高中数学余弦定理

垂直于CB的直线为y轴，建立如图所
示的坐标系，则A、B、C三点的坐标
分别为：
x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
a2 b2 2abcosC
c2=a2+b2-2ab·cosC
cosA= b2+c2 - a2 2bc
cosB= c2+a2 - b2 2ca
cosC= a2+b2 - c2 2ab
11
12
剖析 剖 析 定 理
问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
问题2：公式的结构特征怎样？
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B a C c2=a2+b2-2ab·cosC 三角形任何一边的平方
你等于能其用他两文边字平方说的明和减吗去？
这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
10
归纳 A
变一变乐在其中
a2=b2+c2-2bc·cosA
c b b2=c2+a2-2ca·cosB
B
aC
变形
1
2
看一看想一想
直角三角形中的边a、
b不变，角C进行变动
AAA AA AA
AA
ccccc cbc bbb bb c b c b
B a CB a C
B aC
c2 = a2+b2 c2 ＞ a2+b2 c2 ＜ a2+b2
勾股定理仍成立吗？ 3
联想 是寻找解题思路的最佳途径
A
c b
c=∣AB∣
B aC
A 900 a2 b2 c2
P14例3
A 900 a2 b2 c2
P15练习2,3
15
剖析 剖 析 定 理
（4）能否把式子a2 b2 c2 2bccos A 转化为角的关系式？
分析： 由 正 弦 定 理: a b c 2R sin A sin B sinC
得 : a 2Rsin A b 2RsinB c 2RsinC
sin2 600 3
16
4
剖析 剖 析 定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
们的夹角，求第三 a2 = b2 +c2 - 2bccosA
（1）轮换对称，简洁优美;
（2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
13
思考：
已知两边及一边的对角时， 我们知道可用正弦定理来解三 角形，想一想能不能用余弦定 理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
14
剖析 剖 析 定 理
（3）已知a、b、c（三边），可
c2=
AB= AC+ CB
=AB AB
AB AB= (AC+CB) (AC+CB)
算一算试试！ 4
证明
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：
c2 a2 b2 2ab cosC
A
证明： AB AC CB
b
c
AB• AB (AC CB) • (AC CB)
以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cosC a 2 b2 c 2 2ab
A 900 a2 b2 c2
b A
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
c
b2c22bccos A
D
B 同理有：b2 a2c22accos B
c2a2b22abcosC
当然，对于钝角三角形来说，证明 类似，课后 自己完成。
9
归纳 A
余弦定理
a2=b2+c2-2bc·cosA
AC • AC 2AC • CB CB • CB C a
B
∴ห้องสมุดไป่ตู้
uur AB
2
=
uur AC
2
+2
uur AC
uur CB cos(1800 -C)+
uur CB
2
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
5
证明
rr rr
格式二：逆用公式 a b a b cos
证明： b2 + c 2 －2 b c ·cos A
边和其他两个角.
b2 = a2 +c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
P14例1、例2 17
例二.A, B两地之间隔着水塘(如图),现选择另一点C.
测得CA 182米,CB 126米,ACB 63,
求A, B两地间的距离(精确到1米).
A
B
Ex.用余弦定理证明:在ABC中, (1)当C为锐角时, a2 b2 c2; (2)当C为钝角时, a2 b2 c2 .
2
2
= AC ＋ AB －2· AC ·AB ·cos A
2
2
= AC + AB －2· AC ·AB
C
B
2
=（ AC － AB ）
A
2
= BC
2
同理可证：
= BC
=a2
b2 = a 2 ＋c2 －2· b c ·cos B
c2 = a2 ＋b2 －2· ab cos C
6
证明
解析法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
7
C 证明
几何法
余弦定理作为勾股定理
b
a
的推广，考虑借助勾股定
理来证明余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
8
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
代入a2 b2 c2 2bc cos A并化简得 :
sin2 A sin2 B sin2 C 2sinB sinC cos A
练习: 求sin2 700 sin2 500 sin 700 sin 500的值.
解 :原式 sin2 700 sin2 500 2sin700 sin500 cos600
C
18
运用 会用才是真的掌握了
余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？
角边角
角角边 边边角
正弦定理
边角边 边边边
余弦定理
19
练一练：P15练习1，4
1、已知△ABC的三边为 、2、 1，求它的最大内角。