理性消费者

（一）预算集
两个制约因素：商品价格和自己财富水平 w 。 （消费的可行性） p ( p1 , p2 ,, pn ) ， pi 0, i 1,2,, n
预算约束条件： px pi xi w
i 1
n
所有满足消费者预算约束的消费束的集合称为预算集， 又称为 可行消费集。所以，在给定价格 P 和财富 W，消费者问题表 述为在 中选择一个消费束。
（2）自返性 一个消费束至少与它本身一样好，即： x X ，总有 xx （3）传递性 如果你喜欢荔枝而不喜欢苹果， 但和荔枝相比， 你更喜欢樱桃。 所以，如果让你从苹果和樱桃中选择，你一定选择樱桃而不是 苹果，用符号表示就是： x1、x 2、x3 X ，若 x1 x 2 ， x 2 x3 则 x1 x3 。 上述的三个公理界定了一个理性消费者！ 为了建立效用函数还需要对偏好做出性质上的假设。 （1）连续性 对于所有 x, y X ，则集合{x : xy}和集合{x : x y}都是闭集。 也就是说如果 x 优于 y， 那么与 x 非常相似的消费束也优于 y， 这就保证了突然的偏好逆转不会出现。
习题：证明如果偏好关系满足上述公理，若 x y z ，则 x z ；
二、效用函数
（一）效用函数的定义
效用满足程度 效用函数满足程度与消费集的关系，即：
u u ( x1 ,, xn ) u (x) ， x 为消费束。
效用函数的存在性：若偏好是完备的、自返的、传递的、连续 的和强单调的，那么一定存在一个连续的效用函数 u ，它可以
第二步，证明 u (x) 是惟一确定的，假设存在 u1 (x) u 2 (x) ，满足
u1 (x)e ~ x 和 u 2 (x)e ~ x ，则根据传递性有 u1 (x)e ~ u 2 (x)e ，根据
偏好的强单调性，则有：u1 (x) u 2 (x) ，这与 u1 (x) u 2 (x) 矛盾；
1/ u ( x1 , x2 ) ( 1 x1 2 x2 )
当 1，该效用函数为线性；
1 2 当 0 ，该效用函数趋近于 u ( x1 , x2 ) x1 x2
当 时，该效用函数趋近于 u ( x1 , x2 ) min( x1 , x2 )
u[x1 (1 ) x 0 ] u ( x 0 ) ，式中 0 百度文库1。
效用函数凹性的经济含义： 一组不同商品加权平均消费而得到的效用大于或等于单独消 费每种商品所得到的效用。 偏好关系单调性和凸性效用函数凹性或拟凹性 注：对于偏好的限制转化为对于效用函数形式的限制
（四）无差异曲线和边际替代率
u12 u 22 un2
u1n u2n u nn
根据 Young 定理：如果 f ( x) 在 X 中二次连续可导，那么它的 海塞矩阵是对称的。具体到效用函数的二阶导数而言，存在： 2u 2u ， i, j 1,2,, n 。 xi x j x j xi
n X Rn ， R 为 n 维非负实数向量。
Φ X Rn （非空子集）
消费集 X 是连续的。 （消费集是个闭集，包含边界，也就是 说所有的消费束都包含在 X 中，由于消费束有无数多个，填 ） 充整个消费集，因此 X 是连续的。 消费集 X 是凸集 凸集：x, y X ，若其凸组合[x (1 ) y ] X ，0 1。则 X 为凸集。
0 1 表示这些偏好，记为对于所有的 x 0 和 x1 R n ，当且仅当 x x ，
存在 u (x 0 ) u (x1 ) 。
效用函数偏好 效用函数存在性的证明：
n 第 一 步 ， 定 义 映 射 u : R R ， 使 其 满 足 u ( x)e ~ x ， 其 中
e (1,1,,1) ；
一个消费束，用向量表示就是：x ( x1 , x2 ,, xn ) ，其中 xi 0 是 对第 i 种商品的选择数量, i 1,2,, n 。更一般的，消费是一 个广义概念。 x ( w, l ) ； x (c1 , c2 ) 不同的消费者有不同的消费组合，也就是不同的消费束，所有 的消费束的集合就构成了消费集。
0 X （消费者可以选择不消费）
（二）偏好关系
定义：可选择的消费束上的排序关系。 如果只将两个消费束进行比较，称为二元偏好关系，可以用下
面一组符号表示： （1）弱偏好关系：
xy 表示 x 不次于 y，如果 y x 也成立，则有：
（2）无差异：~ x~y 表示 x 与 y 无差异。如果 xy 但没有 y x 成立，则有： （3）严格偏好关系： 偏好关系是基于序数效用的。 一开始经济学家创立了基数效用论， 也就是商品消费带来一个 实际的效用。但这一假设是不合理的，我们只需要作消费满足 多和少的比较，多多少无关紧要，也就是序数效用。 偏好关系的公理系统： （1）完备性 两个消费束是可以比较的，比较的结果无非三种：xy 、y x 、 x~y
（三）效用函数的凹性和拟凹性
在微观经济学中， 对典型消费者的标准假设是效用函数为拟凹
的。 凹 性 ： x 0 , x1 X 而 言 ， 当 0 1 时 ， 存 在
u[x 0 (1 ) x1 ] u ( x 0 ) (1 )u ( x1 )
拟 凹 性 ： x 0 , x1 X ， 且 u ( x1 ) u ( x 0 ) ， 若 存 在
2u x 2 21 2 u () u x x H 2 2 1 ( x) 2 u xn x1
2u x1x2 2u 2 x2 2u xn x2
2u x1xn u11 2 u u 21 x2 xn u 2 n1 u 2 xn
（4）严格凸性 如果两个消费束 x1 x 0 ，那么对于所有的 [0,1] （闭区间） ， 都有 x1 (1 )x 0 x 0 。 也就是多样的消费束要比极端的消费束好？Why？ 多样的消费降低了相同商品的消费次数， 同时增加了其他商品 的消费，效用必然增加。 思考：请举例说明凹性偏好。
一、理性消费者
理性决策的概念：在商品价格和收入约束下，实现最大满足。 本章的核心内容就是要介绍消费者的理性选择框架， 涉及的概 念和使用的工具为： 消费束与消费集 偏好关系 效用函数 无差异曲线 效用最大化
（一）消费束与消费集
消费就是购买一系列商品， 当然这里的商品可能是实际商品也 可以是服务，例如旅游。这一系列被消费的商品组合就成为了
无差异曲线：某一特定水平的同等效用的所有消费束的集合。
U0 U1 U2
无差异曲线的性质 对于良好行为偏好 （满足连续性和严格凸性的偏好，如：柯布—道格拉斯偏好：
u x1 x2 ， , (0,1) ）
无差异曲线是凸向原点的凸函数。 1 1 f [x10 (1 ) x1 ] f ( x10 ) (1 ) f ( x1 )
x1 y1 ，或者 x1 y1 且 x2 y2 ，则称 x y 。
为什么词典式偏好会出现逆转呢？ 1 令 x n (1 ,1) ， y n (2,1) n xn y n ， 当 n=1 时， xn ~ y n ， 当 n 时， xn y n ， 当 0<n<1 时， 发生了逆转！ （2）强单调性 对于所有的 x 0 和 x1 X ，如果 x 0 x1则 x 0 x1。
习题：画出下列效用函数的无差异曲线 （1） u x1 x2 （2） u min( x1 , x2 )
在无差异曲线上，如果增加某种商品的消费量，需要如何调整 另一种商品的消费量呢？这就是涉及到边际替代率（MRS） 问题。MRS（Marginal Rate of Substitution）
在凸性概念下还有凸组合和凸集的概念。 凸 组 合 ： 设 x, y , z R n ， 对 于 任 意 的 0 1 ， 存 在 z x (1 ) y 。则称 z 是 x 和 y 一个凸组合。 凸集： x, y X ，若其凸组合[x (1 ) y ] X ，0 1。则 X 为凸集。
（二）效用函数的导数
u () 关 于 xi 的 一 阶 偏 导 数 ： 消费束 x 的边际效用： xi
u u u MU (x) , ,, x x x 1 2 n
习题： 证明 u ( x1 , x2 ) 0.5 ln x1 0.5 ln x2 中， x1 和 x2 边际效用递减。 效用函数的二阶导数：用一个海塞矩阵(Hessian)表示
x 0 (5,4,3,2,1) ， x1 (4,3,2,1,1)
这也就暗示了每一种商品对消费者都是有用的，多多益善。 思考：对于环境污染，这种我们不喜欢的“商品” ，强单调性 是否成立？ （3）局部非饱和性（非餍足性） 餍足点：某一特定的最优商品组合。
对于任意的 y X ， 在其邻域内找到另一个消费束 x X ， x y。 局部非饱和性意味着不存在无差异区域， 也就是无差异曲线没 有厚度。 这样最优消费点在预算线上， 如果没有局部非餍足性， 最优消费点可能在预算集内部（而不在边界）
使用隐含数法求解 MRS
消费者效用水平不变 u ( x1 , x2 ) u0 ，两边同时对 x1 求导，得：
u u u x2 0 MRS12 x1 x2 x1 x1
u x2
三、效用最大化选择
市场具有 n 种商品，价格为 p { p1 , pn }，并且假设价格是外 生的，也就是不会因为购买量变化而变化。在这一前提下，消 费者问题就是在预算约束下的效用最大化（UMP）问题。
[u1 (x),, u1 (x)] [u2 (x),, u2 (x)]
第三步，证明 u (x) 可以代表偏好关系。假设存在两个消费束 x 和 y， xy ，则有 u (x)eu (y )e ，根据强单调性 u (x) u (y )
进一步说明：任何效用函数 u ( x) 的严格递增变换也代表原效用 函数反映的偏好关系。 思考一下如何证明。 例如，某人效用函数为 u ( x1 , x2 ) ( x1 x2 )1 2 ，则该函数也可变换 成为： ln u 0.5 ln x1 0.5 ln x2 （对数线性化） 习题：根据描述写出效用函数。 （1）A 喜欢喝汽水 x，但是厌恶吃冰棍儿 y； （2）B 有个习惯，他每喝一杯汽水 x 就要吃两根冰棍 y，当 然汽水和冰棍儿对他而言是多多益善。 一类概括能力很强的效用函数：常替代弹性效用函数
0 x2 f ( x10 )
1 f ( x10 ) (1 ) f ( x1 )
x 0 (1 )x1
1 f [x10 (1 ) x1 ]
1 x1 f ( x 2 1)
0 1 x10 x1 (1 ) x1
1 x1
远离原点的无差异曲线所代表的效用水平高，反之则低。 同一效用函数所形成不同效用水平的无差异曲线互不相 交。
存在着一条由一组点形成的边界，这条边界在商品空间中把 那些消费者偏好的商品组合同不偏好的商品组合划分开来。 词典式偏好就会出现逆转情况 词 典 式 偏 好 （ 字 典 序 偏 好 关 系 ， lexicographic preference relations）是指某个商品（如商品 1）具有优先排序权，只有 当商品 1 的数量相等时，才会就商品 2 进行排序。表示为若