF ∽ΔDEF .∴FM FD =MG DE.∴14=MG163.∴MG =43当y =43时,43=−23x +4 ∴x =4.∴点M 的坐标为(4,43).(3)解:∵∠PAB +∠BCO =90°,∠CBO +∠BCO =90°, ∴∠PAB =∠CBO ,∵点B 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(0,4), ∴tan ∠CBO =46=23, ∴tan ∠PAB =23, 过点P 作PQ ⊥AB , 当点P 在x 轴上方时,−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意, 当点P 在x 轴下方时,13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意, ∴存在,m 的值为4或8.11.【答案】(1)解:∵A ,B 是抛物线 y =14x 2 上的两点,∴当 x =−2 时, y =14×(−2)2=1 ;当 x =4 时, y =14×42=4 ∴点A 的坐标为(-2,1),点B 的坐标为(4,4) 设直线AB 的解析式为 y =kx +b , 把A ,B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得, {k =12b =2所以,直线AB 的解析式为: y =12x +2 ; (2)解:对于直线AB : y =12x +2 当 x =0 时, y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 (3)412.【答案】(1)解:∵A (﹣1,0), ∴OA=1 ∵OB=3OA , ∴B (0,3)∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为:y=3x+3(2)解:∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c (a <0)的图象与x 轴负半轴交于点A (﹣1,0),与y 轴正半轴交于点B (0,3), ∴c=3,a=﹣1,∴二次函数的解析式为:y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P (1,4) (3)解:设平移后的直线的解析式为:y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P (1,4), ∴m=1,∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1,且 设M (x ,3x+1)①当点M 在x 轴上方时,有 3x+1x+1=32 ,∴x =13 , ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时,有 −3x+1x+1=32 ,∴x =−59 , ∴M 2(−59 , −23)(4)解:作点D 关于直线x=1的对称点D ′,过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N , 当﹣x 2+2x+3=0时,解得,x=﹣1或x=3, ∴A (﹣1,0), P 点坐标为(1,4),则可得PD 解析式为:y=2x+2, 根据ND ′⊥PD ,设ND ′解析式为y=kx+b , 则k=﹣ 12 ,将D ′(2,2)代入即可求出b 的值, 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3,将两函数解析式组成方程组得: {y =−12x +3y =2x +2 ,解得 {x =25y =145 ,故N ( 25 , 145 ),由两点间的距离公式:d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55, ∴所求最小值为4√5513.【答案】(1)解:把A (-1,0),B (2,0)代入抛物线解析式得: {a −b +4=04a +2b +4=0,解得: {a =−2b =2∴抛物线的解析式为: y =−2x 2+2x +4 (2)解:如图,连接OD ,由 y =−2x 2+2x +4 可得: 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ,C (0,4)∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ,A (-1,0),B (2,0) ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ,∴4m 2−8m +3=0解得: m 1=12 , m 2=32 ,当 m 1=12 时,点在对称轴上,不合题意,舍去,所以取 m 2=32 , 综上, m =32(3)解: M 1(0,0) , M 2(4,0) , M 3(√142,0) , M 4(−√142,0)14.【答案】(1)解:令y =0,则−√33m (x +m)(x −3m)=0,解得x 1=−m ,x 2=3m ;令x =0,则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ,0),B(3m ,0),D(0,√3m).(2)解:设直线ED 的解析式为y =kx +b ,将E(−3,0),D(0,√3m)代入得:{−3k +b =0b =√3m解得,k =√33m ,b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式:y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ,4√33m).代入y =√33mx +√3m 得:m 2=m∵m >0,∴m =1.所以,当m =1时,M 点在直线DE 上. 连接CD ,C 为AB 中点,C 点坐标为C(m ,0). ∵OD =√3,OC =1, ∴CD =2,D 点在圆上又∵OE =3,DE 2=OD 2+OE 2=12, EC 2=16,CD 2=4, ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.(3)解:当0<m <3时,S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时,S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右:15.【答案】(1)6;1(2)解:①由抛物线的表达式知,抛物线的对称轴为x=﹣1,故设点M的坐标为(﹣1,m),则OM=12+m2=(√17)2,解得m=4(舍去)或﹣4,故点M的坐标为(﹣1,﹣4),由点O、M的坐标得,直线OM(即ON)的表达式为y=4x②,故答案为y=4x;②联立①②并解得{x=−2y=−8,故点N(﹣2,﹣8),∵点C、N的纵坐标相同,故NC∥x轴,即NC∥AB;③当∠BFP为直角时,由A(﹣4,0),C(0,-8)可求AC解析式为y=-2x﹣8,把x=-1,代入y=-2x﹣8得,y=-6,点F的坐标为:(-1,-6),由点F、B的坐标得,直线BF的表达式为y=2x﹣4,当x=﹣2时,y=2x﹣4=﹣8,故点N在直线BF上,连接FN,过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K,由直线BF 的表达式知,tan ∠BNK =2,则tan ∠FKN = 12 , 故设直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x+t , 将点F 的坐标代入上式并解得t =﹣ 132 ,则直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x ﹣ 132 ,故设点P 的坐标为(m ,﹣ 12 m ﹣ 132 ), 在Rt △AOC 中,tan ∠ACO = AOCO = 12 ,则tan ∠OCA =2, ∵△BFP 与△AOC 相似, 故∠FBP =∠ACO 或∠OAC ,则tan ∠FBP =tan ∠ACO 或tan ∠OAC ,即tan ∠FBP = 12 或2, 由点B 、F 的坐标得:BF = √32+62=3√5 , 则PF =BFtan ∠FBP =3√52或6 √5 ,由点P 、F 的坐标得:PF 2=(m+1)2+(﹣ 12 m ﹣ 132 +6)2=( 3√52)2或(6 √5 )2, 解得m =2或﹣4(舍去)或11或﹣13(舍去), 故点P 的坐标为(11,﹣12)或(2,﹣ 152 ); 当∠PBF 为直角时,过点B 作BP ⊥BF ,同理可求直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x+1,故设点P 的坐标为(m ,﹣ 12 m ﹣1),同理可得,PB =BFtan ∠FBP =3√52或6 √5 ,由点P 、B 的坐标得:PB 2=(m-2)2+(﹣ 12 m+1)2=(3√52)2或(6 √5 )2,解得m=-1(舍去)或5或14或﹣10(舍去),点P的坐标为(5,﹣32)或(14,-6);综上,点P的坐标为(11,﹣12)或(2,﹣152)或(5,﹣32)或(14,-6);16.【答案】(1)解:当x=0时,y=−43x+4=4,则A(0,4),把A(0,4),C(6,0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4,解得{b=43c=4,∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4;(2)连接OP,设P(m,−13m2+43m+4),当y=0时,−43x+4=0,解得x=3,则B(3,0),S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m,=−12(m−4)2+8,当m=4时,△ABP面积有最大值,最大值为8,此时P点坐标为(4,4);(3)在Rt△OAB中,AB=√32+42=5,当点P′落在x轴上,如图2,∵△APH绕点A顺时针旋转,使点H的对应点恰好落在直线AB上,同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m,AH′=AH=m,∠P′H′A=∠PHA=90∘,∵∠P′BH′=∠ABO,∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ,∴P ′H ′ : OA =BH ′ :OB ,即 (13m 2−43m) : 4=BH ′ :3, ∴BH ′=14m 2−m , ∵AH ′+BH ′=AB ,∴m +14m 2−m =5 ,解得 m 1=2√5 , m 2=−2√5( 舍去 ) ,此时P 点坐标为 (2√5,−8+8√53) ; 当点 P ′ 落在y 轴上,如图3,同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m , AH ′=AH =m , ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ , ∵∠P ′AH ′=∠BAO , ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ,∴P ′H ′ : OB =AH ′ :AO ,即 (13m 2−43m) : 3=m :4, 整理得 4m 2−25m =0 ,解得 m 1=254, m 2=0( 舍去 ) ,此时P 点坐标为 (254,−4348) ; 综上所述,P 点坐标为 (2√5,−8+8√53) 或 (254,−4348) ;。

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中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)一、单选题1.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论①abc>0;②b−a>c;③4a+2b+c>0;④3a>−c;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有()A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=−2,并与x轴交于A,B两点,若OA=5OB,则下列结论中:①abc>0;②(a+c)2−b2=0;③9a+4c<0;④若m为任意实数,则am2+bm+2b≥4a,正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.已知二次函数y=−x2+2x+c,当−1≤x≤2时,函数的最大值与最小值的差为()A.1B.2C.3D.44.关于二次函数y=x2−4x−4的说法,正确的是()A.最大值为−4B.最小值为−4C.最大值为−8D.最小值为−85.在平面直角坐标系中,点P的坐标(0,2),点Q的坐标为(t−1,−34t−94)(t为实数),当PQ长取得最小值时,t的值为()A.−75B.−125C.3D.46.已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1(m为常数),当自变量x的值满足1≤x≤3时,与其对应的函数值y的最小值为5,则m的值为()A.1或﹣5B.﹣1或5C.1或﹣3D.1或37.已知二次函数y=2(x−1)2−3,则下列说法正确的是()A.y有最小值0,有最大值-3B.y有最小值-3,无最大值C.y有最小值-1,有最大值-3D.y有最小值-3,有最大值08.当a﹣1≤x≤a时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为()A.1B.2C.1或2D.0或39.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表:下列结论错误的是()x-5-4-202y60-6-46B.若点(-8,y1),点(8,y2)在二次函数图象上,则y1<y2C.当x=-2时,函数值最小,最小值为-6D.方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根.10.抛物线y=2x2,y=﹣2x2,y=x2共有的性质是()A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y的值随x的增大而减小11.已知二次函数y=−x2+mx+m(m为常数),当−2≤x≤4时,y的最大值是15,则m 的值是()A.-10和6B.-19和315C.6和315D.-19和612.小明在研究某二次函数y=ax2+bx+c时列表如下:x…-2-1023…y=ax2+bx+c…116336…A.有最大值11,有最小值3B.有最大值11,有最小值2C.有最大值6,有最小值3D.有最大值6,有最小值2二、填空题13.如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是cm2.14.若把函数y=x的图象用E(x,x)记,函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记,……则E(x,x2−2x+3)图象上的最低点是.15.抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1,则该函数的最小值是16.当2≤x≤5时,二次函数y=﹣(x﹣1)2+2的最大值为.17.二次函数y=x2+4x+5(﹣3≤x≤0)的最小值是.18.当x=0时,函数y=2x2+bx+c有最小值1,则b-c=.三、综合题19.抛物线y=−x2+bx+c过点(0,-5)和(2,1).(1)求b,c的值;(2)当x为何值时,y有最大值?20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−2交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA= 2OC=8OB,点P是第三象限内抛物线上的一动点.(1)求此抛物线的表达式;(2)连接AC,求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.21.在平面直角坐标系中,一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.(1)当m=4时,求n的值;(2)设m=﹣2,当﹣3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n的最小值;(3)当﹣3≤x≤0时,若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4,求m、n的值.22.重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工,计划10年内解决低收入人群的住房问题,前6年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米),与时间x的关系是y= 16x+5,(x单位:年,1≤x≤6且x为整数);后4年,每年竣工投入使用的公租房面积y(单位:百万平方米),与时间x的关系是y=- 18x+194(x单位:年,7≤x≤10且x为整数).假设每年的公租房全部出租完.另外,随着物价上涨等因素的影响,每年的租金也随之上调,预计,第x年投入使用的公租房的租金z(单位:元/m2)与时间x(单位:年,1≤x≤10且x为整数)满足一次函数关系如下表:z(元/m2)5052545658…x(年)12345…(2)求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多,最多为多少百万元;(3)若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题,政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下,要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%,这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%,求a的值.(参考数据:√315≈17.7,√319≈17.8,√321≈17.9)23.将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎么剪?(2)设这两个正方形的面积之和为Scm2,当两段铁丝长度分别为何值时,S有最小值?24.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利50元,为了扩大销售、增加利润,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1600元?(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润最大?最大为多少元?参考答案1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】C10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】3;1814.【答案】(1,2)15.【答案】116.【答案】117.【答案】118.【答案】-119.【答案】(1)解:∵抛物线y=−x2+bx+c过点(0,-5)和(2,1)∴{c=−5−4+2b+c=1解得{b=5c=−5∴b, c的值分别为5, -5.(2)解:a= -1 ,b=5∴当x= −b2a=52时y有最大值.20.【答案】(1)解:在抛物线y=ax2+bx−2中令x=0,则y=−2∴点C的坐标为(0,−2)∴OC=2∵OA=2OC=8OB∴OA=4,OB=1 2∴点A 为(−4,0),点B 为(12,0)则把点A 、B 代入解析式,得{16a −4b −2=014a +12b −2=0解得:{a =1b =72∴y =x 2+72x −2;(2)解:设直线AC 的解析式为y =mx +n ,则 把点A 、C 代入,得{−4m +n =0n =−2解得:{m =−12n =−2∴直线AC 的解析式为y =−12x −2;过点P 作PD∥y 轴,交AC 于点D ,如图:设点P 为(x ,x 2+72x −2),则点D 为(x ,−12x −2)∴PD =−12x −2−(x 2+72x −2)=−x 2−4x∵OA=4∴S ΔAPC =12PD •OA =12×(−x 2−4x)×4=−2x 2−8x ∴S ΔAPC =−2(x +2)2+8∴当x =−2时,S ΔAPC 取最大值8;∴x 2+72x −2=(−2)2+72×(−2)−2=−5∴点P 的坐标为(−2,−5). ∵点P 在第三象限的抛物线上 ∴点P 的坐标为(−2,−5)满足条件.21.【答案】(1)解:当y=x+3=0时,x=﹣3∴点A 的坐标为(﹣3,0).∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ∴0=9﹣3m+n ,即n=3m ﹣9 ∴当m=4时,n=3m ﹣9=3(2)解:抛物线的对称轴为直线x=﹣ m 2当m=﹣2时,对称轴为x=1,n=3m ﹣9=﹣15 ∴当﹣3≤x≤0时,y 随x 的增大而减小∴当x=0时,二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣15(3)解:①当对称轴﹣ m2 ≤﹣3,即m≥6时,如图1所示.在﹣3≤x≤0中,y=x 2+mx+n 的最小值为0 ∴此情况不合题意;②当﹣3<﹣ m2 <0,即0<m <6时,如图2有 {4n−m 24n=−49−3m +n =0解得: {m =2n =−3 或 {m =10n =21(舍去)∴m=2、n=﹣3;③当﹣ m2 ≥0,即m≤0时,如图3有 {n =−49−3m +n =0解得: {m =53n =−4(舍去). 综上所述:m=2,n=﹣3.22.【答案】(1)解:由题意,z 与x 成一次函数关系,设z=kx+b (k≠0).把(1,50).(2,52)代入得 {k +b =502k +b =52⇒{k =2b =48∴z=2x+48.(2)解:当1≤x≤6时,设收取的租金为W1百万元,则W1=(- 16x+5)•(2x+48)=- 13x2+2x+240,∵对称轴x=- b2a≠=3,而1≤x≤6,∴当x=3时,W1最大=243(百万元).当7≤x≤10时,设收取的租金为W2百万元,则W2=(- 18x+ 194)·(2x+48)=- 14x2+ 72x+228.∵对称轴x=- b2a=7,而7≤x≤10,∴当x=7时,W2最大= 9614(百万元).∵243> 961 4∴第3年收取的租金最多,最多为243百万元.(3)解:当x=6时,y=- 16×6+5=4百万平方米=400万平方米;当x=10时y=- 18×10+ 194=3.5百万平方米=350万平方.∵第6年可解决20万人住房问题∴人均住房为400÷20=20平方米.由题意20×(1-1.35a%)×20×(1+a%)=350.设a%=m,化简为54m2+14m-5=0Δ=142-4×54×(-5)=1276∴m= −14±√12762×54=−7±√31954∵√319≈17.8,∴m1=0.2,m2=- 62135(不符题意,舍去).∴a%=0.2,∴a=20.答:a的值为20.23.【答案】(1)解:设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(14﹣x)cm 依题意列方程得x2+(14﹣x)2=100整理得:x2﹣14x+48=0(x﹣6)(x﹣8)=0解方程得x1=6,x2=86×4=24(cm),56﹣24=32(cm);因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm、32cm。

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