2016-2020年高考理科数学试题分类汇编专题14数列综合试题及答案
专题14 数列综合
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；
（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．
【答案】（1）-2；（2）1(13)(2)9
n
n n S -+-=.
【解析】
（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，
212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，
1,2q q ≠∴=-；
（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，1
11,(2)
n n a a -==-，
21112(2)3(2)(2)n n S n -=?+?-+?-+
+-，①
23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=?-+?-+?-+
--+-，②
①-②得，2
131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+
+---
1(2)1(13)(2)(2)1(2)3
n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9
n
n n S -+-∴=
. 2.（2020·新课标Ⅲ）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n
a n }的前n 项和S n ．
【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1
(21)22n n S n +=-?+.
【解析】
（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，
由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：
当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.
那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2n
n
n a n ?=+?
231325272(21)2(21)2n n n S n n -=?+?+?++-?++?，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=?+?+?+
+-?++?，②
由①-②得：(
)2
3
162222(21)2n n n S n +-=+?++
+-+?
()21121262(21)212
n n n -+-=+?
-+??-1
(12)2
2n n +=-?-，
即1
(21)2
2n n S n +=-?+.
3.（2020·北京卷）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：
①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2
i m j
a a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k
n l
a a a =．
(Ⅰ)若(1,2,
)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若1
2(1,2,
)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 (Ⅰ)
{}232329
2,3,2
n a a a a Z a ===?∴不具有性质①；
(Ⅱ)
{}22*
(2)1*
2,,,2,2i j i i i j n j j
a a i j N i j i j N a a a a ---?∈>=-∈∴=∴具有性质①；
{}2
*
(2)11,3,1,2,22,k l n k n n l
a n N n k n l a n a a ---?∈≥?=-=-===∴具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然()0*n a n N ≠?，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<
，
由①可知：存在1m ，满足12
2
10m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知
22
32
11
a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0
21
0N
m a a a =
<，由0N 的定义可知：
0m N ≤，
另一方面，0
00
221
N
N
m N N a a a a a a =
>
=，由数列的单调性可知：0m N >，
这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明22
31
a a a =：
利用性质②：取3n =，此时()23k
l
a a k l a =>，
由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3k
k k l
a a a a a =?
>，故3k <，
此时必有2,1k l ==，即22
31
a a a =，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()1
11s s a a q s k -=≤≤，
其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）
由①可得：存在整数m ，满足2
11
k k
m k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥ （*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t t
a a
a a a a a +==?>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+， 由()1
11s s a a q
s k -=≤≤可得：2
211111s t k s k k t
a a a q a a q a ---+==>= （**）
由（**）和（*）式可得：21
1111k
s t k a q a q
a q ---≥>，
结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11k
k a a q +=.
总上可得，数列{}n a 的通项公式为：1
1n n a a q -=.
即数列{}n a 为等比数列.
【解法二】假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取3n =，此时()23k
l
a a k l a =>，
由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3k
k k l
a a a a a =?
>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即22
31
a a a =，
即123,,a a a 成等比数列，不妨设()2
2131,1a a q a a q
q ==>，
然后利用性质①：取3,2i j ==，则224
331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明3
41a a q =，
否则，由数列的单调性可知3
41a a q <，
在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a a
a a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ?>，满足2
4k
l a a a =，
若3,2k l ==，则：2341k
l
a a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411k
l
a a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413k
l
a a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而3
41a a q =，
同理可得：45
5161,,
a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列.
4.（2020·江苏卷）已知数列{}*
()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，
若对一切正整数n ，均有1
111
1k
k k
n n n S
S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．
（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a
2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 【答案】（1）1
（2）2
1,134,2n n n a n -=?=??≥?
（3）01λ<< 【解析】
（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a λλλ++++-=∴==∴≡∴=/
（2）
112
2
1100n n n n n a S S S S ++>∴>∴->
1
1
1
2
2
2+1+1)n n
n n S S S S -=- 111111
2
2
22222+1
+1+11
()()()3n n n n n n S S S S S S ∴-=-+
111111
12
2
2222+1+1+1+11
()=2=443
n n n
n n n n n n n S S S S S S S S S -∴-=+∴∴∴= 111S a ==，14n n S -= 1224434,2n n n n a n ---∴=-=?≥
21,134,2
n n n a n -=?∴=??≥?
（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列.
111113
333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S λλ+-=∴-=- 113
3
+1n n
S S ∴=或11221123
3
33333
+1
+1+1()()n n n n n n S
S S S S S λ-=++
+1n n S S ∴=或22113
3
3
3
3
3
3
+1+1(1)(1)(2)0
n n n n S S S S λλλ-+-++=
∵对于给定的λ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"λ-数列，且0n a ≥
1,1
0,2
n n a n =?∴=?≥?或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n
S S S S λλλλ-+-++=≠有两个不等的
正根.
()22113
3
3
3
3
33
+1+1
(1)(1)(2)01n n n n S S S
S λλλλ-+-++=≠可转化为
()213
3
3
3
3+1
+1
213
3
(1)(2)(1)01n n n
n
S S S S λλλλ-++-+
=≠，不妨设()13
10n n S x x S +??=> ???
，则
()3233(1)(2)(1)01x x λλλλ-+++-=≠有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x λλλλ=-+++-=≠.
① 当1λ<时，3
2
3
2
3
(2)4(1)004λλλ?=+-->?<<，即01λ<<，此时
()3
010f λ=-<，33(2)
02(1)
x λλ+=-
>-对，满足题意. ② 当1λ>时，32323
(2)4(1)004λλλ?=+-->?<<
，即1λ<<
()3
010f λ=->，33
(2)
02(1)
x λλ+=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去. 综上，01λ<<
5.（2020·山东卷）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求1
12231(1)n n n a a a a a a -+-+?+-.
【答案】（1）2n
n a =；（2）23
82(1)55
n n +-- 【解析】
(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则324112
3120
8
a a a q a q a a q ?+=+=?==?， 整理可得：2
2520q q -+=，
11,2,2q q a >==，
数列的通项公式为：1222n n
n a -=?=.
(2)由于：()
()
()
11
211
1
1122112n n n n n n n n a a --++-+=-??=--，故：
112231(1)n n n a a a a a a -+-+?+-
35791212222(1)2n n -+=-+-+?+-?
()()
3223
2
21282(1)5512
n
n n +??--????==----. 6.（2020·天津卷）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，
()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(
)2
*
21n n n S S S n ++<∈N
；
（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2
11
32,,,.n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+?-?
?=????为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．
【答案】（Ⅰ）n a n =，1
2n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949
n n
n n +--+?. 【解析】
(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，
又q ≠0，可得2
440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为1
2n n b -=.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)
2
n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4
n n S S n n n n +=
+++，()()222
1
1124n S n n +=++， 从而2
211
(1)(2)02
n n n S S S n n ++-=-
++<， 所以2
21n n n S S S ++<.
(Ⅲ)当n
奇数时，()1112
32(32)222(2)2n n n n n n
n n a b n c a a n n n n
-+-+--=
==-++，
当n 为偶数时，111
2
n n n n a n c b -+-=
=， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k n
n
n
k k k c k k n --==??=-=- ?+-+??
∑∑， 和
22311
1
21135
2321
444444
n
n
k k
n n k k k n n c -==---==++++
+∑∑
① 由①得2231411135
2321
444444
n k n n k n n c +=--=+++
+
+∑ ② 由①②得2211
121
1312
221121441444
4444
14
n n k n n n k n n c ++=??
-
?--??=++
+-=
---∑， 由于
11
211121221121156544144334444123414
n
n n n n n n n ++??
-
?--+??--=-?--?=-?-， 从而得：
21
565994n
k n
k n c =+=
-?∑. 因此，2212111
4654
21949n n
n
n
k k k n
k k k n c c c n -===+=+=--+?∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为4654
21949
n n
n n +--+?. 7.（2020·浙江卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，
111112
1,,()n
n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=
?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d
++
+<+
． 【答案】（I ）1142
,.23
n n q a -+==；
（II ）证明见解析. 【解析】
（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即2
16q q +=，由于0q >，所以解得
12q =
，所以112
n n b -=. 所以2
112
n n b ++=，故111
1
2412n n n n n c c c -++=?=?，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以1
4n n c -=.
所以114n n n n a a c -+==-（*
2,n n N ≥∈）.
所以12
142144
.3
n n n a a --+=+++???+=
（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于
12
n n n n c b
c b ++=， 所以
1
11
n n n n c b c b --+=()
*2,n n N ≥∈， 故1
32112
21n n n n n c c c c c c c c c c ---=
???
??12321
11143
n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=????? 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++????
+??=
=-=+- ? ? ???????
. 所以121223*********n n
n c c c d b b b b b b +????
??????++
+=+-+-+
+-?? ? ? ? ???????
???? 11111n d b +?
???=+- ? ?????
. 由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +?
???+-<+ ? ?
????
. 即121
1n c c c d
++?+<+，*n N ∈. 【2019年】
1．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，
1434n n n b b a +-=-.
（I ）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；
（II ）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（I ）见解析；（2）1122n n a n =
+-，1122
n n b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111
()2
n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为
1
2
的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，1
1
2n n n a b -+=
，21n n a b n -=-． 所以111
[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，
111[()()]222
n n n n n n b a b a b n =+--=-+．
2．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项
（i 1
，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p （Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6（答案不唯一）；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析. 【解析】（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一） （Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -. 由p 因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,, ,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列， 所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <· （Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项. 先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m ?1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m ?1之后. 设121,, ,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m ?1的递增子列，则 121,, ,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾. 再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项. 假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m . 因为2k 排在2k ?1之前（k =1，2，…，m ?1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m ?2，2m ?1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --??? ???=<个 . 与已知矛盾. 最后证明：2m 排在2m ?3之后（m ≥2为整数）. 假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m ?3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾. 综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m ?3，2m ，2m ?1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m ?3，2m ，2m ?1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +?=? -?为奇数，为偶数. 3．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知 1122334,622,24a b b a b a ===-=+，． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2, 1,, k k n k k c n c b n +=?<<=?=?其中*k ∈N ． （i ）求数列( ){} 221n n a c -的通项公式； （ii ）求 ()2* 1 n i i i a c n =∈∑N ． 【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32n n b =?（Ⅱ）（i ）() 221941n n n a c -=?-（ii ） ()()2* 21 1* 1 272 5212 n n n i i i a c n n n --=∈=?+?--∈∑N N 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得 2662,6124,q d q d =+??=+?解得3,2, d q =?? =?故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?． 所以，{}n a 的通项公式为{}31, n n a n b =+的通项公式为32n n b =?． （Ⅱ）（i ）()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-． 所以，数列( ){} 221n n a c -的通项公式为( ) 221941n n n a c -=?-． （ii ） ()()22221 1 1 1 211n n n i i n i i i i i i i i i i a c a a c a a c ====??=+-=+??-∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ () ( )2114143252914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N ． 4．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()n * ∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }()n * ∈N 满足:11 1221, n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()n * ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有 1k k k c b c +成立，求m 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）①b n =n () * n ∈N ；②5. 【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由245321440a a a a a a =??-+=?，得244112111 440a q a q a q a q a ?=?-+=?，解得112a q =??=?． 因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1 122 n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得2 122 1 1b = -，则22b =. 由1 122 n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()() 111122n n n n n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---， 整理得112n n n b b b +-+=． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ( )* n ∈N . ②由①知，b k =k ，*k ∈N . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1 k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有 ln ln ln 1 k k q k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则2 1ln ()x f 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下： x (1,e) e (e ，+∞) () f 'x + 0 – f （x ） 极大值 因为 ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3 ()(3)3 f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln k q k ，即k k q ≤， 经检验知1 k q k -≤也成立． 因此所求m 的最大值不小于5． 若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 5．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{} n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b * ++∈+++N 成等比数列． （I ）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （II ）记,,2n n n a c n b *= ∈N 证明：12+2,.n c c c n n *++<∈N 【答案】（I ）()21n a n =-，()1n b n n =+；（II ）证明见解析. 【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 所以2* n S n n n =-∈N ，， 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （II ）*221,22(1)(1) n n n a n n c n b n n n n --= ==∈++N ． 我们用数学归纳法证明． （i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； （ii ）假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即122k c c c k +++<． 那么，当1n k =+时， 1211 22(1)(2)1 k k k c c c c k k k k k +++++<+ <+ +++222(1)211k k k k k k k <+ =++-=+++． 即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii ），不等式122n c c c n +++<对任意*n ∈N 成立． 【2018年】 1. （2018年浙江卷）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列 {b n }满足b 1=1，数列{（b n +1?b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）由是 的等差中项得 ， 所以， 解得. 由得， 因为 ，所以 . （Ⅱ）设 ，数列 前n 项和为. 由解得. 由（Ⅰ）可知， 所以， 故， . 设， 所以， 因此， 又，所以. 2. （2018年天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】（I）设等比数列的公比为q.由 可得.因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得 由，可得 从而故 所以数列的通项公式为， 数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有， 故. （ii）因为， 所以 3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q 的等比数列． （1）设，若对均成立，求d的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）． 【答案】（1）d的取值范围为． （2）d的取值范围为，证明见解析。 【解析】（1）由条件知：． 因为对n=1，2，3，4均成立， 即对n=1，2，3，4均成立， 即11，1d3，32d5，73d9，得． 因此，d的取值范围为． （2）由条件知：． 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立， 即， 即当时，d满足． 因为，则， 从而，，对均成立． 因此，取d=0时，对均成立． 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）． ①当时，， 当时，有，从而． 因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x>0时，， 所以单调递减，从而 当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d的取值范围为． 4. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s （1）求的值； （2）求的表达式(用n表示)． 【答案】（1）2 5 （2）n≥5时， 【解析】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 ， 所以． 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． （2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以． 为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，． 当n≥5时， ， 因此，n≥5时，． 5. （2018年全国Ⅱ卷理数）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）a n=2n–9，（2）S n=n2–8n，最小值为–16． 【解析】 （1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{a n}的通项公式为a n=2n–9． （2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16． 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3 应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3 2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x > （江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12） 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（ ） （A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为 （A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 专题01 直线运动 【2018高考真题】 1．高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的均加速直线运动,在启动阶段列车的动能（） A. 与它所经历的时间成正比 B. 与它的位移成正比 C. 与它的速度成正比 D. 与它的动量成正比 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷） 【答案】 B 2．如图所示,竖直井中的升降机可将地下深处的矿石快速运送到地面。某一竖井的深度约为104m,升降机运行的最大速度为8m/s,加速度大小不超过,假定升降机到井口的速度为零,则将矿石从井底提升到井口的最短时间是 A. 13s B. 16s C. 21s D. 26s 【来源】浙江新高考2018年4月选考科目物理试题 【答案】 C 【解析】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,在加速阶段,所需时间 ,通过的位移为,在减速阶段与加速阶段相同,在匀速阶段所需时间为：,总时间为：,故C正确,A、B、D错误；故选C。 【点睛】升降机先做加速运动,后做匀速运动,最后做减速运动,根据速度位移公式和速度时间公式求得总时间。 3．（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶,下列说法正确的是（） A. 两车在t1时刻也并排行驶 B. t1时刻甲车在后,乙车在前 C. 甲车的加速度大小先增大后减小 D. 乙车的加速度大小先减小后增大 【来源】2018年普通高等学校招生全国统一考试物理（全国II卷） 【答案】 BD 点睛：本题考查了对图像的理解及利用图像解题的能力问题 4．（多选）地下矿井中的矿石装在矿车中,用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示,其中图线①②分别描述两次不同的提升过程,它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同,提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程, A. 矿车上升所用的时间之比为4:5 B. 电机的最大牵引力之比为2:1 C. 电机输出的最大功率之比为2:1 D. 电机所做的功之比为4:5 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷） 为2∶1,选项C正确；加速上升过程的加速度a1=,加速上升过程的牵引力F1=ma1+mg=m(+g),减速上升过程的加速度a2=-,减速上升过程的牵引力F2=ma2+mg=m(g -),匀速运动过程的牵引力F 3=mg。第次提升过程做功W1=F1××t0×v0+ F2××t0×v0=mg v0t0；第次提升过 程做功W2=F1××t0×v0+ F3×v0×3t0/2+ F2××t0×v0 =mg v0t0；两次做功相同,选项D错误。 中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤ 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 < 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4高考数学试题分类汇编集合理
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