实数知识点题型归纳

第六章实数

知识讲解+题型归纳

知识讲解

一、实数的组成

1、实数又可分为正实数，零，负实数

2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点及实数一一对应

二、相反数、绝对值、倒数

1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为

3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1

a

.0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.

三、平方根及立方根

1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作（a>=0）

特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。数a的立方根用3a表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

a

| |a

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

四、实数的运算

有理数的加法法则：

a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取

绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数及零相加等于原数。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：

a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘

以任何数都得零．

b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，

当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正

c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0

4.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。

b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

5.有理数的乘方:

在a n中，a叫底数，n叫指数

a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0

b）a0=1（a不等于0）

6.有理数的运算顺序：

a）同级运算，先左后右

b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。

五·实数大小比较的方法

1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数

2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a

3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a

B.两个数均为负数时，a/b>1则ab

C.一正一负时，正数>负数

4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数

时相反

5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）

●题型归纳

●经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：

0.23，1.010010001…，，3π，，，其

中，无理数的个数有（）

A、1

B、2

C、3

D、4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数

故选C

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（）

A、的平方根是±3

B、1的立方根是±1

C、

=±1 D、是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

A、1

B、1.4

C、

D、

【答案】本题考察了数轴上的点及全体实数的一一对

应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A 表示数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

解析：（估算）因为，所以选B

举一反三：

【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2） -27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3. 3），，

【变式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合 3. 点A 在数轴上表示的数为，点B 在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为

______

解析：在数轴上找到A、B 两点，举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．

A ．－1 B．1－ C．2－ D ．－2

【答案】选C

[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：

(1) |-1.4| (2) |π-3.142|

(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵=1.414…＜1.4∴|-1.4|=1.4 -

(2) ∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对

这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|= x2+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+

-=类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a, b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b 的值。

解：由题意得

由(2)得 a2=49 ∴a=±7

由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7, b=21为所求。

举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得∴

(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

【答案】初中阶段的三个非负数：，

a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

根据题意得 x2=112+13×8

∴x2=225 ∴x=±15

∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形边长应取15cm。

举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.

解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为=

大正方形的面积=，

一个长方形的面积=。

所以，

答：中间的小正方形的面积，

发现的规律是：（或

）

(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，

又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2

所以有，

化简得：

将代入，得：cm