数列通项公式求法配套练习题
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
1【典型例题】 1] a n (1) 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题ka n b 型。
(2)比较系数:{a na n2] a n 1(1)k例: 已知 解:a n a na n a na n 1a n，设a n1 mm mb1｝是等比数列， (a 1b 、 ) k 1f (n)型。
a n 1a n满足a 111 1n(n 1) n1 1 n 1n 1 1mb公比为k n 2 n 1时1时 1时 {a n } 1 1 b k 1 f(n)a nn 3ka nk(a n a n 1a n 1k n1a n 1 a nb ｛an｝是等差数列,a nb n 佝 b) a 3 a 2a 2a 1 1对这（n 个式子求和得:m)ka nkma n (a 1a na n a 1代）k n1f（n）可求和，则可用累加消项的方法。
1n （n 1）求｛a n ｝的通项公式。
a n 2- n(2)k1时,当 f(n) anb则可设a n -i A(n 1)B k(a n An B)a n 1ka n (k 1)A n (k 1)B A(k 1)A aa b aAaB -2(k 1)BA b解得：k 1，k 1(k 1).{a nAn B}是以a iAB为首项，k 为公比的等比数列a nAn B (a 1 A B)k n1a n@1A B)八 An B 将 A、B 代入即可(3) f (n) q n ( q 0, 1)a n 1 k a n1n 1n 1n等式两边同时除以q 得q q qq［例3］冇1 f (n)办型。
(1 )若f (n)是常数时，可归为等比数列。
(2)若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：a 11 a n 3，2n 1 a n 1 (n 2)求数列｛an｝的通项。
2n 1a na n 1 a n 2a 3 a 2 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 解:a n 1a n 2a n 3a 2a 1 2n1 2n 1 2n3 7 52 n 13 1a n a 12n 1 2n 1a n k1 nC n 1-C nq 则qqG} 可归为a n 1 ka n b型[例4]m a n 1 型。
求数列通项公式几种类型练习题(田中文数)
求数列通项公式几种类型练习题（文数）一、公式法（已知数列是等差或等比数列）例1设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且124,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）证明：1a d =； （Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．练习：1、已知数列{}()+-∈≥-==N n n a a a a n n n ,21213，满足，则通项公式=n a _________2、已知数列{}()++∈≥==N n n a a a a n n n ，，满足12213，则通项公式=n a _________二、利用n S 求n a根据21;;11≥=⎩⎨⎧-=-n n s s a a n nn 此公式进行求解。
已知n 与S n 的关系或a n 与S n 关系 例题1：(1) 若{}n a 的前n 项和n s =2n +2n .求n a(2) :若{}n a 的前n 项和332n n s a =-.求n a练习1：已知数列{}n a 的前n 项和为n s 且)(12+∈+=N n a s n n ，则=n a三、累差法例题2:已知1a =1 1-n a n a -=n 2-n .求n a分析:此时题目的特征是已知数列{n a }连续两项的差，即1+n a -n a =f(n)；故用累差法.练习1：已知数列{}n a 中，)(,111++∈+==N n n a a a n n ，则=n a练习2：)(2,111++∈+==N n a a a n n n四、累商法例题3:已知1a =1, n n a a 1+=nn 2+,求n a 分析: 此时题目的特征是已知数列{n a }连续两项的商, 即1+n a /n a =f(n)；故用累商法。
练习1：)(1,111++∈⋅+==N n a n n a a n n五、形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)———构造辅助数列已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a .变式：（1）已知数列}{n a 中，,03--3,211==+n n a a a 求通项n a .1：已知{}n a 的前项和为n S ，求n a（1）n n S n 322+= （2）23-=n n S （3）1log 2+=n S n ，求n a2：已知211=a ，)(23121++∈+++=N n n n a a n n 则数列{}n a 的通项公式=n a 。
(完整版)求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
数列的通项公式与求和112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)n n n n n na n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4n n n n nn n n a n S a a S n nS nS a +++====L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n nn n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列11211{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4112{},,,.31n n n n n a a a a a n +==+ 已知数列满足求111511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求111{}:1,{}.31n n nn n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式练习8 等比数列{}n a 的前n 项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++Λ练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…；练习5 练习6练习7练习10 求和：1111447(32)(31)n n+++⨯⨯-⨯+L练习11 求和：111112123123n ++++= +++++++LL练习12 设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111a b==，3521a b+=，5313a b+=（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S．答案练习1答案：练习2 证明： (1)注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)由(1)知，{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】[例1] b ka a n n +=+1型。
（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1比较系数：b m km =- ∴1-=k b m∴}1{-+k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a∴11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴1)1(11--⋅-+=-k bk k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。
（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知}{n a 满足11=a ，)1(11+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。
解：∵111)1(11+-=+=-+n n n n a a n n∴n n a a n n 1111--=-- 112121---=---n n a a n n213132---=---n n a a n n ……312123-=-a a 21112-=-a a对这（1-n ）个式子求和得：n a a n 111-=- ∴ n a n 12-=（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2)1(1-+-=k a k b B∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a∴B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）nq n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q a n n n n 111+⋅=++ 令n n n q a C =则q C q k C n n 11+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型[例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。
数列的通项公式练习题(通项式考试专题)
求数列通项公式专题练习1、 设n S 就是等差数列}{n a 得前n 项与,已知331S 与441S 得等差中项就是1,而551S 就是331S 与441S 得等比中项,求数列}{n a 得通项公式2、已知数列{}n a 中,311=a ,前n 项与n S 与n a 得关系就是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。
3、已知数列{}n a 中,11=a ,前n 项与n S 与通项n a 满足)2,(,1222≥∈-=n N n S S a n n n ,求通项n a 得表达式、4、在数列｛n a ｝中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 得表达式。
5、已知数}{n a 得递推关系为4321+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。
6、已知数列{}a n 得前n 项与S n b n n =+()1,其中{}b n 就是首项为1,公差为2得等差数列,数列{}a n 得通项公式7、已知等差数列{a n }得首项a 1 = 1,公差d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别就是等比数列{b n }得第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }得通项公式;lTsK3。
8、已知数列}{n a 得前n 项与为n S ,且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈.(Ⅰ)求数列}{n a 得通项公式;9、设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…,n ∈*N .(Ⅰ)求数列{}n a 得通项; 10、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，,求数列}a {n 得通项公式。
11、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，,求数列}a {n 得通项公式。
数列求与公式练习1、 设{}n a 就是等差数列,{}n b 就是各项都为正数得等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=(Ⅰ)求{}n a ,{}n b 得通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭得前n 项与n S .2、(){213}.nn n -⋅求数列前项和3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=、{}n a 得前n 项与为n S 、(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令211n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 得前n 项与n T 、4、已知等差数列{}n a 得前3项与为6,前8项与为-4。
专题一 数列通项公式的求法含答案
专题一 数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本节总结几种求解数列通项公式的方法。
一、用观察法求数列的通项：例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式；（1） 1716,109,54,21 （2） 1,0,,0 1（3） 3231,1615,87,43二、定义法：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
三、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项na 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例3：已知数列{}n a 的前n 项和为322++=n n S n ，求数列的通项公式。
（名49例2）变式训练：已知数列{}n a 的前n 项和为323-=n n a S ，求数列的通项公式。
（名师一号P70）点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．四、累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。
数列练习题——求数列的通项公式
数列练习题——求数列的通项公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．1303．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =( )A ．8B ．7C ．6D ． 54．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ． 25．一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ） A ．83 B ．108 C ．75 D ．636．等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+3log 57．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．2-8．已知等比数列}{n a 的前n 项和21n n S =-，则22212na a a +++等于（ ） A ．2(21)n - B ．1(21)3n- C ．41n - D ．1(41)3n-9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS = A ．1 B ．－1 C ．2 D ．5910．在等比数列{}n a 中，公比q 是整数，142318,12,a a a a +=+=则此数列的前8项和为（）A ．514B ．513C ．512D ．510 二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，满分20分．11．111(1)(2)()242n n ++++++＝ ．12．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n = ．13．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．14．在等差数列}{n a 中，10a <，912S S =，该数列前_______项的和最小.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 15．（本小题满分12分）设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且124,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）证明：1a d =； （Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和为n S ，且*1111,,3n n a a S n N +==∈． （Ⅰ）求234,,a a a 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） 求2462...n a a a a ++++的和．17．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥（Ⅰ）求23,a a ； （Ⅱ）证明213-=n n a ．18．求下列数列的通项公式（本小题满分14分） （1）111,3(2)n nn a a n a -==≥； （2）111,1(2)3n n a a a n -==-+≥；（3）n S 是{}n a 的前n 项和，121n n S +=-。
数列求通项公式常用方法与典型题目(附答案)
数列求通项公式常用方法与典型题目（附答案）（一）题型一累加法1．数列{}n a 中，11a =，()12,nn n a a n n n N --=≥∈，则na=___________．2．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，则n a =__________．3．如果数列{}n a 满足：()1111,22n n n a a a n --=-=≥，则n a =()A ．121n +-B ．1(1)21n n --⋅+C ．21n -D ．12n -4．在数列{}n a 中，10a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为()．A ．ln n a n =B ．()()1ln 1n a n n =-+C ．ln n a n n=D ．ln 2n a n n =+-5．设数列{}n a 中，112,1+==++n n a a a n ，则通项n a =___________．6．已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，则2018a =()A ．20182019⨯B ．20172018⨯C ．20162017⨯D ．20182018⨯（二）题型二累乘法1．已知数列{}n a 满足11a =，()12311111231n n a a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+>-．数列{}n a 的通项公式是______．2．已知11a =，()()1n n n a n a a n N ++=-∈，则数列{}n a 的通项公式是()A ．21n -B ．11n n n -+⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2n D ．n3．已知12a =，12nn n a a +=，则数列{}n a 的通项公式n a 等于()A ．2122n n -+B ．2122n n ++C ．2222n n -+D ．2222n n --4．在数列{}n a 中，11a =，()32122223n n a a a a a n n*++++=∈N ，则n a =______．（三）题型三公式法1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若()11,1,31n n a a S n +=≥=则n a =____________．2．数列{}n a 满足，123231111212222n n a a a a n ++++=+ ，写出数列{}n a 的通项公式__________．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n ，则a n ＝_____．4．若数列的前n 项和2133n n S a =+，则的通项公式是n a =________5．数列{}n a 的前n 项和23nn S =+，则其通项公式n a =________．6．数列{}n a 的前n 项和210n S n n =-，则该数列的通项公式为__________．7．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______．8．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若111,23n n a a S +==+，则数列{}n a 的通项公式为___________．9．已知数列{}n a 满足23123222241nnn a a a a ++++=- ，则{}n a 的通项公式___________________．10．数列{a n }满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋯+=∈，则a 1a 2a 3…a 10=()A ．551(2B ．1011()2-C ．911()2-D ．601()211．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，则这个数列的通项公式是()A ．()221n a n n =++B ．23nn a =⋅C ．32nn a =⋅D ．31n a n =+（四）题型四构造法1．数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =()A ．123n +-B ．23n -C ．23n +D ．123n --2．已知数列{}n a 中，112,21n n a a a +==+则n a =___________．3．已知数列{}n a 满足11a =132n n a a +=+，则{}n a 的通项公式为__________________．（五）题型五倒数法1．在数列{n a }中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于()A ．21n +B ．2n C ．3nD ．31n +2．若数列{}n a 满足11n n n a a a +=+，且123a =，则10a =___________．3．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a=，则n a =_____．4．已知数列{}n a 满足12,a =11n n n n a a a a ++-=，那么31a 等于()A ．130-B ．261-C ．358-D ．259-5．已知数列{}n a 满足递推关系111,12n n n a a a a +==+，则2017a =()A ．12016B ．12018C ．12017D ．120196．若数列{}n a 满足1121n n n a a a --=+(2n ≥，*n N ∈)，且112a =，则n a =()A ．12nB ．2n C ．1122n +-D ．222n +7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11nn n a a n N a +=∈+，则2020a =()A ．12018B ．12019C ．12020D ．12021（六）题型六周期数列1．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-(2n ≥，n ∈+N )，则2020a =()A ．12B ．1C ．1-D ．22．已知数列{}n a 中，13=4a ，111n n a a -=-(,2n N n +∈≥)，那么2020a 等于()A ．13-B ．34C ．2D ．43．已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =()A ．6B ．6-C ．3D ．3-参考解析（一）题型一累加法1．()12n n +【解析】()112,1,nn n a a n n n Na -=≥=-∈ ，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+ ()()()()112122n n n n n n +=+-+-++=≥ ，验证1n =时成立．()12n n n a +∴=．故答案为：()12n n +2．31,1,2n n N n*-≥∈【解析】因为121n n a a n n +=++，所以121111n n a a n n n n +-==-++，则当2,n n N *≥∈时，213211121123...111n n a a a a a a n n -⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪⎪⎪-=-⎪-⎩，将1n -个式子相加可得11111111...12231n a a n n n -=-+-++-=--，因为112a =，则1131122n a n n=-+=-，当1n =时，1311212a =-=符合题意，所以31,1,2n a n n N n *=-≥∈．故答案为:31,1,2n n N n*-≥∈．3．C 【解析】由题意可得,112n n n a a ---=，212a a ∴-=，2322a a -=，…112n n n a a ---=,以上1n -个式子相加可得,21122 (2)n n a a --=+++()12122212n n --==--，21n n a ∴=-,故选B ．4．A 【解析】由已知得()11ln ln 1ln n n n a a n n n ++⎛⎫-==+- ⎪⎝⎭，所以()1ln ln 1n n a a n n --=--()()12ln 1ln 2n n a a n n ---=---32ln 3ln 2a a -=-21ln 2ln1a a -=-将上述1n -个式子相加，整理的1ln ln1ln n a a n n -=-=又因为10a =，所以ln n a n =．故选A ．5.()112++n n 【解析】∵112,1+==++n n a a a n ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦ ()()()()11111111222n n n nn n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112++n n ；6.B 【解析】 数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，∴12n n a a n +-=，∴()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-，……212a a -=，累加得：()()()112123 (1212)n n n a a n n n --=++++-=⋅=-⎡⎤⎣⎦，又 10a =，∴()1n a n n =-，∴201820182017a =⋅．故选B ．(二）题型二累乘法1.1,1,22n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩【解析】1231111(1)231n n a a a a a n n -=++++>- ，11a =当2n =时，211a a ==当2n >时，112311111231n n n a a a a a a n n+-∴=+++++- ，两式相减得：11n n n a a a n +-=，即11n n n a a n++=，∴11n n a n a n++=，11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，⋯3232a a =，累乘得：22n a n a =，所以2n na =，()2n >1,1,22n n a n n =⎧⎪∴=⎨≥⎪⎩，故答案为：1,1,22n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩2.D 【解析】由()()1n n n a n a a n N ++=-∈得：()()11n n n a na n N +++=∈，即()11n n a n n N a n+++=∈，则11n n a n a n -=-，1212n n a n a n ---=-，2323n n a n a n ---=-，……．．，2121a a =，由累乘法可得1na n a =，又因为11a =，所以n a n =．故选：D ．3.C 【解析】1122nn n n n n a a a a ++=∴= 当n ≥2时，2212122112122222nn n n n n n n n a a a a a a a a -+-----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ，经检验，1a 也符合上述通项公式．本题选择C 选项．4.21n n +【解析】由题意得：当2n ≥时，()31211222231n n a a a a a n --++++=- ，所以12n n n a a a n-=-，即()2211n n na n a --=，也即是11+1n n n n n a a n --=，所以121+1221211n n n n n a n n n a a a n ---===-=-= ，所以21n n a n =+，故答案为：21nn +．（三）题型三公式法1.21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．【解析】()13,1n n a S n N n ++=∈∴= 时，23,2a n =≥时，13n n a S -=，可得13n n n a a a +-=，即14,n n a a +=∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，2n ≥时，=n a 234n -⋅，故答案为21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．2.16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩【解析】因为123231111212222n n a a a a n ++++=+ ,所以()12312311111121122222n n n n a a a a a n +++++++=++ ,两式相减得11122n n a ++=，即12,2n n a n +=≥，又1132a =，所以16a =，因此16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩3.2n 【解析】由题,当1n =时,21112a =+=,当2n ≥时,()()1112nn n a S S n n n n n -=-=+--=．当1n =时也满足．故2n a n =．故答案为：2n4.()12n --【解析】当n =1时，1112133a S a ==+，解得11a =，当n ≥2时，1n n n a S S -=-121213333n n a a -⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12233n n a a -=+，整理可得12313n n a a -=-，即12n n a a -=-，故数列{}n a 以1为首项，2-为公比的等比数列，所以()12n n a -=-，故答案为：()12n --．5.15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩【解析】当1n =时，11235a =S =+=；当2n ≥时，11123232n n n n n n a S S ---=-=+--=；故15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩故答案为：15,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩6.211n a n =-【解析】221110,11019,n S n n a S =-∴==-⨯=- 当2n ≥时()()221101101211,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦当1n =时也适合，故211n a n =-．即答案为211n a n =-．7.1(2)n n a -=-；【解析】当n=1时，a 1=S 1=23a 1+13，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n-1=(2133n a +)-(12133n a -+)=23n a -123n a -整理可得13a n ＝−23a n−1，即1n n a a -=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a n =1×(-2)n-1=(-2)n-1故答案为(-2)n-1．8.21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】n S Q 为数列{}n a 的前n 项和，111,23n n a a S +==+——①2n ≥时，123n n a S -=+——②①-②，得：12n n n a a a +=-，13n na a +∴=13n na a +∴=，21235a a =+= ，∴数列{}n a 的通项公式为21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．故答案为：21,153,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．9.a n ＝3•2n ﹣2【解析】∵数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+…+2n a n ＝4n ﹣1，∴当n ≥2时，2n a n ＝(4n ﹣1)﹣(4n ﹣1﹣1)，化为a n ＝3•2n ﹣2．当n ＝1时，2a 1＝4﹣1，解得132a =，上式也成立．∴a n ＝3•2n ﹣2．故答案为a n ＝3•2n ﹣2．10.A 【解析】n =1时,a 1=12,∵211232222n n n a a a a -+++⋯+=,∴2n ≥时,22123112222n n n a a a a ---+++⋯+=,两式相减可得2n -1a n =12,∴12n n a =,n =1时，也满足∴12310a a a a = 55231012310111111222222++++⎛⎫⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,故选A11.B 【解析】由332n n S a =-，当2n ≥时，1113333332222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13nn a a -=，当1n =时，111332S a a ==-，此时16a =，所以，数列{}n a 是以6为首项，3为公比的等比数列，即16323n n n a -=⋅=⋅．故选：B ．（四）题型四构造法1.A 【解析】因为()1231n n a a n +=+≥，所以132(3)n n a a ++=+，即数列{3}n a +是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1342n n a -+=⋅，故1142323n n n a -+=⋅-=-，故选：A2.1321n -⋅-【解析】因为121n n a a +=+，所以()112221n n n a a a ++=+=+且1130a +=≠，所以1121n n a a ++=+，所以{}1n a +是以3为首项，2为公比的等比数列，所以1132n n a -+=⋅，所以1321n n a -=⋅-，故答案为：1321n -⋅-．3.1231n -⨯-【解析】因为132n n a a +=+，11a =，所以()113331n n n a a a ++=+=+，即1131n n a a ++=+所以{}1n a +以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯所以1231n n a -=⨯-故答案为：1231n -⨯-（五）题型五倒数法1.B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11111=,2n n n a a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，11a =12，根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n nn a =+-⨯=，故n a =2n．故答案为：B ．2.219【解析】11n n n a a a +=+ 11111n n n n a a a a ++∴==+，即1111n na a +-=∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1132a =为首项，1为公差的等差数列()131211222n n n n a -∴=+-=-=221n a n ∴=-10219a ∴=故答案为：2193.1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【解析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n nS S +-=()n N *∈1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1nn n S ∴=+-⨯=，1n S n ∴=，当2n ≥时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩4.D 【解析】11n n n n a a a a ++-= ,1111n n a a +∴-=,即1111n n a a +-=-,又12,a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为1-的等差数列,132n n a ∴=-+,3113593122a ∴=-+=-,故31259a =-,故选:D ．5.B 【解析】由11n n n a a a +=+，所以11111n n n n a a a a ++==+则1111n n a a +-=，又112a =，所以112a =所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公比的等差数列所以11n n a =+，则11n a n =+所以201712018a =故选：B6.A 【解析】当2n ≥且n *∈N ，在等式1121n n n a a a --=+两边取倒数得11121112n n n n a a a a ---+==+，1112n n a a -∴-=，且112a =，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，因此，()12212n n n a =+-=．12n a n∴=故选：A ．7.C 【解析】11n n n a a a +=+ ，∴两边同时取倒数得11111n n n n a a a a ++==+，即1111n n a a +-=，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差1d =的等差数列，首项为111a =．则11(1)1n n n a =+-⨯=，得1n a n =，则202012020a =，故选：C (六）题型六周期数列1.A 【解析】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=，可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===．故选：A ．2.B 【解析】因为13=4a ，111n n a a -=-，所以211113a a =-=-，32114a a =-=，431314a a =-=，…所以数列{}n a 是以3为周期的数列，所以202067331134a a a ⨯+===，故选：B 3.B 【解析】因为21n n n a a a ++=-,①则321n n n a a a +++=-,②①+②有:3n n a a +=-,即63n n a a ++=-,则6n n a a +=,即数列{}n a 的周期为6,又123,6a a ==,得3453,3,6a a a ==-=-，63a =-,则2016a =633663a a ⨯==-,故选:D ．。
经典的数列通项公式与数列求和练习题(有答案)
经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。
以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。
解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。
练题2：求斐波那契数列的前20项的和。
解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。
以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。
解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。
练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。
解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。
三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。
以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。
解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。
练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。
解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。
高中数学数列通项公式的求法练习试题
数列通项公式的求法一、观察法（略）：由给出的前几项归纳出一个通项公式．（适用于以下所有类型） 二、定义法:直接利用等差数列或等比数列的定义求通项．(基本量计算)例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.三、利用n S 和n a 的关系：利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解(可正用与反用) ．例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n a S n n 22+=，求数列{}n a 的通项公式.例3．已知{a n }是各项为正的数列，且S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求a n 与S n .例4．设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S四、由递推式求数列通项法类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+⇒)(1n f a a n n =-+累加法例5． 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a ．说明：此类型中的)(n f 可以是任何求和的数列，如b an n f +=)(，nq c n f ⋅=)(等．类型2 递推公式为n n a n f a )(1=+⇒)(1n f a a nn =+累乘法 例6． 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a ．类型3 a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0） （以下类型的问题一般会有一步证明作铺垫） 设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1-p q，从而得等比数列{a n +k }． 例7．数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式．类型4 ()n f pa a n n +=+1，且()n f 为n 的一次式，可转化为数列{a n +An+B }例8．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a ．类型5 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数）两边同除以1+n q，得：q q a q p qa n n n n 111+∙=++，从而化归为类型3． 例9 ．已知数列{}n a 满足11=a ，123-+=n nn a a )2(≥n , 求n a ．例10．已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a ．类型6 b k p ba k a p a n nn ,,(1+⋅⋅=+都不为零），此类型主要掌握b p =时的情形．例11．在数列{n a }中，已知,11=a 1211+=--n n n a a a （n ≥2），求通项公式n a ．“数列通项公式的求法”课外作业一姓名：1.已知无穷数{}n b 满足11b =，112nn n b b +⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式.2.已知数列}{n a 满足,11=a 11+=-+n a a n n ，求数列}{n a 的通项公式.3.已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.4.已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a .5.已知数列{}n a 中,12211,(1),k k k a a -==+-且a 2123kk k a a +=+,其中1,2,3,k =……，求数列{}n a 的通项公式.6.已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，求数列{a n } 的通项公式.7.已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式.8.数列{a n }中，)2(02,111≥=+⋅=-n a S S a n n n ，求数列{a n }的通项公式.9.设数列{a n }为等比数列，T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，已知T 1＝1，T 2＝4. (1)求数列{a n }的首项和公比； (2)求数列{T n }的通项公式．。