北京市高考试题立体几何汇编

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2011-2017北京市高考试题立体几何汇编

1、(2011文5)某四棱锥的三视图如右图所示,该四棱锥的表面积是( ). A .32 B.16+162

C.48 D.16+322

2、(2011理7)某四面体的三视图如右图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )

A. 8

B.62 C.10 D . 82

3、(2012理7,文7)某三棱锥的三视图如右图所示,该三棱锥的表面积是( ). A.2865+ B. 3065+

C. 56125+ D. 60125+

4、(2013,文8)如右图,在正方体A BC D-A 1B 1C 1D 1中,P 为对角线B D1的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值有( ).

A.3个 B.4个 C .5个 D .6个

5、(2013,文10)某四棱锥的三视图如下图所示,该四棱锥的体积为__________.

俯视图

侧(左)视图

正(主)视图

43

2

4

正(主)视图

11俯视图侧(左)视图

21

6、(2013,理14)如右图,在棱长为2的正方体1111

ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为 .

7、(2014,理7)在空间直角坐标系Oxyz 中,已知

(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,2(1,1,)D ,若1S ,2S ,3S 分别表示三棱

锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则

(A)123S S S == (B)12S S =且13S S ≠ (C)13S S =且23S S ≠

(D)23S S =且13S S ≠

8、(2014,文11)某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长

为 .

9、(2015理5)某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的表面积是

A .25+ B.45+ C.225+ D.5

10、(2015文7)某四棱锥的三视图如右图所示,该四 棱锥最长棱的棱长为

E P D C B A

C 1

B 1

A 1

D 1

俯视图

侧(左)视图

正(主)视图

11

1

2

2

(A )1 (B ) (B) (D)2

11、(2016理6)某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为( ) A .?B .

? C.

? D.1

12、(2016文11)某四棱柱的三视图如右图所示,则该四棱柱的体积为________.

13、(2017理7)如右图,某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()

(A)32 (B)23 (C)22 (D)2

14、(2017文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三

棱锥的体积为()

(A

)60

(B)30 (C )

20

(D)10

15、(2017理16)如下图,在四棱锥P-ABC D中,底面ABCD 为正方形,平面PA D⊥平面A BCD ,点M 在线段P

B上,PD//平面MAC ,PA =PD =6,A B=4. (I )求证:M 为PB 的中点;

正(主)视图

左(侧)视图

俯视图

(II)求二面角B-PD-A的大小;

(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

16、(2017文18)如图,在三棱锥P–ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上

一点.

(Ⅰ)求证:PA⊥BD;

(Ⅱ)求证:平面BDE⊥平面PAC;

(Ⅲ)当PA∥平面BD E时,求三棱锥E–BCD的体

积.

17、(2016理17)如右图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,P A⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.

(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;

(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;

(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?

若存在,求的值,若不存在,说明理由.

(2016文18)如图,在四棱锥AB CD

18、

PC

P-中,⊥

平面AB CD,AC

DC⊥.

(Ⅰ)求证:⊥

DC平面PAC;

(Ⅱ)求证:平面⊥

P平面PAC;

AB

(Ⅲ)设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得⊥PA 平面CEF ,说明理由.

19、(2015文18)如图,在三棱锥E-A BC 中,平面EAB ⊥平面ABC,三角形EAB 为等边三角形,AC ⊥ BC,且AC=BC=

,O,M 分别

为AB ,EA 的中点。

(1) 求证:EB //平面MOC. (2) 求证:平面MOC ⊥平面 EAB . (3) 求三棱锥E-ABC 的体积。 20、(2015理17)如图,在四棱锥A EFCB -中,AEF △为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF BC ∥,

4BC =,2EF a =,60EBC FCB ∠=∠=?,O 为EF 的中点.

(Ⅰ) 求证:AO BE ⊥;

(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值; (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ,求a 的值.

21、(2014文17) 如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱垂直于底面,AB BC ⊥,12AA AC ==,E 、F 分别为

11A C 、BC 的中点.

(1)求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ; (2)求证:1//C F 平面ABE ; (3)求三棱锥E ABC -的体积.

22、(2014理17)如图,正方形AMDE 的边长为2,B 、C 分别为AM 、MD 的中

C 1

B 1

A 1

F

E C

B

A

O F

E

C

B

A

点,在五棱锥P ABCDE -

中,F 为棱PE 的中点,平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H . (Ⅰ)求证:AB ∥FG ;

(Ⅱ)若PA ⊥平面ABCDE ,且PA AE =,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并求线段PH 的长.

23、(2013理17)如图,在三棱柱111ABC A B C -中

,11AA C C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面11AA C C ,3AB =,5BC =. (Ⅰ)求证:1AA ⊥平面ABC ;

(Ⅱ)求证二面角111A BC B --的余弦值;

(Ⅲ)证明:在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1

BD BC 的值.

24、(2013文17)如图,在四棱锥P -A BCD 中,AB ∥C D,A B⊥AD ,C D=2AB ,平面P AD ⊥平面ABCD ,PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和P C的中点.求证: (1)PA⊥底面AB CD ; (2)BE ∥平面P AD ; (3)平面BEF ⊥平面PCD .

25、(2012,文16)如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,D,E 分别为A C,AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点,将△AD E沿D E折起到△A1DE 的位置,使A 1F⊥CD,如图2。 (I)求证:DE ∥平面A1CB ; (I I)求证:A1F ⊥BE ;

(III)线段A 1B 上是否存在点Q ,使A1C ⊥平

面DEQ?说明理由。

图1 图2

A 1

D

E B

E

D

C

B

C

A F F

C 1

B 1

A 1

A

B

C E

F

G

H

C

D

B

M A

P

26、(2012理16)如图1,在Rt ABC ?中,90C ∠=?,3BC =,6AC =,D 、E 分别为AC 、

AB 上的点,且DE //BC ,2DE =,将ADE ?沿DE 折起到1A DE ?的位置,使

1A C CD ⊥,如图2.

(Ⅰ)求证:1

AC ⊥平面BCDE ; (Ⅱ)若M 是1A D 的中点,

求CM 与平面1A BE 所成角的大小; (Ⅲ)线段BC 上是否存在点P ,使平面

1A DP 与平面1A BE 垂直?说明理由.

27、(2011理16)如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,2,60AB BAD =∠=?。

(I )求证:BD ⊥平面PAC

(Ⅱ)若PA AB =,求PB 与AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求PA 的长;

28、(2011文17)如图,在四面体PAB C中,PC⊥AB ,PA⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC ,B C,PB 的中点.

(Ⅰ)求证:D E∥平面BCP; (Ⅱ)求证:四边形D EFG 为矩形;

(Ⅲ)是否存在点Q,到四面体PAB C六条棱的中点的距离相

等?说明理由.

A

B

C

D

P

图1

图2

A

D

E

C

B A 1

M D

E

C

B

答案: 1、B 2、C 3、B 4、B 5、3 6、25

5

7、D 8、22 9、C 10、C 11、A 12、3

2

13、B 14、D 15、(I )设交点为,连接.

因为平面,平面平面,所以.

因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.

(II )取的中点,连接,. 因为,所以.

又因为平面平面,且平面

,所以平面.

因为平面,所以. 因为是正方形,所以.

如图建立空间直角坐标系,则,,,

,.

,AC BD E ME PD ∥MAC MAC

PDB ME =PD ME ∥ABCD E BD M PB AD O OP OE PA PD =OP AD ⊥PAD ⊥ABCD OP ?PAD OP ⊥ABCD OE ?ABCD OP OE ⊥ABCD OE AD ⊥O xyz -(0,0,2)P (2,0,0)D (2,4,0)B -(4,4,0)BD =-(2,0,2)PD =-

由题知二面角

为锐角,所以它的大小为. (

II

,,. 设直线与平面所成角为,则

. 所以直线与平面所成角的正弦值为

. 16、解:(I)因为PA AB ⊥,PA BC ⊥,所以PA ⊥平面ABC ,

又因为BD ?平面ABC ,所以PA BD ⊥.

(I I)因为AB BC =,D 为AC 中点,所以BD AC ⊥, 由(I)知,PA BD ⊥,所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC . (II I)因为PA ∥平面BDE ,平面PAC 平面BDE DE =,

所以PA DE ∥.

因为D 为AC 的中点,所以1

12

DE PA =

=,2BD DC ==. 由(I)知,PA ⊥平面ABC ,所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163

V BD DC DE =

??=.

17、(Ⅰ)证明:∵平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PA D∩平面AB CD=AD, 且AB ⊥A D,AB ?平面A BC D,

B PD A --3

π2

(1,2,

)2

M -(2,4,0)C 2(3,2,)2MC =-MC BDP α||26sin |cos ,|9||||

MC MC MC α?==

=<>n n n MC BDP 26

9

∴AB⊥平面PAD,

∵PD?平面PAD,

∴AB⊥PD,

又PD⊥PA,且PA∩AB=A,

∴PD⊥平面PAB;

(Ⅱ)解:取AD中点为O,连接CO,PO,

∵CD=AC=,

∴CO⊥AD,

又∵PA=PD,

∴PO⊥AD.

以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:

则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),

,

设为平面PCD的法向量,

则由,得,则

设PB与平面PCD的夹角为θ,则

=;

(Ⅲ)解:假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y

1,z

1

),

由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1),,B(1,1,0),

则有,可得M(0,1﹣λ,λ),

∵BM ∥平面PCD ,为平面PCD 的法向量, ∴

,即

,解得

综上,存在点M ,即当时,M点即为所求.

18、证明:(Ⅰ)因为⊥PC 平面AB CD ,所以DC PC ⊥,

又因为AC DC ⊥, 所以,⊥DC 平面PAC .

(Ⅱ)因为AB //DC ,AC DC ⊥,所以AC ⊥AB ,

又因为⊥PC 平面AB CD ,所以PC AB ⊥, 所以⊥A B 平面PAC .

由?AB 平面PA B , 所以平面⊥PA B 平面PAC . (Ⅲ)棱PB 上存在点F ,使得⊥PA 平面CEF ,理由如下:

取PB 的中点F ,连结CF CE,EF,. 因为点E 为AB 的中点,所以EF//PA .

又因为PA 不在平面CEF 内,所以//PA 平面CEF .

19、解:(I )因为O,M 分别为AB,VA 的中点,

所以OM//VB.

又因为V B?平面MOC , 所以VB//平面M OC .

(I I)因为A C=BC,O 为AB 的中点, 所以OC ⊥AB.

又因为平面VAB ⊥平面ABC ,且OC ?平面ABC , 所以OC ⊥平面VAB .

所以平面MOC ⊥平面VAB . (III)在等腰直角三角形ACB 中,2AC BC ==,

所以2AB =,1OC =.

所以等边三角形VAB 的面积3VAB S ?=. 又因为OC ⊥平面VAB ,

所以三棱锥C VAB -的体积等于1333

VAB OC S ??=

. 又因为三棱锥V ABC -的体积与三棱锥C VAB -的体积相等,

所以三棱锥V ABC -的体积为

33

. 20、解:(I)因为△AEF 是等边三角形,O为EF 的中点,

所以AO ⊥EF.

又因为平面A EF ⊥平面E FCB,AO ?平面AEF,

所以AO ⊥平面EFCB.

所以A O⊥BE .

(Ⅱ)取BC中点G,连接OG .

由题设知E FC B是等腰梯形,

所以O G⊥EF. 由(I)知AO ⊥平面EFCB 又OG ?平面EFCB , 所以OA ⊥O G.

如图建立空间直角坐标系O-xy z, 则E(a,0,0),A (0,0,3a ),

B (2,3(2-a),0),EA =(-a,0,3a ), BE =(a-2,3(a-2),0). 设平面A BE的法向量为n=(x,y,z )

则: n 0?

n 0?

EA BE ??=???=??即

30?

(2)3(2)0

ax az a x a y ?-+=??

-+-=?? 令z =1,则x=3,y=-1.于是n=(3,-1,1)

平面AEF 是法向量为p =(0,1,0) 所以cos (n ,p )=

n p n p ?=5

5

-. 由题知二维角F -AE -B 为钝角,所以它的余弦值为5

5

- (Ⅲ)因为B E⊥平面AOC,所以BE ⊥OC,即0BE OC ?=.

因为BE =(a-2 ,3(a-2),0),OC =(-2,3(2-a),0), 所以BE OC ?=-2(a-2)-32

(2)a -. 由0BE OC ?=及0

. 21、(1)证明:∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C1中,侧棱垂直于底面,

∴B B1⊥AB,

∵A B⊥BC ,BB 1∩BC=B, ∴AB⊥B 1B CC1, ∵AB ?平面ABE,

∴平面ABE ⊥B1BCC 1;

(Ⅱ)证明:取AB 中点G ,连接E G,FG ,则 ∵F 是BC 的中点,

∴F G∥AC ,FG=A C,

∵E 是A 1C 1的中点, ∴FG ∥EC 1,FG=EC 1,

∴四边形FG EC 1为平行四边形, ∴C1F ∥EG,

∵C 1F?平面ABE ,EG ?平面ABE , ∴C 1F ∥平面ABE;

(Ⅲ)解:∵AA 1=AC=2,B C=1,AB ⊥BC , ∴AB =, ∴VE ﹣ABC =

=

22、解: (I)在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点,所以//AB DE .又因为AB ?平面PDE ,所以//

AB 平面PDE .因为AB ABF ?,且平面ABF 平面PDE FG =,所以//AB FG .

(II )因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA AB ⊥,PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系XYZ A ,则

()0,0,0A ,()1,0,0B ,()2,1,0C ,()0,0,2P ,()0,1,1F ,

()1,1,0BC =.设平面ABF 的法向量为(),,x y z =n ,则

0,

0,

AB AF ??=??

?=??n n ,即0,0.x y z =??+=?令1z =,则1y =-.所以()0,1,1=-n .设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则1

sin cos ,2

BC BC BC

α?==

=

?n n n .因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为

π

6

.设点H 的坐标为(),,u v w .因为点H 在棱PC 上,所以可设PH PC λ=()01λ<<,即()(),,22,1,2u v w λ-=-.所以2u λ=,v λ=,22w λ=-.因为n 是平面ABF 的法向量,所以

0AH ?=n ,即()()0,1,12,,220λλλ-?-=.解得23λ=

,所以点H 的坐标为422,,333?? ???

.所以2

2

2

4242333PH ??????

=++-= ? ? ???????

.

23、解:(1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以A A1⊥A C.

因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC .

(2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA1⊥AB .

由题知AB =3,B C=5,AC =4,所以AB ⊥AC .

z y

x P

M

H G F

E

D

C

B

A

如图,以A为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C1(4,0,4).

设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则1110,0,A B A C ??=???=??n n 即340,40.

y z x -=??=? 令z =3,则x =0,y =4,所以n =(0,4,3).

同理可得,平面B1BC 1的法向量为m=(3,4,0).

所以co s〈n ,m 〉=16

||||25

?=n m n m .

由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角,

所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为16

25

.

(3)设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD =λ1BC ,

所以(x ,y -3,z )=λ(4,-3,4). 解得x =4λ,y =3-3λ,z =4λ. 所以AD =(4λ,3-3λ,4λ).

由AD ·1A B =0,即9-25λ=0,解得9

25

λ=. 因为

9

25∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时,19

25

BD BC λ==. 24、证明:(1)因为平面PA D⊥底面AB CD,且PA 垂直于这两个平面的交线AD ,

所以PA ⊥底面ABCD .

(2)因为AB ∥CD ,CD =2A B,E 为CD 的中点,

所以AB ∥DE ,且A B=DE . 所以AB ED 为平行四边形. 所以BE ∥A D.

又因为BE ?平面PA D,AD ?平面P AD , 所以B E∥平面PAD .

(3)因为A B⊥AD ,而且ABED 为平行四边形, 所以B E⊥CD ,AD ⊥CD .

由(1)知PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD . 所以C D⊥平面PAD .所以CD ⊥PD . 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点, 所以P D∥EF .所以C D⊥E F. 所以CD ⊥平面BEF .

所以平面BEF ⊥平面P CD

.

25、

26、解:(1)CD DE ⊥,1A E DE ⊥

∴DE ⊥平面1A CD ,

1A C ?平面1A CD ,

∴1A C ⊥DE

又1A C CD ⊥,

∴1A C ⊥平面BCDE

(2)如图建系C xyz -,则()200D -,,,()

0023A ,,,()030B ,,,()220E -,,

∴()

10323A B =-,,,()1210A E =--,, 设平面1A BE 法向量为()n x y z =,,

则1100A B n A E n ??=???=??∴323020y z x y ?-=??--=?

?∴322

z y y x ?=????=-??

∴(

)123

n =-,, 又∵()103M -,,

∴()103CM =-,,

∴1342

cos 2||||14313222

CM n CM n θ?+=

===?++?+? ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45?

(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ,,,则[]03a ∈,

则()

1023A P a =-,,,()20DP a =,, 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =,, 则1111

23020ay z x ay ?-=??+=??∴11

113612

z ay x ay ?=????=-?? ∴()

1363n a a =-,,

假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直

则10n n ?=,

∴31230a a ++=,612a =-,2a =- ∵03a <<

∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直

27、(Ⅰ)因为四边形A BC D是菱形,

所以AC ⊥BD.

又因为PA ⊥平面ABC D. 所以PA ⊥BD. 所以BD ⊥平面PAC. (Ⅱ)设A C∩BD=O.

因为∠BAD =60°,PA=P B=2,

所以BO=1,AO=C O=.

如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系O —x yz,则 P(0,—,2),A (0,—,0),B (1,0,0),C(0,,0). 所以 设PB 与AC 所成角为,则

. (Ⅲ)由(Ⅱ)知

设P (0,-,t)(t>0),则,

设平面PBC 的法向量,则

3O 333).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB θ4

6

3

2226|

|||cos =

?=

??AC PB AC PB θ

).0,3,1(-=BC 3),3,1(t BP --=),,(z y x m =0,0=?=?m BP m BC

所以

令则

所以.

同理,平面PDC 的法向量, 因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以=0,即,解得, 所以PA=.

28、解:(Ⅰ)因为D ,E分别为AP,AC的中点,

所以D E//PC。又因为DE ?平面BC P,所以DE//平面B CP 。

(Ⅱ)因为D ,E,F ,G 分别为AP ,AC,BC,P B的中点,

所以DE//P C//FG ,DG//AB//EF 。所以四边形DEFG 为平行四边形, 又因为PC ⊥AB,所以D E⊥DG ,所以四边形DEF G为矩形。 (Ⅲ)存在点Q满足条件,理由如下: 连接DF,EG,设Q 为EG 的中点

由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且QD=Q E=Q F=QG =

2

1

EG . 分别取PC ,AB 的中点M,N ,连接ME ,EN ,NG ,MG,MN 。

与(Ⅱ)同理,可证四边形M ENG 为矩形,其对角线点为E G的中点Q, 且QM =QN=

2

1

EG , 所以Q为满足条件的点. ?????-+--=+-0

3,03tz y x y x ,3=y .6

,3t

z x ==)6

,3,3(t

m =)6,3,3(t

n -=n m ?036

62=+-t

6t =6

2017年高考立体几何大题(理科)

2017年高考立体几何大题(理科)1、(2017新课标Ⅰ理数)(12分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90 ∠=∠=. BAP CDP (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,90 ∠=,求二面角A-PB-C的余弦值. APD

2、(2017新课标Ⅱ理)(12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂 直于底面ABCD ,o 1 ,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点. (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成 角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值.

3、(2017新课标Ⅲ理数)(12分) 如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.

4、(2017理)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD,AB=4.

(I)求证:M为PB的中点; (II)求二面角B-PD-A的大小; (III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

5、(2017理)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD (及其部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120?得到的,G 是DF 的中点. (Ⅰ)设P 是CE 上的一点,且AP BE ⊥,求CBP ∠的大小; (Ⅱ)当3AB =,2AD =,求二面角E AG C --的大小.

立体几何高考真题专项练习2019

立体几何高考真题专项练习2019 1.(2018)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC 的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. 2.(2017)如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线BC∥平面PAD; (2)若△PCD面积为2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.

3.(2016)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (Ⅰ)证明:AC⊥HD′; (Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′﹣ABCFE体积. 4.(2015)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

5.(2014)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E 为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离. 6.(2013)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD; (Ⅱ)AA1=AC=CB=2,AB=,求三棱锥C﹣A1DE的体积. 7.(2012)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=

2019高考试题分类汇编-立体几何

2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1(2019北京文)(本小题14分) 如图,在三棱锥P –ABC 中,PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA =AB =BC =2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点. (Ⅰ)求证:PA ⊥BD ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面PAC ; (Ⅲ)当PA ∥平面BD E 时,求三棱锥E –BCD 的体积. 2(2019新课标Ⅱ理)(12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点. 2 (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ,求二面角M -AB -D 的余弦值. 3(2019天津理)(本小题满分13分) 如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥底面ABC ,∠BAC =90?. 点D ,E ,N 分别为棱PA ,P C ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA =AC =4,AB =2. (Ⅰ)求证:MN ∥平面BDE ;(Ⅱ)求二面角C -EM -N 的正弦值; (Ⅲ)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ,求线段AH 的长. 21 4(2019新课标Ⅲ理数)a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角;③直线AB 与a 所称角的最小值为45°;④直线AB 与a 所称角的最小值为60°;

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2018年高考立体几何大题练习

1.(14分)如图,在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ,BD 交AC 于点,E F 是PC 中点,G 为AC 上一点。 (Ⅰ)求证:BD ⊥FG ; (Ⅱ)确定点G 在线段AC 上的位置,使FG //平面PBD ,并说明理由; (Ⅲ)当二面角B PC D --的大小为23 π时,求PC 与底面ABCD 所成 角的正切值。 2.(本小题满分14分) 如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA C C ⊥底面ABC ,112,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. (Ⅰ)证明:1A O ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在1BC 上是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在, 确定点E 的位置. 1 A B C O A 1 B 1

3.如图1,在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,D 2 π ∠BA = ,C 1AB =B =,D 2A =,E 是D A 的中点, O 是C A 与BE 的交点.将?ABE 沿BE 折起到1?A BE 的位置,如图2. (I )证明:CD ⊥平面1C A O ; (II )若平面1A BE ⊥平面CD B E ,求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值. 4.(2016·兰州诊断)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥ CD ,=21AB BC CD ==,,顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C (1)求证:1AD ⊥BC ; (2)若直线1DD 与直线AB 所成的角为3 π ,求平面11ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值.

立体几何(高考真题)专题

立体几何(高考真题+模拟新题)专题训练 1、[2011·四川卷]l 1,l 2,l 3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A .l 1⊥l 2,l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B .l 1⊥l 2,l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C .l 1∥l 2∥l 3?l 1,l 2,l 3共面 D .l 1,l 2,l 3共点?l 1,l 2,l 3共面 2、[2011·南京质检]平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥β B .存在一条直线a ,a ?α,a ∥β C .存在两条平行直线a 、b ,a ?α,b ?β,a ∥β,b ∥α D .存在两条异面直线a 、b ,a ?α,b ?β,a ∥β,b ∥α 3、[2011·北京崇文一模] 已知m ,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,则下列命题中正确的为 ( ) A .若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B .若m ∥α,m ∥β,则α∥β C .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n D .若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥n 4、[2011·宁波二模]已知a ,β表示两个互相垂直的平面,a ,b 表示一对异面直线,则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A .a ∥α,b ⊥β B .a ∥α,b ∥β C .a ⊥α,b ∥β D .a ⊥α,b ⊥β 5、[2011·泸州二诊] 如图K40-4,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1.若二面角C -AB -C 1的大小为60°,则点C 到平面C 1AB 的距离为( ) A.34 B.12 C.3 2 D .1 6、[2011·大连一模]已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形,侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.36 7、 [2011·深圳调研] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 8、 [2011·沈阳模拟] 设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四个点,且满足AB →·AC →=0,AD →·AC → =0,AD →·AB →=0,则△BCD 的形状是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .无法确定 9、大纲理数11.G8[2011·全国卷]已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为( ) A .7π B .9π C .11π D .13π 10、大纲文数12.G8[2011·全国卷] 已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为( ) A .7π B .9π C .11π D .13π 11、课标文数7.G8[2011·湖北卷] 设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2,下列说法中最合适的是( ) A .V 1比V 2大约多一半 B .V 1比V 2大约多两倍半 C .V 1比V 2大约多一倍 D .V 1比V 2大约多一倍半 12、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α-l -β,点A ∈α,AC ⊥l ,C 为垂足.点B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足.若AB =2,AC =BD =1,则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D .1 12、[2011·全国卷] 已知直二面角α-l -β,点A ∈α,AC ⊥l ,C 为垂足,点B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足.若AB =2,AC =BD =1,则CD =( ) A .2 B. 3 C. 2 D .1 13、课标理数4.G5[2011·浙江卷] 下列命题中错误..的是( ) A .如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C .如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l ,那么l ⊥平面γ D .如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 14、大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷]已知直二面角α-l -β,点A ∈α,AC ⊥l ,C 为垂足.点B ∈β,BD ⊥l ,D 为垂足.若AB =2,AC =BD =1,则D 到平面ABC 的距离等于( ) A.23 B.33 C.6 3 D .1 15、大纲理数9.G11[2011·重庆卷] 高为2 4 的四棱锥S -ABCD 的底面是边长为1的正方形,点 S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( ) A.24 B.2 2C .1 D. 2 16、大纲理数16.G11[2011·全国卷]已知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1 上,且B 1E =2EB ,CF =2FC 1,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________. 17、课标理数12.G8[2011·辽宁卷] 已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =3,∠ASC =∠BSC =30°,则棱锥S -ABC 的体积为( ) A .3 3 B .2 3 C. 3 D .1 18、课标理数15.G8[2011·课标全国卷] 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且AB =6,B C =23,则棱锥O -ABC D 的体积为________. 18、大纲文数15.G8[2011·四川卷] 如图1-3,半径为4的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________. 4 19、[2011·北京卷] 如图,在四面体P ABC 中,PC ⊥AB ,P A ⊥BC ,点D ,E ,F ,G 别是棱AP ,AC ,BC ,PB 的中点. (1)求证:DE ∥平面BCP ; (2)求证:四边形DEFG 为矩形; (3)是否存在点Q ,到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 20、[2011·北京卷] 如图1-6,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB =2,∠BAD =60°.

(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何

2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12.已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( ) A .68π B .64π C .62π D .6π 2、全国III 理8.如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( ) A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线 C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 3、浙江4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是 A .158 B .162 C .182 D .32 4、浙江8.设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点),记直线PB 与直线AC 所成角为α,直线PB 与平面ABC 所成角为β,二面角P -AC -B 的平面角为γ,则 A .β<γ,α<γ B .β<α,β<γ C .β<α,γ<α D .α<β,γ<β 5、北京理(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________. 6、北京理(12)已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________. 7、江苏9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16.已知∠ACB=90°,P 为平面ABC 外一点,PC =2,点P 到∠ACB 两边AC ,BC 的距离均为3,那么P 到平面ABC 的距离为______ _____. 9、全国II 文理16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1). 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方 体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为_________.(本题第一空2分,第二空3分.) 10、全国III 理16.学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =, AA =,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗, 制作该模型所需原料的质量为___________g.

高考立体几何大题及答案理

1.如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面 ABCD ,2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上, ∠ABM=60 。 (I )证明:M 是侧棱SC 的中点; ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点,DE ⊥平面BCC 1(Ⅰ)证明:AB =AC (Ⅱ)设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图,DC ⊥平面ABC ,//EB DC ,22AC BC EB DC ====,120ACB ∠=,,P Q 分别为,AE AB 的中点.(I )证明://PQ 平面ACD ; (II )求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 4.如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形, PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面;(Ⅱ)当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时,求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M . B C D E O A P B M

(1)求证:平面ABM ⊥平面PCD ; (2)求直线PC 与平面ABM 所成的角; (3)求点O 到平面ABM 的距离. 6.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=(I )求证:EF BCE ⊥平面; (II )设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ,求证: PM ∥BCE 平面 (III )求二面角F BD A --的大小。 7.如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD =AD =a ,点E 是SD 上的点,且DE =λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证:对任意的λ∈(0、1), 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ,求λ的值。 8.如图3,在正三棱柱111ABC A B C -中,AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点,点E 在AC 上,且DE ⊥1A E .(Ⅰ)证明:平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;(Ⅱ)求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= (I )求证:EF BCE ⊥平面;

2020年高考数学分类汇编:立体几何

2020年高考数学分类汇编:立体几何 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 A.20°B.40° C.50°D.90° 8.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7.右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为

A . E B . F C .G D . H 16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11.已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为A . 3 B .32 C .1 D . 32 16.设有下列四个命题: p 1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p 4:若直线l 平面α,直线m ⊥平面α,则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A . 514 B . 512 C . 514 D . 512

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.

(1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .

2014高考理科立体几何大题练习

2014高考理科立体几何大题练习

1.如图1,在Rt ABC ?中,90C ∠=?,36BC AC ==,.D 、E 分别是AC AB 、上的点,且//DE BC ,将ADE ?沿DE 折起到1 A DE ?的位置,使1A D CD ⊥,如图2. (Ⅰ)求证: BC ⊥平面1A DC ; (Ⅱ)若2CD =,求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当D 点在何处时,1 A B 的长度最小,并求出最小值. 2.如图,四棱锥ABCD P -中,底面 ABCD 为正方形,PD PA =,⊥PA 平面PDC , E 为棱PD 的中点. (Ⅰ)求证:PB // 平面EAC ; (Ⅱ)求证:平面PAD ⊥平面ABCD ; (Ⅲ)求二面角B AC E --的余弦值. A B C D E 图图 A B C D E

E C 1 B 1A 1C B A 4. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=?,1 2,AB AC AA ===E 是BC 中点. (I )求证:1//A B 平面1 AEC ; (II )若棱1AA 上存在一点M ,满足11 B M C E ⊥,求AM 的长; (Ⅲ)求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.

E D A B C P 5.如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=AB=2, 3BC =,90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ,D 、E 分别为AB 、AC 中点. (Ⅰ)求证:DE‖平面PBC ; (Ⅱ)求证:AB ⊥PE ; (Ⅲ)求二面角A-PB-E 的大小. 6..如图,四棱锥S -ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面

2018年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题(共9小题) 1 ?如图,在下列四个正方体中,A, B为正方体的两个顶点,M , N, Q为所在 棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是() 2. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为() A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中,E为棱CD的中点,贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左)视圄 C

5?某几何体的三视图如图所示(单位:cm ), 则该几何体的体积(单位:cm 2) 是( ) 6?如图,已知正四面体 D -ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点,AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1

4 角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中 有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中,/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1,则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为( ) A . B. C. D. 二.填空题(共5小题) 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上,SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2,1,其顶点都在球0的球面上,则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18, 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的

2016年高考文科数学真题分类汇编:立体几何

2016年高考数学文试题分类汇编 立体几何 一、选择题 1、(2016年山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为 (A )12+π33 (B )1+π33 (C )1+π36 (D )1+π6 2、(2016年上海高考)如图,在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是( ) (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、(2016年天津高考)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

【答案】B 4、(2016年全国I 卷高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互 相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π 【答案】A 5、(2016年全国I 卷高考)如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ,11//CB D α平面,ABCD m α= 平面,11ABB A n α= 平面,则m ,n 所成角的正弦值为 (A B C (D )13 【答案】A

6、(2016年全国II卷高考)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为() (A)20π(B)24π(C)28π(D)32π 【答案】C 7、(2016年全国III卷高考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 (A)18+(B)54+(C)90 (D)81 【答案】B 8、(2016年浙江高考)已知互相垂直的平面αβ ,交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则() A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C

高考立体几何大题20题汇总

(2012省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体CDEFG 的体积。 2012,(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 201220.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直底面 的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (2010)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

2010文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。 2012(18)(本小题满分12分) 如图,直三棱柱/ / / ABC A B C -,90BAC ∠=, 2,AB AC ==AA ′=1,点M ,N 分别为/A B 和//B C 的 中点。 (Ⅰ)证明:MN ∥平面/ / A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/ A MNC -的体积。 (椎体体积公式V= 1 3 Sh,其中S 为地面面积,h 为高) 2012,(16)(本小题共14分) 如图1,在Rt ABC ?中,90C ∠=?,D ,E 分别为 AC ,AB 的中点,点F 为线段CD 上的一点,将ADE ? 沿DE 折起到1A DE ?的位置,使1A F CD ⊥,如图2. D F D E B C A 1 F E C B A

2015-2017近三年高考理科立体几何高考题汇编

2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16.a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角;②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;④直线AB 与a 所成角的最小值为60°; 其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号) 2017(三)19.(12分)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,△ACD 是直角三角形,∠ABD =∠CBD ,AB =BD . (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)过AC 的平面交BD 于点E ,若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D –AE –C 的余弦值. 2017(二)4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 A .90π B .63π C .42π D .36π 2017(二)10.已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ∠=?,2AB =, 11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A . 32 B . 155 C . 105 D . 33 2017(二)19.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ,o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点. (1)证明:直线CE ∥平面PAB ; (2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值. 2017(一)7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

2018年高考题分类汇编之立体几何

2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1.【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S?AB?C的平面角为θ3,则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2.【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4.【2018年新课标I卷文】在长方体中,,与平面所成的角为,则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5.【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6.【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7.【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8.【2018年全国卷II文】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9.【2018年天津卷文】如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________. 10.【2018年江苏卷】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5, BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体C DEFG 的体积。 2012,山东(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

(2010四川)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; 2010辽宁文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。

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