卷积及其性质

§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2 (t) (i) f1(t)( j) f2 (t)(i j)
i
和（i
j ）为
0整数 0整数
表示微分 表示积分
§2.7 卷积及其性质
（6）与奇异函数的卷积
f (t) (t) f (t) f (t) (t t0 ) f (t t0 ) (t t1) (t t2 ) (t t1 t2 ) f (t) '(t) f '(t) f (t) (k) (t) f (k) (t) f (t) (k) (t t0 ) f (k) (t t0 )
0, t 0
t
S(t) 0
f1( )
f2 (t
)d ,
t
0
§2.7 卷积及其性质
2，卷积及分的求取方法
（1） 函数计算法
例，已知
f1 (t )
1 [u(t 2
2)
u(t
5)]
f2 (t) 2u(t 1) u(t 7)
求 S (t) f1(t) f2 (t)
解：
S (t) f1(t) f2 (t)
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n) * x2(n) x1(m)x2(n m) m0
§2.7 卷积及其性质
2，卷积和的性质
卷积和的性质与卷积积分完全对应。特别地，有
（1）卷积和的差分
x1(n) * x2 (n) x1(n) * x2 (n) [x1(n) * x2 (n)] x1(n) * x2 (n) x1(n) *x2 (n) [x1(n) * x2 (n)] （2）卷积和的累加
f
2
(
)d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
§2.7 卷积及其性质
二，离散卷积和 1，定义
两个序列x1(n)，x2 (n) 得卷积和定义为
x1(n) * x2(n) x1(m)x2(n m) m
留意就会出错。
§2.7 卷积及其性质
（2） 卷积积分的图解法
观察
S(t)
f1( ) f2 (t )d
实现卷积积分有四个步骤：
第一步，改变积分变量, f1(t) f1( )， f2 (t) f2 ( )
第二步, f2 ( )反转 f2 ( )
第三步，f2 ( )平移 f2 (t )
5
11d (t 12) u(t 12)
§2.7 卷积及其性质
于是
S(t) (t 3)u(t 3) (t 6)u(t 6) (t 9)u(t 9) (t 12)u(t 12)
0,
3t , 3,
12 t, 0,
t3 3t 6 6t9 9 t 12
t 12
由此可见，函数式积分应特别注意积分结果存在的区间，稍不
§2.7 卷积及其性质
一，卷积积分
1，定义
设f1(t)和f2 (t)是定义在(, )区间上的两个函数，
则积分
S (t) f1( ) f2 (t )d
称为f1(t)和f2 (t)的卷积， 记为 f1(t) f2 (t)
对于S(t)
f1( ) f2 (t )d
i) 若t 0, f1(t) 0，即
第四步，相承与积分
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t) [ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应 h(t) h1(t) h2(t)
（2）结合律： [ f1(t) f2(t)] f3(t) f1(t) [ f2(t) f3(t)] 物理意义：若冲击响应为h1 (t )，h2 (t )的两个系统相串联， 此两系统的组合可等效唯一个冲击响应 h(t) h1(t) h2(t)的系统。
f1( ) f2 (t )d
1 [u( 2) u( 5) 2
2u(t 1) u(t 7) d
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对于 同理
u(t 1)u( 2)d u(t 1)u( 5)d
u(t 7)u( 2)d u(t 7)u( 5)d
S1
§2.7 卷积及其性质
(3) 交换律： f1(t) f2(t) f2(t) f1(t) 物理意义：串联的子系统可以任意交换位置。
（4）卷积的微分：
d dt
f1(t)
f2(t)
f1(t)
df2 (t) dt
f2(t)
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df1(t) dt
（5）卷积的积分
t
t
t
f1( ) f2( )d f1(t) f2( )d f2(t) f1( )d
n
n
n
x1(n) * x2 (i) x1(n) * x2 (i) [x1(n) * x2 (n)]
i
i
i
（3）与单位样值序列的卷积和
x(n) * (n) x(n), x(n m) * (n) x(n m)
x(n)* (n m) x(n m)
S(t) 0
f1( ) f2 (t )d
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2 (t)＝0，那么对于f2 (t ),t 0, f2(t ) 0
t
S(t) f1( ) f2 (t )d
iii) 若t 0, f1(t) 0, f2(t) 0, 则
S (t )
t
f (t) u(t) f ( )d
§2.7 卷积及其性质
例：求卷积s(t) f1(t)* f2 (t)，其中f1(t) 2[u(t 1) u(t 3)]
f2 (t) u(t) 2u(t 1) u(t 2)
解：s(t)
f1 (t ) *
f1(t)
df1(t dt
)
*
t
u(t
1)u(
2) d，通过积分限判断得
t 1
S1 2 11d (t 3) u(t 3)
t 1
S2
u(t 1)u( 5)d
5
11d (t 6) u(t 6)
t7
S3
u(t 7)u( 2)d
2
11d (t 9) u(t 9)
t7
S4
u(t 7)u( 5)d