等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳： 1．概念与公式：

①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；

2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2

)

1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=

②等比数列：1°.定义若数列q a a a n

n n =+1

}{满足

（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1

1k

n k n n q

a q

a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)

1(111≠--=--=q q

q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =

2．简单性质：

①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a Λ

1°.若}{n a 是等差数列，则;23121Λ=+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121Λ=?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质：

1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2

b

a A +=

2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质：

1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n

n k k

k

k

a

a a 1

2131

2,,则

组成公差为n 2d 的等差数列；

2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n

k n

n k n

n k k

k

k

a

a a 1

21

31

2,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为

偶数时这个结论不成立）

⑤若}{n a 是等比数列，

则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,,ΛΛΛ++++组成公比这2

n q 的等比数列.

⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,

1°.若n 为奇数，则,,:(2

1+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶

数项的和）；

2°.若n 为偶数，则.2

nd

S S =

-奇偶 （二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或

q

a

，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3

3

3

2

aq aq q a q

a aq aq aq a ±±或

”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：

（Ⅰ）已知

c

b a 1

,1,1成等差数列，求证： （1）c b a b a c a c b +++,

,成等差数列； （2）2

,2,2b

c b b a ---成等比数列.

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

.

2,2,2,

)2(4)(2)2)(2)(2(;

,,.)(2)()(2)()1(),(222112222

22

2成等比数列成等差数列b

c b b a b

b c a b ac b c b a c b a b a c a c b b

c a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=

+++=++++=?=+?=+ΘΘ

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.

（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. ① ②

①

②

[解析]设公比为242

1281024

,142531==-n n a a a a a a a q ΛΛΘ

)1(2

42

11=??-n q

a

.7,2

35

25,

2)2()1(,2)(2

)1(2212810242

352

52

35

2

1

12

353

211235321==∴

==??=-+??=?=-++n n q a n q

a a a a a n

n n n 得代入得将而ΛΛ

（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列Λ

求数列.}{项和的前n k n

[解析],,,,1712

51751a a a a a a ?=∴成等比数列Θ

.

131

31

32}{,

132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111

111

115111121--=---?=-?=-+=-+=?=?=∴=+==

∴=∴≠=-?+?=+?---n n S n k k d k d d k a a d a a a d

a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列Θ

[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有

.

9

338

,926,9250,10,2,9

26

10,388,0643231680

3232))(()4()32)((22

2

22或原三数为或得或∴===∴=+-??????+==-+??????+-=-=++-a d d d d d

a a d d d a d a a a d a d a

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,

①②

①，②

??

?=+=-????=+=-∴+<-+-?=?==+-?=+?∈=++++-+-∴*25

21251,,,

2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与ΘΘ

解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）

（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列

{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）

（A ）13+=n a n

（B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a

3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则

y

c

x a +的值为 （ ） （A ）

2

1

（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，

y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）

（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）

（A ）22-=n a n

（B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2

6、已知))((4)(2z y y x x z

--=-，则 （ ）

（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）

z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z

y x 1

,1,1成等比数列 7、数列

{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

8、数列1

?,16

1

7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212

112

+--+n n n

9、若两个等差数列

{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足

5

524-+=

n n B A n n ，则

13

5135b b a a ++的值为 （ ）

（A ）

9

7 （B ）

7

8

（C ）

2019 （D ）8

7

10、已知数列

{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ）

（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60

11、已知数列

{}n a 的通项公式5+=n a n

为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列

的前n 项和为 （ ）

（A ）2)133(+n n （B ）53+n

（C ）23103-+n n （D ）2

31031-++n n

12、下列命题中是真命题的是 ( )

A ．数列

{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n

+=(0≠p )

B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n

++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C ．数列

{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n

ab a

D ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n

+=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q =

14、已知等差数列

{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则

18

6217

51a a a a a a ++++=

15、已知数列

{}n a 满足n n

a S 4

1

1+=,则n a =

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n

b a 是公比为q 的等比数列，46,10,132

1===b b b ，求公比q 及n b 。

18、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等，且都等于d )1,0(≠>d d ,11b a = ，333b a =,55

5b a =,求n n b a ,。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知{}n a 为等比数列，324202,3

a a a =+=，求{}n a 的通项式。

21、数列

{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列

{}n a 的通项公式；

（II ）若数列

{}n b 满足1

2

1114.4...4(1)()n

n

b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；

数列综合题

二、 填空题 13.

251+ 14. 2926 15. n

)3

1(34- 16. ±63 三、解答题

17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d

由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2

18.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① Θa 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②

②① ,得24

3151d d --=2，∴ d 2=1或d 2=5

1,由题意，d =55,a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1)d =55(n -6) b n =a 1d n -1=-5·(55)n -1 19.设这四个数为

a aq aq a q

a

-2,,, 则??

???=-++=?36)3(216·a aq aq a aq a q a

②① 由①，得a 3=216,a =6 ③ ③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18

20.解: 设等比数列{a n }的公比为q , 则q ≠0, a 2=a 3q = 2

q , a 4=a 3q =2q

所以 2q + 2q =203 , 解得q 1=1

3

, q 2= 3,

当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=183n －1 = 2×33－

n .

当q =3时, a 1= 29 , 所以a n =29

×3n －1=2×3n －

3.

21.解：(I)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得

()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公差为d

由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===

由题意可得()()()2

515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴()

213222

n n n T n n n -=+

?=+ 22（I ）：*

121(),n n a a n N +=+∈Q

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=

即 2*

21().n a n N =-∈

（II ）证法一：12111

44

...4(1).n n b b b b n a ---=+Q

12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= ③

21(1)20.

n n nb n b ++-++= ④

④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列。