车辆路径问题的数学模型分析研究

对客户成本与满意两者权衡时偏好的不同，将时间窗分为
硬时间窗（HTW）、软时间窗（STW）和混合时间窗（MTW）三
类.
3.1 硬时间窗：所谓硬时间窗是指配送车辆必须在规定的
1,车辆 k 从点 i 行驶到点 j
xijk= 0，
（i,j=0,1,…,n;k=1,2,…,K) 否则
以最小化系统运行费用作为目标，建立的车辆路径问
题模型如下所示：
ΣΣΣ minf=
cijxijk
i jk
（2- 1）
Σ s.t. qiyki≤Q (k=1,2,…,k) i
（2- 2）
Σyki=1 (i=1,2,…,n) k
旅行商问题是车辆路径问题的根源，旅行商现象作为
车辆路径众多问题中的一个特殊性问题，它只有一条路径，
并且这条路径没有任何的约束能力.然而，有时间窗车辆路
径问题是在经典的车辆路径问题基础之上而不断发展起来
的一种新的路径问题.车辆路径问题、旅行商问题和有时间
窗车辆路径问题彼此之间是紧密联系、密不可分的，它们之
第 28 卷 第 2 期（下） 2012 年 2 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 2 Feb. 2012
车辆路径问题的数学模型分析研究
苏丽红
（黑龙江建筑职业技术学院，黑龙江 哈尔滨 150025）
V={0,1,…,n}点集的主要功能是用来表示旅行商旅途所
要经过的城市，其中 0 表示旅行商旅行出发的起点城市；
A={(i,j)|i,j=0,1,2,…,n,i≠j}弧集的主要功能是用来表示
旅行商在旅行过程中可能经过的路段的一个总的集合；
C={cij|(i,j)∈A}表示费用集合，其中，cij 的主要功能是用 来表示旅行商经过对应路段(i,j)时所花费的时间、距离和行
约束条件是每条路径的起点和终点都要作为相应的供货
点；第二个约束条件是每个客户只能进行一次车辆服务；第
三个约束条件是要求每条路径中的所有客户需求的总和不
能超过车辆的总载重量 Q 的值；
经典的 VRP 模型通常可以用数学语言进行如下描述：
1,点 i 的任务由车辆 k 完成
yki= 0，
（i=0,1,…,n;k=1,2,…,K) 否则
设有 n 个客户等待着服务，一个出发点有 K 辆具有一定载
重量的汽车，假设已知每个客户的位置坐标、货物需求量、
出发点的位置坐标、每辆汽车的最大载重量以及允许服务
的时间窗口[ETi,LTi]，那么设计的目标是使车队的行驶路线 在时间窗内为客户提供服务的总成本最小.
我们通常按照客户满意度来进行划分，并根据决策者
（2- 8）
在经典 VRP 模型中，配送中心编号通常用 0 进行表
示，客户点编号用 1,2,…,n 来表示，配送中心和客户点通常
用点 i(i=0,1,2,…,n)来进行表示.
约束条件（2- 6）和（2- 7）的主要功能是用来保证如果客
户点 i,,j 在车辆 k 的行驶线路上，那么客户点 i,j 将由车辆 k
来进行相关的服务；目标函数（2- 2）的主要功能是使车队总
的服务费用降到最低程度；约束条件（2- 5）是用来保证车辆
都从配送中心出发并且能返回到配送中心；约束条件（2- 3）
主要用来约束车辆的装载能力；约束条件（2- 4）是保证对每
个客户都进行了服务.
3 有时间窗车辆路径问题分析
有时间窗车辆路径问题 VRPTW 可以进行这样描述：假
摘 要：本文首先对经典车辆路径问题（VR P）与旅行商问题的数学模型进行了简要的分析.其后对带时间窗的车辆路径 问题进行了相应的描述，通过客户需求的服务时间窗在模型中进行惩罚函数的设置，并在模型中要考虑物流中心的客户时间 窗、车辆运输费用和时间效应成本等因素的影响，进而来建立基于路况的带惩罚函数的 VR PTW 优化模型.
（2- 3）
Σyk0+K k
Σxijk=ykj (j=0,2,…,n) i
（2- 4） （2- 5）
Σxijk=ykj (i=0,2,…,n) j
xijk∈{0,1} (i,j=0,1,…,n;k=1,2,…,k)
（2- 6） （2- 7）
ykj∈{0,1} (i=0,1,…,n;k=1,2,…,k)
பைடு நூலகம்j=0
Σxij≤|S|- 1,坌S哿V- {0}
i,j∈S
（1- 1） （1- 2） （1- 3） （1- 4）
- 6-
目标函数（1- 1）的主要功能是用来确定旅行商巡游费
用达到最小的条件；约束条件（1- 2）和（1- 3）的主要功能是
要保证旅行商在旅行过程中所经过的每个城市只能被访问
一次；约束条件（1- 4）可以作为一个支路进行消去.
驶费用的一个集合.
求解 TSP 的过程就是在加权图 G=[V,A,C]中找到总费
用最小时所对应的汉密尔顿（Hamilton）回路.
1,若弧(i,j)在线路上
定义变量 xij= 0， 否则
建立以下模型：
ΣΣ minf=
cijxij
ij
n
Σ s.t. xij=1，j=0,1,2,…,n i=0
n
Σxij=1，i=0,1,2,…,n
2 车辆路径问题（VRP）的数学模型
车辆路径问题 VRP 通常是指对一系列的客户点，通过
对行车行驶路线进行适当的组织和规划，从而使得车辆能
够有序地进行通过，让这些客户点在满足一定的约束条件
（如货物需求量、车辆容量限制和时间窗限制等条件）下来
达到一定的目标. 经典车辆路径问题 VRP 通过需要满足以
下三个约束条件来求解 m 辆车的总行驶成本最小：第一个
关键词：商旅问题；车辆路径问题；有时间窗车辆路径问题 中图分类号：U442.31 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）02- 0006- 03
车辆路径问题 （通常简称为 VRP） 是由线性规划大师
Ramser 与 Dantzig 曾在一九五九年逐步提出来的，主要用来
解决车辆路径.
间互相影响和转化.
1 基于数学模型的旅行商问题分析
我们通常可以将旅行商问题进行如下描述：通常在对
一条旅行线路进行安排时，旅行商要从路径的起点出发，每
一次只能经过一个城市，最终要返回路径的原地，并且要求
在这整个旅行过程中的总旅行距离要达到最短，这就是所
谓的旅行商问题.旅行商问题的数学模型可以简单表示为：