高中数学高考导数题型分析及解题方法(下载)

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导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;

两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析

题型一:利用导数研究函数的极值、最值。

1.

32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2.已知函数2)

()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ; 3.函数331x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3

题型二:利用导数几何意义求切线方程

1.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-

2.若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0)

3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为

430x y --=

4.求下列直线的方程:

(1)曲线123++=x x

y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2x y =过点P(3,5)的切线;

解:(1) 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P

所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即,

(2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则200x y =①又函数的导数为x y

2/=, 所以过

),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有35

2000--=x y x ②,由①②联立方程组得,??????====255 110000y x y x 或,即切点为(1,

1)时,切线斜率为;2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即,或

题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值

1.已知函数

))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1

(Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围

解:(1)由

.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为:

).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即

而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上

故???-=-=+???-=-=++3023323c a b a c a b a 即

∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③

由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴.542)(23+-+=x x x

x f (2)).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时

13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤

(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[-2,1]上恒有)(x f '≥0,即

.032≥+-b bx x ①当

6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f b x 时; ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=

b b b f x f b x ,0212)2()(,26min 时; ③当.60,01212)(,1622

min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时

综上所述,参数b 的取值范围是),0[+∞

2.已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-.

(1) 求函数()y f x =的表达式;

(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值;

(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件.

解:(1) 2()32f x x ax b '=++,

由题意得,1,1-是2320x ax b ++=的两个根,解得,0,3a b ==-.

再由(2)4f -=-可得2c =-.∴3()32f x x

x =--.

(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-, 当1x <-时,()0f x '>;当1x =-时,()0f x '=;

当11x -<<时,()0f x '<;当1x =时,()0f x '=;

当1x >时,()0f x '>.∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数;

在区间[1,]-1

上是减函数;在区间[1,)+∞上是增函数. 函数()f x 的极大值是(1)0f -=,极小值是(1)4f =-.

(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位,向上平移4m 个单位得到的,

所以,函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---(0m >). 而(3)20f -=-,∴4420m --=-,即4m =.

于是,函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-.

令()0f x =得1x =-或2x =.由()f x 的单调性知,1

42n --,即36n . 综上所述,m 、n 应满足的条件是:4m =,且3

6n .

3.设函数()()()f x x x a x b =--.

(1)若()f x 的图象与直线580x y --=相切,切点横坐标为2,且()f x 在1x =处取极值,求实数,a b 的值; (2)当b=1时,试证明:不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点.

解:(1)

2()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==,代入上式,解之得:a=1,b=1.

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