§2-3 卷积的性质--LTI系统的性质
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
−∞ −∞
t 0
t
t
−t = ∫ e − τ d τ = (1 − e )u (t )
0
三、卷积和的相关性质 1、卷积和的累加和
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
∞ ∞
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
设 则
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
t0
t
= x (t − t 0 )
∞
x (t − t 0 )
t
t
0
t0
x (t ) ∗ u (t ) =
=
《Signals & systems》 systems》
−∞ ∞
∫ x ( τ )u (t − τ ) d τ = ∫ x ( τ ) d τ
−∞ ∞ 0
−∞
∫ u ( τ ) x (t − τ ) d τ = ∫ x (t − τ ) d τ
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
x(⋅)
y (⋅) h1 (⋅) + h2 (⋅)
x(⋅)
h1 (⋅) h2 (⋅)
y (⋅)
由交换律，分配率还可表示为：
[x1(⋅) + x2 (⋅)]∗ h(⋅) = x1(⋅) ∗ h(⋅) + x2 (⋅) ∗ h(⋅)
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
二、卷积的微积分 1、微分 2、积分
[x(t ) ∗ h(t )]′ = x′(t ) ∗ h(t ) = x(t ) ∗ h′(t )
t t t
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
例如：已知
x(t) = u(t)
h(t) = e−t u(t) y(t) = x(t) ∗ h(t)
t
求系统的零状态响应： 解： 由上性质可知
∞
y (t ) =
−∞
∫ h ( τ )u (t − τ ) d τ = ∫ x ( τ ) d τ
3、序列与单位阶跃序列的卷积和
∞
x(n)
n
x(n) ∗ u(n) =
= =
m=−∞ n
∑ x(m)u(n − m)
0
u (n)
0
m=−∞
∞
∑ x(m)
u ( n − m)
0
n
m=−∞
∞
∑u(m)x(n − m)
n
m
x ( n − m)
0
= ∑ x(n − m)
m=0
m
《Signals & systems》 systems》
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
§2-3 卷积的性质---LTI系统的性质 2-3 ---LTI
卷积可以看成是LTI系统求零状态响应得到的一种运算，它的 性质反映了LTI系统的性质。 一、代数性质 此性质对于卷积积分和卷积和均存在。 1、交换律 如：
x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
−∞
∫[x(τ) ∗ h(τ)]dτ = [ ∫ x(τ)dτ]∗ h(t) = x(t) ∗ ∫ h(τ)dτ
−∞ −∞ ∞
3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分
x(t ) ∗ δ(t ) = ∫ x(τ)δ(t − τ)dτ
−∞ ∞
= ∫ δ(τ) x(t − τ)dτ = x(t )
−∞
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
由交换律
x(⋅) ∗[h1(⋅) ∗ h2 (⋅)] = [ x(⋅) ∗ h1(⋅)]∗ h2 (⋅) = [x(⋅) ∗ h2 (⋅)]∗ h1 (⋅)
x(⋅) x(⋅) y (⋅) h1 (⋅) ∗ h2 (⋅) x(⋅)
y (⋅) h1 (⋅) h2 (⋅) h2 (⋅) y (⋅) h1 (⋅)
《信号与系统》 信号与系统》
∞
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
x (t ) ∗ δ (t − t 0 ) =
−∞ ∞
∫ x ( τ ) δ (t − τ − t ) d τ
0
0
x (t )
t
=
−∞
∫ x (t − τ ) δ ( τ − t ) d τ
0
0
δ(t − t0 )
(1)
x(t )
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
h (t )
1
或者
du(t) −t y′(t) = x′(t) ∗ h(t) = ∗ e u(t ) dt
= δ(t ) ∗ e u(t ) = e−t u(t )
t t
−τ −t
1 0
e −t
t
t 0
x′(t )
(1) 0 1
y (t )
y(t) = ∫ y′(τ)dτ = ∫ e u(τ)dτ
x1 (⋅) + x2 (⋅)
h(⋅)
y (⋅)
x1 (⋅) x2 (⋅)
h(⋅) h(⋅)
y (⋅)
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
3、结合律
x(⋅) ∗[h1(⋅) ∗ h2 (⋅)] = [x(⋅) ∗ h1(⋅)]∗ h2 (⋅)
−∞
t
−τ
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= ∫ e − τ d τ = (1 − e − t )u (t ) = ∫ e u ( τ) dτ
−∞ 0
x(t )
1 0
《Signals & systems》 systems》
h(t )
1
y (t )
1
e −t
t
t
0
0
t
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
x(⋅)
h(⋅)
y (⋅)
h(⋅)
x(⋅)
y (⋅)
利用交换律，可能使卷积的运算简便。 2、分配律
x(t) ∗[h1 (t ) + h2 (t)] = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2 (t) x(n) ∗[h1(n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h1(n) + x(n) ∗ h2 (n)
= − ∫ x (t − λ ) h ( λ ) d λ
∞
∞
−∞
∫ h ( λ ) x (t − λ ) d λ
= h (t ) ∗ x (t )
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
交换律说明单位冲激响应为h(t)的LTI系统，在输入x(t)作用下 的响应y(t)，等于单位冲激响应为x(t)，输入为h(t)作用下的LTI系统 的响应。即
y(n) = x(n) ∗ h(n) =
n m=−∞ n m=−∞
m=−∞
∑ x(m)h(n − m) = ∑h(m)x(n − m)
m=−∞ n m=−∞
∑ y(m) = [ ∑ x(m)]∗ h(n) = x(n) ∗[ ∑h(m)]
∞ ∞
2、序列与单位样值信号的卷积和
x(n) ∗ δ(n) =
m=−∞
∑ x(m)δ(n − m) = ∑δ(m)x(n − m) = x(n)
m=−∞
x(n) ∗ δ(n − n0 ) = x(n − n0 )
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
∞
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
x(t) ∗ h(t) = ∫ x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
∞
作变量代换：t-τ=λ，于是 τ=t-λ，dτ= -dλ。上式
−∞
x (t ) ∗ h (t ) =
=
《Signals & systems》 systems》
−∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ
t 0
t
t
−t = ∫ e − τ d τ = (1 − e )u (t )
0
三、卷积和的相关性质 1、卷积和的累加和
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
∞ ∞
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
设 则
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
t0
t
= x (t − t 0 )
∞
x (t − t 0 )
t
t
0
t0
x (t ) ∗ u (t ) =
=
《Signals & systems》 systems》
−∞ ∞
∫ x ( τ )u (t − τ ) d τ = ∫ x ( τ ) d τ
−∞ ∞ 0
−∞
∫ u ( τ ) x (t − τ ) d τ = ∫ x (t − τ ) d τ
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
x(⋅)
y (⋅) h1 (⋅) + h2 (⋅)
x(⋅)
h1 (⋅) h2 (⋅)
y (⋅)
由交换律，分配率还可表示为：
[x1(⋅) + x2 (⋅)]∗ h(⋅) = x1(⋅) ∗ h(⋅) + x2 (⋅) ∗ h(⋅)
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
二、卷积的微积分 1、微分 2、积分
[x(t ) ∗ h(t )]′ = x′(t ) ∗ h(t ) = x(t ) ∗ h′(t )
t t t
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
例如：已知
x(t) = u(t)
h(t) = e−t u(t) y(t) = x(t) ∗ h(t)
t
求系统的零状态响应： 解： 由上性质可知
∞
y (t ) =
−∞
∫ h ( τ )u (t − τ ) d τ = ∫ x ( τ ) d τ
3、序列与单位阶跃序列的卷积和
∞
x(n)
n
x(n) ∗ u(n) =
= =
m=−∞ n
∑ x(m)u(n − m)
0
u (n)
0
m=−∞
∞
∑ x(m)
u ( n − m)
0
n
m=−∞
∞
∑u(m)x(n − m)
n
m
x ( n − m)
0
= ∑ x(n − m)
m=0
m
《Signals & systems》 systems》
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
§2-3 卷积的性质---LTI系统的性质 2-3 ---LTI
卷积可以看成是LTI系统求零状态响应得到的一种运算，它的 性质反映了LTI系统的性质。 一、代数性质 此性质对于卷积积分和卷积和均存在。 1、交换律 如：
x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)
−∞
∫[x(τ) ∗ h(τ)]dτ = [ ∫ x(τ)dτ]∗ h(t) = x(t) ∗ ∫ h(τ)dτ
−∞ −∞ ∞
3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分
x(t ) ∗ δ(t ) = ∫ x(τ)δ(t − τ)dτ
−∞ ∞
= ∫ δ(τ) x(t − τ)dτ = x(t )
−∞
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
由交换律
x(⋅) ∗[h1(⋅) ∗ h2 (⋅)] = [ x(⋅) ∗ h1(⋅)]∗ h2 (⋅) = [x(⋅) ∗ h2 (⋅)]∗ h1 (⋅)
x(⋅) x(⋅) y (⋅) h1 (⋅) ∗ h2 (⋅) x(⋅)
y (⋅) h1 (⋅) h2 (⋅) h2 (⋅) y (⋅) h1 (⋅)
《信号与系统》 信号与系统》
∞
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
x (t ) ∗ δ (t − t 0 ) =
−∞ ∞
∫ x ( τ ) δ (t − τ − t ) d τ
0
0
x (t )
t
=
−∞
∫ x (t − τ ) δ ( τ − t ) d τ
0
0
δ(t − t0 )
(1)
x(t )
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
h (t )
1
或者
du(t) −t y′(t) = x′(t) ∗ h(t) = ∗ e u(t ) dt
= δ(t ) ∗ e u(t ) = e−t u(t )
t t
−τ −t
1 0
e −t
t
t 0
x′(t )
(1) 0 1
y (t )
y(t) = ∫ y′(τ)dτ = ∫ e u(τ)dτ
x1 (⋅) + x2 (⋅)
h(⋅)
y (⋅)
x1 (⋅) x2 (⋅)
h(⋅) h(⋅)
y (⋅)
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
3、结合律
x(⋅) ∗[h1(⋅) ∗ h2 (⋅)] = [x(⋅) ∗ h1(⋅)]∗ h2 (⋅)
−∞
t
−τ
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= ∫ e − τ d τ = (1 − e − t )u (t ) = ∫ e u ( τ) dτ
−∞ 0
x(t )
1 0
《Signals & systems》 systems》
h(t )
1
y (t )
1
e −t
t
t
0
0
t
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
x(⋅)
h(⋅)
y (⋅)
h(⋅)
x(⋅)
y (⋅)
利用交换律，可能使卷积的运算简便。 2、分配律
x(t) ∗[h1 (t ) + h2 (t)] = x(t) ∗ h1(t) + x(t) ∗ h2 (t) x(n) ∗[h1(n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h1(n) + x(n) ∗ h2 (n)
= − ∫ x (t − λ ) h ( λ ) d λ
∞
∞
−∞
∫ h ( λ ) x (t − λ ) d λ
= h (t ) ∗ x (t )
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
交换律说明单位冲激响应为h(t)的LTI系统，在输入x(t)作用下 的响应y(t)，等于单位冲激响应为x(t)，输入为h(t)作用下的LTI系统 的响应。即
y(n) = x(n) ∗ h(n) =
n m=−∞ n m=−∞
m=−∞
∑ x(m)h(n − m) = ∑h(m)x(n − m)
m=−∞ n m=−∞
∑ y(m) = [ ∑ x(m)]∗ h(n) = x(n) ∗[ ∑h(m)]
∞ ∞
2、序列与单位样值信号的卷积和
x(n) ∗ δ(n) =
m=−∞
∑ x(m)δ(n − m) = ∑δ(m)x(n − m) = x(n)
m=−∞
x(n) ∗ δ(n − n0 ) = x(n − n0 )
《Signals & systems》 systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》 信号与系统》
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
∞
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
x(t) ∗ h(t) = ∫ x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
∞
作变量代换：t-τ=λ，于是 τ=t-λ，dτ= -dλ。上式
−∞
x (t ) ∗ h (t ) =
=
《Signals & systems》 systems》
−∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ