市场调查与分析第十二章抽样估计与样本容量确定
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表示。 ❖ 样本分布是单个样本所有单位的频率分布。样本分
布是已知的。样本均值用 x 表示，标准差用S表示。
❖ 样本均值的抽样分布是从一个特定总体中抽取的给 定容量的所有可能样本的平均值的概率分布。
❖ 总体的分布、样本分布可能不一定是正态分 布，但是根据中心极限定理，样本平均值的 抽样分布必定是正态分布。
❖ 对于正态分布来说 管的是曲线的位置， 管的是曲线的胖瘦。
❖ 不同的样本量确定的样本平均值抽样分布其
和 不同，所以对于规定的置信区间来说，
大样本的平均值的抽样分布更“集中”，误 差也小；从另一方面，如果误差确定，大样 本的平均值的置信度更高。
❖ 计算总体均值的区间估计，就是想获得样本
均值抽样分布的 和 ，从而根据置信度
确定置信区间，然后在点估计的基础上确定 区间估计。
❖ 例：从一个500人的总体中，采用简单随机抽 样抽出一个10人的样本，每个入样单元的年 龄见下表。求平均年龄估计值的抽样方差、 标准差，并计算在95% 的置信水平下的误差 限于相应的置信区间。
样本单元
年龄
1
21
2
26
3
27
4
32
5
34
6
37
7
38
下任意两个变量值之间的区域面积等于观察值处于 这两个变量值之间的概率。
❖ 5.任何正态分布都可以通过简单的转化，变为标准 正态分布。其转化公式为 Z变变 量变 量 值量 标平 准均 X 差 值
❖ 正态分布具有良好的统计性质，如果一个变 量符合正态分布就可以很方便的对它进行估 计。
❖ 举例，利用标准正态分布进行区间估计：
8
40
9
42
10
47
合计
估计值-平均数 离差的平方
-13.4
179.56
-8.4
70.56
-7.4
54.76
-2.4
5.76
-0.4
0.16
2.6
6.76
3.6
12.96
5.6
31.36
7.6
57.76
12.6
158.76
578.4
❖ 1.计算点估计值：x =（21+26+……+47）/10=34.4
第十二章
抽样估计与样本容量确定
抽样估计的基本思路
❖ 市场调查的目的就是通过样本的数据来推测总体参 数，从而估计总体特征。例如我们想知道总体的平 均值就可以用样本的平均值来估计。
❖ 用样本均值来代替总体均值就是点估计，然而点估 计虽然计算很简单，却只有在很少的情况下才完全 正确，因此人们更偏向于区间估计。所谓区间估计 就是对总体值落在某一范围内的可能性的推断。
❖ 5.置信区间为（34.4-4.9，34.4+4.9）即（29.5， 39.3）
样本量的确定
❖ 在确定概率抽样样本容量的过程中涉及财务、统计 和管理3个方面的问题。在其它条件相同的情况下， 样本越大，抽样误差就越小。但样本越大，耗费的 资金也越多。
❖ 而且，虽然抽样成本随着样本容量的增加呈线性递 增（样本容量增加一倍，成本也增加一倍），抽样 误差却只以相当于相应样本容量增长幅度的平方根 的速度递减。
❖ 下来我们以对总体均值的估计为研究对象， 对这些基础知识进行一个简单的回顾。
❖ 一、正态分布——重要的统计分布
❖ 正态分布是一种钟形的、相对于其平均值对称的连 续性分布。正态分布的统计特征在于：
❖ 1.只有一个众数。 ❖ 2.相对于其平均值对称。 ❖ 3. 正态分布由其平均值和标准差唯一确定。 ❖ 4.正态分布曲线下方的总面积等于1，正态分布曲线
❖ 换句话说，如果样本容量增加到原来的4倍，数据 收集成本也将增加到原来的4倍，但抽样误差将只 减少1/2.
❖ 最后，样本容量的确定还必须考虑管理问题：要求 多高的估计精确度（抽样误差）？
确定样本容量的意义
小样本容量 节省费用但 调查误差大
调查误差
样本容量
调查费用
找出在限定费用 范围内的最大样 本容量
❖ 设待估的总体参数为 X ，样本的平均值为 x 假设 x 符合标准正态分布，则：
即 ❖
PX-x
Z 1
2
P x-ZXxZ 1
2
2
❖ 正态分布在统计推断中处于特别重要的地位。 原因在于：
❖ 1.许多变量的概率分布都接近正态分布，如 消费者消费掉的软饮料数量、爱吃快餐的人 平均每月去快餐店的次数等。
nN
当总体方差未知时，它可以用下式来估计：源自文库
ˆ2 Sˆ2 (1 n)
nN
❖ 设e为误差则：
❖ 2.正态分布在理论上重要，根据中心极限定 理，任何总体不论其分布如何，随着样本容 量的增加，样本均值趋近于正态分布
❖ 3.许多离散性概率分布也近似于正态分布。
总体分布、样本分布和抽样分布
❖ 总体分布是总体中所有单位的频率分布，总体的分 布存在多种形式，一般情况下总体分布是未知的。
总体分布的平均值用 表示，总体分布的标准差用
❖ 实例：××路，工作日日人流总量定值估计值为 771356人，在95%的概率保证程度下的区间估计值 为726235人～816478人；非工作日日人流总量定 值估计值为712113人，在95%的概率保证程度下的 区间估计值为652891人～771335人。
❖ 要实现对总体的估计必须要了解一些基本的 信息，包括总体的标准差情况、置信度、抽 样分布等等内容。
❖ 2.计算抽样方差的估计值：
计算每个人的年龄与其平均数的差；计算离差的平方； 以离差的平方和除以样本量减1的值作为总体方差 的估计值（64.27）；以总体方差的估计值处以样本 量得到抽样方差的估计值（6.4）。
❖ 3.标准差为抽样方差的平方根（2.5）
❖ 4.95%置信度下的误差限为1.96*2.5=4.9
找出在规定误差 范围内的最小样 本容量
大样本容量 调查精度高 但费用较大
❖ 确定样本容量的方法： ❖ 可支配预算 ❖ 单凭经验的做法 ❖ 要分析的子群数 ❖ 传统的统计方法
影响样本容量的因素
❖ 1.误差限 ❖ 2.总体的变异程度 ❖ 3.总体大小（如果样本容量占总体比例较小
则影响不大） ❖ 4.抽样设计 ❖ 5.调查的回答率
给定均值精度，计算简单随机抽样样 本量
N
(Yi Y)2
❖ 总体方差的计算公式为：S2 i1 ❖ 对于简单随机样本，S2的一个无N偏估1 计量是：
n
(Yi Y)2
❖ Sˆ 2 i1 n 1
其中 是样本均值。
Y
❖ 对于不放回简单随机抽样，可以证明样本均
值的抽样方差公式为：
2 S2 (1 n)
布是已知的。样本均值用 x 表示，标准差用S表示。
❖ 样本均值的抽样分布是从一个特定总体中抽取的给 定容量的所有可能样本的平均值的概率分布。
❖ 总体的分布、样本分布可能不一定是正态分 布，但是根据中心极限定理，样本平均值的 抽样分布必定是正态分布。
❖ 对于正态分布来说 管的是曲线的位置， 管的是曲线的胖瘦。
❖ 不同的样本量确定的样本平均值抽样分布其
和 不同，所以对于规定的置信区间来说，
大样本的平均值的抽样分布更“集中”，误 差也小；从另一方面，如果误差确定，大样 本的平均值的置信度更高。
❖ 计算总体均值的区间估计，就是想获得样本
均值抽样分布的 和 ，从而根据置信度
确定置信区间，然后在点估计的基础上确定 区间估计。
❖ 例：从一个500人的总体中，采用简单随机抽 样抽出一个10人的样本，每个入样单元的年 龄见下表。求平均年龄估计值的抽样方差、 标准差，并计算在95% 的置信水平下的误差 限于相应的置信区间。
样本单元
年龄
1
21
2
26
3
27
4
32
5
34
6
37
7
38
下任意两个变量值之间的区域面积等于观察值处于 这两个变量值之间的概率。
❖ 5.任何正态分布都可以通过简单的转化，变为标准 正态分布。其转化公式为 Z变变 量变 量 值量 标平 准均 X 差 值
❖ 正态分布具有良好的统计性质，如果一个变 量符合正态分布就可以很方便的对它进行估 计。
❖ 举例，利用标准正态分布进行区间估计：
8
40
9
42
10
47
合计
估计值-平均数 离差的平方
-13.4
179.56
-8.4
70.56
-7.4
54.76
-2.4
5.76
-0.4
0.16
2.6
6.76
3.6
12.96
5.6
31.36
7.6
57.76
12.6
158.76
578.4
❖ 1.计算点估计值：x =（21+26+……+47）/10=34.4
第十二章
抽样估计与样本容量确定
抽样估计的基本思路
❖ 市场调查的目的就是通过样本的数据来推测总体参 数，从而估计总体特征。例如我们想知道总体的平 均值就可以用样本的平均值来估计。
❖ 用样本均值来代替总体均值就是点估计，然而点估 计虽然计算很简单，却只有在很少的情况下才完全 正确，因此人们更偏向于区间估计。所谓区间估计 就是对总体值落在某一范围内的可能性的推断。
❖ 5.置信区间为（34.4-4.9，34.4+4.9）即（29.5， 39.3）
样本量的确定
❖ 在确定概率抽样样本容量的过程中涉及财务、统计 和管理3个方面的问题。在其它条件相同的情况下， 样本越大，抽样误差就越小。但样本越大，耗费的 资金也越多。
❖ 而且，虽然抽样成本随着样本容量的增加呈线性递 增（样本容量增加一倍，成本也增加一倍），抽样 误差却只以相当于相应样本容量增长幅度的平方根 的速度递减。
❖ 下来我们以对总体均值的估计为研究对象， 对这些基础知识进行一个简单的回顾。
❖ 一、正态分布——重要的统计分布
❖ 正态分布是一种钟形的、相对于其平均值对称的连 续性分布。正态分布的统计特征在于：
❖ 1.只有一个众数。 ❖ 2.相对于其平均值对称。 ❖ 3. 正态分布由其平均值和标准差唯一确定。 ❖ 4.正态分布曲线下方的总面积等于1，正态分布曲线
❖ 换句话说，如果样本容量增加到原来的4倍，数据 收集成本也将增加到原来的4倍，但抽样误差将只 减少1/2.
❖ 最后，样本容量的确定还必须考虑管理问题：要求 多高的估计精确度（抽样误差）？
确定样本容量的意义
小样本容量 节省费用但 调查误差大
调查误差
样本容量
调查费用
找出在限定费用 范围内的最大样 本容量
❖ 设待估的总体参数为 X ，样本的平均值为 x 假设 x 符合标准正态分布，则：
即 ❖
PX-x
Z 1
2
P x-ZXxZ 1
2
2
❖ 正态分布在统计推断中处于特别重要的地位。 原因在于：
❖ 1.许多变量的概率分布都接近正态分布，如 消费者消费掉的软饮料数量、爱吃快餐的人 平均每月去快餐店的次数等。
nN
当总体方差未知时，它可以用下式来估计：源自文库
ˆ2 Sˆ2 (1 n)
nN
❖ 设e为误差则：
❖ 2.正态分布在理论上重要，根据中心极限定 理，任何总体不论其分布如何，随着样本容 量的增加，样本均值趋近于正态分布
❖ 3.许多离散性概率分布也近似于正态分布。
总体分布、样本分布和抽样分布
❖ 总体分布是总体中所有单位的频率分布，总体的分 布存在多种形式，一般情况下总体分布是未知的。
总体分布的平均值用 表示，总体分布的标准差用
❖ 实例：××路，工作日日人流总量定值估计值为 771356人，在95%的概率保证程度下的区间估计值 为726235人～816478人；非工作日日人流总量定 值估计值为712113人，在95%的概率保证程度下的 区间估计值为652891人～771335人。
❖ 要实现对总体的估计必须要了解一些基本的 信息，包括总体的标准差情况、置信度、抽 样分布等等内容。
❖ 2.计算抽样方差的估计值：
计算每个人的年龄与其平均数的差；计算离差的平方； 以离差的平方和除以样本量减1的值作为总体方差 的估计值（64.27）；以总体方差的估计值处以样本 量得到抽样方差的估计值（6.4）。
❖ 3.标准差为抽样方差的平方根（2.5）
❖ 4.95%置信度下的误差限为1.96*2.5=4.9
找出在规定误差 范围内的最小样 本容量
大样本容量 调查精度高 但费用较大
❖ 确定样本容量的方法： ❖ 可支配预算 ❖ 单凭经验的做法 ❖ 要分析的子群数 ❖ 传统的统计方法
影响样本容量的因素
❖ 1.误差限 ❖ 2.总体的变异程度 ❖ 3.总体大小（如果样本容量占总体比例较小
则影响不大） ❖ 4.抽样设计 ❖ 5.调查的回答率
给定均值精度，计算简单随机抽样样 本量
N
(Yi Y)2
❖ 总体方差的计算公式为：S2 i1 ❖ 对于简单随机样本，S2的一个无N偏估1 计量是：
n
(Yi Y)2
❖ Sˆ 2 i1 n 1
其中 是样本均值。
Y
❖ 对于不放回简单随机抽样，可以证明样本均
值的抽样方差公式为：
2 S2 (1 n)