高中数学人教b版必修5学案3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.2简单线性规划课堂探究(含答案)
人教B版高中数学必修五《3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.5.2 简单线性规划》_27
⑤（课后思考题）若目标函数是 ，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得 和 ？如果是 或 呢？
⑥你从以上探究过程中获得哪些探究成果和感受呢？___________________________________
(如图2，①②问参考答案:① 在点A处有最大值6，在边界BC处有最小值1；② 在点C处有最大值1，在点B处有最小值 )
五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程的设计的各流程，设计教与学的方式的变革，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）
教师活动
预设学生活动
设计意图
向学生介绍线性规划在运筹学中的应用及贡献，明确指出线性规划着重解决的两类问题：
一.在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何利用最少资源产生最大经济效益.
发言时声音响亮
能否自由表达
我能积极参与小组讨论活动，能与他人合作？
能否善于合作
善于思考，并能有条理地表达自己不同的看法。
能否独立思考
我会指出同学错误的解答
是否敢于否定
我能常得到老师的表扬、同学的赞赏。
是否欣赏自我
我能在不懂时向别人请教。
是否敢于请教
我已养成良好的完成作业的习惯
能否独立思考
我在学习的过程中感到快乐。
是否兴趣浓厚
最欣赏哪个同学的表现呢？为什么？
我还有与这节课的内容相关的问题问老师
得分
如板书中含有特殊符号、图片等内容，为方便展示，可将板书以附件或图片形式上传。
板书设计：
一．导入新课
二、例题讲解
三、解简单线性规划问题的一般步骤
【例1】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1 h，每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？
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简单的线性规划（2）教学目的：1、了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解、最优解等概念；2、了解并能用图解法解决简单的线性规划问题；3、培养学生数形结合的能力。
重难点分析：教学重点：理解和用好图解法；教学难点：任何用图解法寻找线性规划中的最优解。
课前准备：预习提纲指导阅读课本P65-67，理解相关概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解。
教学设计：一、解法探究在平面直角坐标系下做出直线:10l x y +-=及点A （2,1）、B （3,1）、C （4,0）、D （5,1）的图像，回答：1、A 、B 、C 、D 四点落在哪个二元一次不等式表示的平面区域中 ；2、令1z x y =+-，将A 、B 、C 、D 四点坐标代入后分别得z A = ，z B = ，z C = ，z D = ，比较它们的大小 。
师：由此发现，z 值大小与点到直线:10l x y +-=的距离相关，即在满足不等式:10l x y +->的平面区域中，离直线:10l x y +-=的距离越远的点代入1x y +-所得值越大，离直线:10l x y +-=的距离越近的点代入1x y +-所得值越小。
师：推广到一般，对z ax by c =++的值的大小可由点到直线0ax by c ++=的距离来判定，而直观判断点到直线的距离远近的方法——图像平移法，即平移直线。
二、解法提炼例：已知x 、y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求2z x y =+的最大值和最小值。
分析：该问题转化为在题设不等式组所确定的可行域中，找适当点的坐标代入2z x y =+，使之达到最大值或最小值。
操作为在可行域中，寻找距离20x y +=的最近点和最远点。
事实上，变形2z x y =+为2y x z =-+，z 的几何意义就是该直线的纵截距，当直线平移经过可行域中不同点时，纵截距亦不相同。
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3.5.2简单线性规划教学设计教材分析普通高中课程标准实验教科书（人教B版）必修5第三章3.5.2简单的线性规划问题（第一课时），这是一堂关于简单线性规划的“问题教学”。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支。
它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性规划关心的两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最好的任务；二是给定一项任务应如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成，突出体现了优化的思想。
教科书利用生产安排的具体实例，介绍而来线性规划问题的图解法，引用线性规划等概念。
学生情况分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
教学目标1、了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
2、经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力。
3、渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。
教学重点：线性规划的图解法教学难点：寻求线性规划问题的最优解教学过程情景引入：问题：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。
生产甲产品1工时需要A 种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg。
现有A种原料200kg，B种原料800kg。
如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产以产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？请学生读题引导阅读理解后，列表建立数学关系式画平面区域，强调这是同一事物的两种事物的两种表达形式数与形。
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课题§3.5.2 简单的线性规划问题(1) 授课班级
教学目标
1．知识目标：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.通过设立目标函数求出最优解。
能力目标：培养学生自主学习的能力，能够运用线性规划解决一些简单的数学问题的能力，
善于发掘能够运用数形结合的能力并运用数形结合能力.
情感目标：通过本节的探究性学习让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。
过程与方法：
（1）通过巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；找出约束条件.通过设立目标函数求出最优解
（2）通过解题实践，体会线性规划的数学方法。
教学重点：能进行简单的二元线形规划问题.
教学难点：掌握线性规划的数学方法
教学方法：采用探究型设计方法，教学中要提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程。
使数学学习成为再创造的过程。
授课类型：新授课
教具：多媒体
教学过程：师生互动设计意图教师体问复习内容，
板书设计。
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《简单线性规划》教学设计课题：简单线性规划教材分析：本节课是《人教版（B版）普通高中课程标准实验教科书（必修5）第三章 3.5.2》在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．教学目标：1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．教学重点、难点：探究解决简单线性规划问题的方法．教学方式：学生自主探究和教师引导相结合．教学手段：多媒体、几何画板．教学过程：一. 设置情境，问题引入通过实际问题，创设问题情境．问题一：资金分配前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？学生活动：（1）独立将实际问题转化为数学问题；（2）针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式．说明：（1）学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；（2）放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起认知冲突，激发求知的欲望．二. 深入研究，探求解法针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察．设建设中学教学楼面积为x百平方米，建设小学教学楼面积y百平方米，建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．满足： 学生活动：学生合作交流，进行自主探究．预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x ＋y 的值进行比较，容易猜想出使z 取得最大值的点的位置．预案二：让学生思考使z 取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线x ＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z 的几何意义：把目标函数化成y x z =-+的形式，这表示一组平行直线，而z 表示的是直线的纵截距，通过平移直线，当直线的纵截距最大时，z 取最大值．预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：d =，把它化成x y +=．因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以z x y =+=．从而到直线x + y =0的距离最大的点就是使z 取最大值的点．说明：（1） 引导学生合作交流，主动寻求问题的解答； （2） 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识； （3） 教师巡视观察，适当点拨；（4） 教师配合学生的探究结果，利用“几何画板”进行动态演示． 三. 结合问题，介绍概念结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：（1）目标函数（线性目标函数）； （2）约束条件（线性约束条件）；1481000141.881010x y x y x y +≤⎧⎪≥⨯⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（3）线性规划问题；（4）可行解、可行域、最优解．说明：（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．四. 巩固知识，实际演练问题二：食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：为满足上面的饮食要求，并且食物A至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？学生活动：在笔记本上独立解决．设食物A需要x kg，食物B需要y kg，花费为z 元．则：z ＝6x＋8y．满足：5455865580.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.0320.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩说明：（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步 掌握解决简单线性规划问题的一般方法．问题三： 设变量x 、y 满足下列条件：分别求下列目标函数的最小值： （1）z ＝ y －x ； （2）z ＝ 2x －3y ； （3）z ＝ x ＋y ．学生活动：分组合作完成表格的填写．说明：（1） 借助练习，落实知识的掌握；（2） 通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念． 五. 小结全课，概括升华带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、223435251x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪>⎩“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法． 六. 布置作业，设疑铺垫作业：P94 — 练习1、2、3． 思考题：已知：x 、y 满足条件：求：z = x ＋3y 的最大值．034241,x y x y x x y ⎧-≤⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩N。
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《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型。
简单的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难。
所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。
三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。
四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题4.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力5.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题教学难点：准确求得线性规划问题的最优解。
六、教学支持条件分析可以借助计算机，从激励学生探究入手，讲练结合，精准的直观演示能使教学更富趣味性和生动性. 通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模的思想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系．七、教学过程1、复习引入：二元一次不等式（组）所表示的平面区域画出不等式x+4y -4 ＜0 表示的平面区域.2、创设情境，提出问题引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h；每生产一件乙产品使用4个A配件，耗时2h．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？问题1：该厂日生产安排受哪些条件约束？设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，得出二元一次不等式组：学生读题，引导阅读理解后，列表→建立数学关系式→ 画平面区域，教会学生用画表格的方式理清题意，关注有多少学生写出了线性数学关系式，有多少学生画出了相应的平面区域，在巡视中并发现代表性的练习进行展示，强调这是同一事物的两种表达形式数与形。
人教B版高中数学必修五《3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.5.2 简单线性规划》_30
3.3.2线性规划中的实际应用问题教学目标：1.能从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型，并求解作答。
2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际应用问题。
3.通过实例应用，培养学生用数学模型分析处理问题的能力，了解数学来源于生活又应用于生活的过程，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重难点：重点：利用图解法解决实际生活中的线性规划问题。
难点：分析处理数据建模求解的过程。
教学过程：环节一：知识梳理教师口头表述引领学生回忆上节课关于线性规划问题、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
【设计意图】：帮助学生回忆巩固知识，形成数学知识框架，为接下去的新课教学作铺垫。
环节二：复习巩固提问1：求解目标函数在线性约束条件下最值的方法是什么？（图解法）提问2：图解法的一般步骤分为哪五个部分？1.画可行域根据线性约束条件画出⇒ 2.作的直线出在平面直角坐标系中作0z =+=⇒by ax 3.变z bx ba y by ax z 1+-=⇒+=⇒把一般式变为斜截式（4.移取得最值时的点的坐标距在可行域中寻找使纵截平移直线bzl ,⇒ 5.答)z z min max 或数求出最优解（将点的坐标代入目标函⇒【设计意图】：图解法是解决线性规划问题的重要方法，因此需要教师反复强调分析，为接下去解决实际应用问题提供理论支持。
问题3：如何在可行域中寻找整点？（打网格线确定整点） 【设计意图】：为后面的寻找整点提供方法。
环节三：新课导入教师强调数学知识来源于生活最后又应用于生活，在实际生活当中数学知识无处不在，因此线性规划问题在实际生活中也广泛应用，比如： 例.某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件并耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件并耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天最多工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排有几种？ 思考：回忆解决函数实际应用问题的一般思路是什么？类比函数实际应用问题的一般步骤，你能否用线性规划的知识求解？ 【设计意图】：求解数学的实际问题，方法都是大同小异，总体框架不变，因此从必修一最后一章中的二次函数在实际生活中的应用唤醒学生的认知，通过类比来引出线性规划的数学模型。
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《3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域》授课教案授课内容：人教A版数学必修五第三章第三节第一课时一．教学目标1.了解二元一次不等式（组）的概念，理解用直角坐标系中的平面区域表示二元一次不等式解集的原理，并能正确画出二元一次不等式表示的平面区域，增强数形结合的数学思想。
2.能从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示相关要求，体会二元一次不等式（组）的模型价值。
二．教学重、难点1.重点：用平面区域表示二元一次不等式（组）解集的原理及其画法。
2.难点：（1）用平面区域表示二元一次不等式（组）解集的原理。
（2）从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的过程。
三．教学方法类比与启发探究与讨论四．教学过程（一）创设情境，激发兴趣实例：小明需要买一些笔记本和画笔，妈妈给了他20元钱，其中笔记本单价为5元，画笔单价为3元，问小明可以有多少种购买方式？（要求：笔记本和画笔至少各买一本（支））学生经过自主探究后不难列出如下9种购买方式：①笔记本：1 画笔：1 ②笔记本：1 画笔：2③笔记本：1 画笔：3 ④笔记本：1 画笔：4⑤笔记本：1 画笔：5 ⑥笔记本：2 画笔：1⑦笔记本：2 画笔：2 ⑧笔记本：2 画笔：3⑨笔记本：3 画笔：1问题：上述每一种购买方式所满足的共同条件是什么？你能否用字母表示这个条件？学生经过思考不难得出：设购买笔记本x本，画笔y支，则+≤①5320x yx x N*≥∈②1,≥∈③1,y y N*问题：不等式①具有什么样的特征？（二）明晰概念，探究原理1.二元一次不等式（组）的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式称为二元一次不等式，把满足不等式的每一组未知数的取值称为不等式的一组解，并把所有的解构成的集合称为不等式的解集。
学生活动：请说出一些二元一次不等式。
从学生说出的不等式中任选一个，比如 236x y +> ，要求学生试着说出该不等式的几组解。
数学人教B版必修5学案：例题与探究 3.5二元一次不等式
典题精讲例1 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤,63,2,x y y x x y 则目标函数z=2x+y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.9思路解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域,然后画出一组与2x+y=0平行的直线经过平移即可得到对应的最优解.如图3-5-1,在坐标系中画出可行域△ABC ，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则当(x,y)为B 点时,目标函数z=2x+y 的最小值为3.图3-5-1答案：B绿色通道：根据不等式组表示的平面区域画出平面区域,写出目标函数,画出与目标函数平行的一组直线,在可行域内平行移动即可得出目标函数的最大值和最小值.变式训练1 已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+,72,2,10x y x y x 则z=2x+3y 的最小值是( )A.24B.14C.13D.11.5思路解析：画出可行域：如图3-5-2所示,易得B 点坐标为（6，4）,且当直线z=2x+3y 过点B 时z 取最大值，此时z=24.点C 的坐标为（3.5，1.5），当直线过点C 时z 取得最小值，图3-5-2但x ，y 都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为14.答案：B变式训练2 在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥42,,0,0x y s x y y x 下，当3≤x≤5时，目标函数z=3x+2y 的最大值的变化范围是( )A.［6,15］B.［7,15］C.［6,8］D.［7,8］思路解析：如图3-5-3所示,由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+.42,442s y s x x y s y x 两直线及与坐标轴的交点为A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C′(0,4)，图3-5-3（1）当3≤s ＜4时,可行域是四边形OABC ，此时，当直线经过B 点时取最大值,且7≤z ＜8.（2）当4≤s≤5时,可行域是△OAC′,此时，z max =8.答案：D例2 画出2x-3＜y≤3表示的平面区域，并求出所有的正整数解.思路分析：首先把不等式转化为一个不等式组⎩⎨⎧≤<-,3,32y y x 画出对应的平面区域,然后根据可行域找出整点. 解：由于2x-3＜y≤3⎩⎨⎧≤<-⇔.3,32y y x 平面区域如图3-5-4所示：图3-5-4而其中的正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3）共5组.黑色陷阱：如果不考虑等号与曲线的虚实很容易画出如图3-5-5所示的平面区域图：图3-5-5从而得到正整数解为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3）共7组.其错误的主要原因是没有注意到边界y=2x-3是虚线，从而导致后续解答的错误.变式训练 (2006山东高考，理11)某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-,112,932,22115x y x y x 则z=10x+10y 的最大值是( )A.80B.85C.90D.95思路解析：画出可行域,如图3-5-6所示：图3-5-6易得A （5.5，4.5）.∵x ∈Z ,y ∈Z ,∴当直线z=10x+10y 过(5,4)点时，z 取得最大值，此时z=90. 答案：C例3 已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥,022,01,1y x y x x 则x 2+y 2的最小值是________________.思路解析：画出不等式组所表示的可行域，注意式子x 2+y 2的几何意义:可行域内一点M 到坐标原点O 的距离的平方，利用数形结合解决相关问题.由⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥,022,01,1y x y x x 画出可行域如图3-5-7所示，得交点A(1，2)，B(3，4)，则x 2+y 2的最小值是5.图3-5-7答案:5绿色通道：在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.应熟练掌握以下式子的几何意义：（1）形如ax b y --的式子，表示动点M(x,y)和定点N(a,b)连线的斜率k. （2）形如22)()(b y a x -+-的式子，表示动点M(x,y)到定点N(a,b)的距离|MN|；而(x-a)2+(y-b)2表示动点M(x,y)到定点N(a,b)的距离的平方，即|MN|2.（3）形如22||b a c by ax +++的式子，表示动点M(x,y)到直线ax+by+c=0的距离d ；而|ax+by+c|表示d b a 22+.黑色陷阱：混淆x 2+y 2的几何意义，把它看成可行域内一点M 到坐标原点O 的距离.在解决相关问题时，一定先搞清式子的几何意义.变式训练1 (2006浙江高考，文9理4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是( ) A.24 B.4 C.22 D.2 思路解析：如图3-5-8所示,由题知可行域为△ABC ，S △ABC =22|04|⨯-=4.图3-5-8答案：B变式训练2 已知点P(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,,4x x y y x 点O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_____________,最大值等于_____________.思路解析：画出可行域，如图3-5-9所示：图3-5-9易得A （2，2），OA=22.B （1，3），OB=10.C （1，1），OC=2.所以|OP|的最大值为10，最小值为2.答案:2 10例4 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不小于15 t 的产量，已知每生产甲产品1 t 需煤9 t ，电力4 kW·h ，劳动力3个，可获利7万元；每生产乙产品1 t 需煤4 t ，电力5 kW·h ，劳动力10个，可获利12万元；但每天用煤不超过300 t ，电力不超过200 kW·h ，劳动力不超过300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？思路分析：图解法解决线性规划应用问题的步骤：①审清题意；②适当设出未知数x 、y 、z ；③列出含x 、y 的不等式组（即线性约束条件），列出z=f （x ，y ）；④利用图解法解得最优解；⑤得出结论.解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 万元，则有约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 目标函数为z=7x+12y. 作出约束条件的可行域如图3-5-10所示.图3-5-10由图分析知，当直线z=7x+12y 过M 点时，z 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,300103,20054y x y x 求得M （20,24）.∴z max =7×20+12×24=428.答：每天生产甲、乙两种产品分别为20 t 、24 t 时，利润总额最大为428万元.绿色通道：利用线性规划来进行优化设计,解决生活中的实际问题通常有以下几种类型:第一类:给定一定数量的人力、物力资源,分析怎样合理利用这些资源,才能使收到的效益最大;第二类:给定一项任务,分析怎样安排,能使完成这项任务的人力、物力资源最小,还要根据条件求最优解,有时候还要分析整数解.变式训练 (2006四川高考，理8)某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克.甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元.月初一次性购进本月用原料A 、B 各c 1、c 2千克.要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z=d 1x+d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+00221121y x c y b x b c y a x aB.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0222111y x c y b x a c y b x aC.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00221121y x c y b x b c y a x aD.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=+=+00221121y x c y b x b c y a x a 思路解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z=d 1x+d 2y 最大的数学模型中，约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,,221121y x c y b x b c y a x a 答案：C问题探究问题1 对于简单的线性规划问题,正确判断并画出不等式(组)表示的平面区域是解决问题的关键,那么判断一个不等式(组)对应的平面区域主要有哪些方法?导思：记住有关规律，利用特殊点进行检验是最有效的办法.当两点在一条直线同侧时，符号相同，两点在一条直线异侧时，符号相反.探究：(1)在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C=0,坐标平面内的点P(x 0,y 0).①若B(Ax 0+By 0+C)＞0,则点P(x 0,y 0)在直线的上方;②若B(Ax 0+By 0+C)＜0,则点P(x 0,y 0)在直线的下方.(2)对于方程中的系数B(B≠0,若B=0,则方程简单化),不外乎两种情况:B ＞0和B ＜0,则根据图形的特点可以得出以下结论:①当B ＞0时,Ax+By+C ＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C ＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.②当B ＜0时,Ax+By+C ＞0⇔-Ax-By-C ＜0,表示直线下方的区域;Ax+By+C ＜0⇔-Ax-By-C ＞0,表示直线上方的区域.(3)在实际给出直线的条件下,由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),以Ax 0+By 0+C 的正负情况便可判断Ax+By+C ＞0或者Ax+By+C ＜0表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当C≠0时,直线不过原点,通常把原点作为此特殊点.问题2 在利用线性规划求解有关应用问题时,有时候需要根据实际情况,最优解要求是整数.那么,怎样才能正确地得出整数解?导思：在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解.探究：通常处理的方法有两种：(1)利用约束条件画出图形,如果得出的是非整数解,进行适当地调整,可以找与所求出的最优解(非整数解)接近的整数解进行验证;(2)在直线的附近找出与此直线距离最近的整点,根据求出的结果给出最优解的整数解.。
人教B版高中数学必修五《3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.5.2 简单线性规划》_35
1、针对学生已经忘记知识点和解题方法的问题，在复习本节内容时，需要讲得比较详细，通过具体的例子帮助学生回忆相应知识，解决相应问题；
2、针对学生不知道如何画目标函数的直线以及如何准确找到取得最大、最小值时直线的位置的问题，可借助多媒体的动画效果帮助学生理解；
3、针对学解应用题时过程却写得不够规范的问题，本节课选了一道应用题，并给出详细的解题过程和评分标准供学生参考，规范答题过程。
线形规划问题相关名称
（2）
利用例题2，通过多媒体演示，简单地回忆线性规划问题
的相关名称：线性目标函数、线性约束条件、线性规划问
题、最优解、可行解、可行域
学生回忆，并记忆
使学生在解答应用题时，将解题过程写规范；为例3作铺垫
四、应用举例
例题3
（15）
某工厂生产A、B型两类产品，每个产品需粗加工和精加工两道工序完成。已知粗加工一个A、B型产品分别需要1小时和2小时，精加工一个A、B型产品分别需要3小时和1小时；又知粗加工、精加工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂生产一个A、B型产品分别获利润200元和300元，试问工厂每天应生产A、B型产品各多少个，才能获得利润最大？教师在分析、讲解题目；多媒体演示解题过程；
【教学过程设计】
教学活动过程设计
环节
（时间）
教学内容及教师活动
学生活动
设计意图
一、知识复习
（3）
复习区域、边界概念：多媒体演示，教师引导
复习判断区域的方法：多媒体演示，教师引导
学生回忆并回答
回忆相应知识点
二、画平面区域的步骤
（1）
复习画平面区域的步骤：多媒体演示，教师引导
师生一起回答
为例题1作铺垫
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3.5.2 简单线性规划 课堂探究
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z ＝Ax ＋By ＋C(AB ≠0)，由z ＝Ax ＋By ＋C 得y ＝－A
B x
＋z －C B ．这样，二元一次函数就可以视为斜率为－A B ，在y 轴上截距为z －C B ，且
随z 变化的一组平行线．于是，把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．
名师点拔 (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误．
二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题
例如已知A 1，A 2两煤矿每年的产量，煤需经B 1，B 2两个车站运往外地，B 1，B 2两车站的运输能力是有限的，且已知A 1，A 2两煤矿运往B 1，B 2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A ，B ，C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才
能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？ 题型一 线性目标函数的最值问题
【例1】 (1)(2013·四川高考，文8)若变量x ，y 满足约束条件
⎩⎨⎧
x ＋y ≤8，
2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，
且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是
( )
A ．48
B ．30
C ．24
D ．16 解析：画出可行域，如图．
联立⎩⎨
⎧
x ＋y ＝8，2y －x ＝4，
解得⎩⎨
⎧
x ＝4，y ＝4.
即A 点坐标为(4，4)，
由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24．故选C ． 答案：C
(2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理9)已知a>0，x ，y 满足约束条件
⎩⎨⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a(x －3).
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )
A ．14
B ．1
2
C ．1
D ．2
解析：由题意作出⎩⎨
⎧
x ≥1，
x ＋y ≤3
所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a(x －3)过点(1，－1)，代入得a ＝12，所以a ＝1
2
．
答案：B
反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答．
题型二 非线性目标函数的最值问题
【例2】 已知⎩⎨⎧
x －y ＋2≥0，
x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝
2y ＋1
x ＋1
的取值范围． 分析：(1)中z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝(x －0)2＋(y －5)2的几何意义为平面区域内的点(x ，y)到(0，5)的距离的平方；(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－12x －(－1)的几何意义为
平面区域内的点(x ，y)与⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变
形找到几何意义，再利用数形结合知识求解．
解：作出可行域，如图阴影部分所示．
可求得A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M 作MN ⊥AC 于N ，则|MN|＝
|0－5＋2|1＋(－1)2
＝32
＝32
2． 所以|MN|2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为9
2
．
(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y)与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2
倍．
∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34，72．
反思 (1)对形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x ，y)与点(a ，b)间的距离的平方的最值问题．
(2)对形如z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
－d c 的
形式，将问题转化为求可行域内的点(x ，y)与⎝ ⎛⎭⎪⎫－d
c ，－b a 连线斜率的a c 倍的范围、
最值等，注意斜率不存在的情况．
(3)z ＝|Ax ＋By ＋C|可转化为点(x ，y)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2
倍．
题型三 简单的线性规划问题
【例3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个。