中位线定理证明题

中位线定理证明题1、 如图，若CD AB //，E 、F 分别是BC 、AD 的中点， 且a AB =，b CD =，求EF 的长2、已知矩形ABCD 中，cm AB 15=，cm BC 8=，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求四边形EFGH 的周长和面积3、 如图，已知四边形ABCD 中，BC AD //， 若DAB ∠的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ， 且BE 平分ABC ∠，求证：BC AD AB +=4、如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥，垂足为D ，M 是BC 的中点，cm AB 10=，求MD 的长5、 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆三边的中点，G 是AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，求BE PQ :的值6、 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥， AC DE //，交AB 于E ，若5=AB ，求DE 的长7、连接凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半，问这个凸四边形是什么四边形？试证明你的结论8、分别以ABC ∆的边AC 和BC 为一边，在ABC ∆外作正方形ACDE 和CBFG ，点P 是EF 的中点，如图，求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半9、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠30B ，︒=∠60C ，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知7=BC ，3=MN ，求EF 的值10、如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠=∠90ADC DCB ，E 为AB 中点，求证：DE CE =11、如图，已知梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠=∠90D DAB ，ACB ∆是等边三角形，梯形中位线m EF 43=，求梯形的下底AB 的长 12、如图，梯形ABCD 的面积是12，求此梯形四边的中点组成的四边形EFGH 的面积13、如图，已知A 为DE 的中点，设DBC ∆、ABC ∆、EBC ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，求1S 、2S 、3S 之间的关系14、如图，在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，以AB 、AC 为向形外作等边三角形ABD 和ACE ，M 为AD 中点，N 为AE 中点，P 为BC 中点，试求MPN ∠的度数15、如图，以ABC ∆的边AB 、AC 为斜边向外作直角三角形ABD 和ACE ，且使ACE ABD ∠=∠，M 是BC 的中点，求证：EM DM =中位线定理证明题答案：1、解：连结AC ，取AC 中点G ，连结EG 、FG ΘE 、F 分别是BC 、AD 的中点∴EG 、FG 分别是ACB ∆、ACD ∆的中位线∴AB EG //，AB EG 21=，CD FG //，CD FG 21= ΘCD AB //，∴FG EG //，∴E 、F 、G 三点在一条直线上)(21AB CD EG FG EF -=-=∴，Θa AB =，b CD =，∴)(21a b EF -=2、解：连结AC 、BDΘBE AE =，CF BF =，DG CG =，AH DH =AC EF 21=∴，BD FG 21=，AC GH 21=，BD HE 21=Θ矩形ABCD 中，BD AC =，HE GH FG EF ===∴， ∴四边形EFGH 是菱形， 在ABC Rt ∆中，)(178152222cm BC AB AC =+=+=∴四边形EFGH 的周长为cm 34，)(602cm S EFGH =菱形3、证明：取AB 中点F ，连结EFΘBC AD //，∴︒=∠+∠180CBA DAB ΘABE CBE ∠=∠，BAE DAE ∠=∠∴︒=∠=∠90EAB EBA ，∴︒=∠90AEB ，AB EF 21=∴ ΘBF AF =，DE CE =，)(21BC AD EF +=∴，BC AD AB +=∴ 4、解：取AB 中点N ，连结DN 、MN在ABD Rt ∆中，AB BN DN 21==，NDB B ∠=∠∴，BN AN CM BM ==,Θ，AC MN //∴，C NMD ∠=∠∴C B ∠=∠2Θ，NMD NDB ∠=∠∴2，NMD DNM NDB ∠+∠=∠Θ NMD DNM ∠=∠∴，MD ND =∴，Θcm AB 10=，cm MD 5=∴5、解：ΘCD BD =，AF BF =，∴AC DF //，CE DP CD BD //,=Θ 在BCE ∆中，可得EP BP =，∴CE DP 21=，AG EG CE AE ==,Θ ∴EG PD =，在QPD ∆和QEG ∆中QEG QPD ∠=∠，EG PD =， QGE QDP ∠=∠QPD ∆∴≌QEG ∆，QE QP =∴，BE PE QP 4121==∴，4:1:=∴BE PQ 6、解：延长BD 、AC 相交于K ，在ABD ∆和AKD ∆中21∠=∠，AD AD =，︒=∠=∠90ADK ADB ，ABD ∆∴≌AKD ∆ KD BD =∴，AK AB =AC DE //Θ，AE BE =∴，AK DE 21=∴，5=AB Θ，25=∴DE7、证明：连结BD ，取BD 中点M ，连结EM 、FM ΘE 、F 分别是AB 、CD 的中点∴AD EM 21=，BC FM 21=，且AD EM //，BC FM // ∴)(21BC AD FM EM +=+，FM EM EF +=∴，M ∴点在EF 上AD BC //∴，∴四边形ABCD 是平行四边形或梯形 8、证明：作AB EM ⊥，AB FN ⊥，AB PQ ⊥，AB CH ⊥， 垂足分别是M 、N 、Q 、H∴FN CH PQ EM //////，FP EP =Θ，∴NQ MQ =，)(21FN EM PQ +=∴ ︒=∠90EAC Θ，︒=∠+∠∴90BAC EAM︒=∠+∠90AEM EAM Θ，BAC AEM ∠=∠∴ ︒=∠=∠90AHC M Θ，AC AE =EAM ∆∴≌ACH ∆，AH EM =∴，同理可得BH FH =BH EM BH AH AB +=+=∴，AB PQ 21=∴9、过点N 作AB NG //，CD NH //，分别交BC 于G 、H ， BC AD //Θ∴四边形ABGN 、NHCD 是平行四边形∴BG AN =，NG AB //，HC ND =，CD NH // B NGM ∠=∠Θ，C NHM ∠=∠ Θ︒=∠30B ，︒=∠60C ︒=∠+∠∴90NHM NGM ︒=∠∴90GNHCM BM =Θ，DN AN = HM GM =∴62==∴MN GH ，1=-=+=∴GH BC ND AN AD∴EF 是梯形ABCD 的中位线，∴4)(21=+=BC AD EF10、证明：取CD 中点F ，连结EFBE AE =Θ，∴BC EF //，︒=∠90DCB Θ，︒=∠∴90EFD CD EF ⊥∴，∴EF 是CD 的垂直平分线，DE CE =∴11、解：在等边CAB ∆中，AB AC =，︒=∠60CAB ︒=∠90DAB Θ，︒=∠∴30DAC∴在ACD Rt ∆中，AB AC CD 2121==EF Θ是梯形的中位线，)(21AB CD EF +=∴m AB AB 43)21(21=+∴ m AB =∴，∴梯形的下底AB 的长为m 12、解：连结BD 、AC ，取BD 中点O 连结EO 、HOBE AE =Θ，DH AH =，AD EO //∴，AB HO //，BD EH // ∴四边形AEOH 、EBOH 、EODH 都是平行四边形EBO ODH EOH AEH S S S S ∆∆∆∆===∴，ABD AEH S S ∆∆=∴41同理可得CBD CFG S S ∆∆=41，ACD DHG S S ∆∆=41，ABC BEF S S ∆∆=416=∴EFGH S 四边形13、解：分别过D 、A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为M 、H 、N ， 则EN AH DM ////，AE AD =Θ，NH MH =∴)(21EN DM AH +=∴，23122212121S AH BC EN BC DM BC S S =⋅=⋅+⋅=+∴)(21312S S S +=∴14、证明：连结DE 、MN 、BM 、CN︒=∠120BAC Θ，︒=∠60EAC ，︒=∠60DAB︒=∠+∠∴180EAC BAC ︒=∠+∠180DAB BACB ∴、A 、E 三点共线，C 、A 、D 三点共线 在BAC ∆和DAE ∆中，（易证全等），DE BC =∴DM AM =Θ，EN AN =，CB DE MN 2121==∴DB AB =Θ，CE AC =，AD BM ⊥∴，AE CN ⊥ ︒=∠=∠∴90CNB BMCCP BP =Θ，BC MP 21=∴，BC NP 21=NP MP MN ==∴ MNP ∆∴是等边三角形 ︒=∠∴60MPN15、证明：延长BD 至P ，使DB DP =延长CE 至Q ，使EC EQ = 连结AP 、AQ 、PC 、QBDB AD ⊥Θ，CE AE ⊥ AB AP =∴，AC AQ = ACE ABD ∠=∠Θ CAE DAB ∠=∠∴又DAB PAD ∠=∠Θ，EAQ CAE ∠=∠QAC PAB ∠=∠∴，BAQ PAC ∠=∠∴PAC ∆∴≌BAQ ∆BQ PC =∴MD Θ、ME 为中位线PC MD 21=∴，BQ ME 21= ME MD =∴。