用不动点法求数列通项的一点几何意义
2022年高考数学基础题型重难题型突破类型四 用“不动点法”求数列的通项公式(解析版)
2022年高考数学基础题型重难题型突破类型四用“不动点法”求数列的通项公式设已知数列}{n a 的项满足其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c dx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.【典例1】已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 【典例2】已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位.当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？定理2.如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p、q、r、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换N ,∈-=n a d n n λ则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11h ra hq r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以rp r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ，将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21rp r p ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a r p r p c n n n λλλλλλ⑥∵特征方程hrx qpx x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q 将上两式代入⑥式得N,2121211∈--=--⋅--=-n c rp rp a a r p r p c n n n n λλλλλλ当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有.)(((12121111211------=--=n n n rp r p a a r p r p c c λλλλλλ当01=c 即11λ=a 时，上式也成立.由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.【典例3】已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.【典例4】已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a （1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？下面分两种情况给出递推数列dt c bt a t n n n +⋅+⋅=+1通项的求解通法.(1)当c=0,时,由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1dbt d a t n n +⋅=⇒+1,记k d a =,c db=，则有c t k t n n +⋅=+1（k≠0）,∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,由kx+c=x ⇒x=k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒1(11k ct k k c t n n --=--+∴数列}1{k ct n --是公比为k 的等比数列,∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k kct k c t .(2)当c≠0时,数列{n t }的特征函数为：)(x f =dx c bx a +⋅+⋅由x dx c bx a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:0)(121=--+b x a d cx ,0)(222=--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1)222)(x a d cx b -+= (2)又设212111x t x t k x t x t n nn n --⋅=--++(其中,n∈N *,k 为待定常数).由212111x t x t k x t x t n nn n --⋅=--++⇒2121x t x t k x dt c b t a x d t c bt a n n n n n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅⇒212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n nn n n n --⋅=--+--+……(3)将(1)、（2）式代入(3)式得:2122221121x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --⋅=--+--+⇒212211))(())((x t x t k x t cx a x t cx a n nn n --⋅=----⇒21cx a cx a k --=∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证021≠--cx a cx a )的等比数列.∴21x t x t n n --=1212111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--n cxa cx a x t x t ⇒12121111212111211--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⋅-=n n n cxa cx a x t x t cxa cx a x t x t x x t .【典例5】已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。
数列问题不动点法的运用.
数列问题不动点法的运用
有一位名叫ZeroToss的网友给我提出下列的数列问题，问我如何解决?
其实，本题可用“不动点法”求数列的通项公式。
首先，我们要知道，什么叫做函数的“不动点”？
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”。
巧用“不动点”法求数列的通项公式，是高考中的一种比较特殊的方法。
为了让同学们好好理解并掌握这一方法。
下面我们以典型例题来加以说明（由于篇幅的关系，我们只讲步骤和方法，至于详细的证明，同学们可以在相关的《高中数学竞赛教程中》找到）。
当函数有两个“不动点”时，请同学们看下面的几个例题，即可掌握方法。
从上面的方法中，大家可以概括总结出函数“不动点”法求数列通项公式的基本方法了吗？
其实，第二种题型，相应的函数有两个不动点的，一般是形如
a(n+1)=(pan+m)/(qan+u)这样的数列求通项.这样的数列相应的函数的不动点为f(x)=(px+m)/(qx+u)=x的解x1=u，x2=v，最后一般都化归为:数列{(an-u)/(an-v)}是等比数列来求通项的问题。
我们现在再来看网友ZeroToss提出的数列问题的解答：。
用不动点法求数列的通项公式
用不动点法求数列的通项公式
不动点法求数列的通项公式，属于数学当中的经典问题。
在数列
求解中，通项公式是根据一系列给定的数据，推导出整个数列通项的
一个重要方法，常用于数学教学中。
不动点法就是一种特殊的求解数
列通项公式的方法，也称为四平方定理，它是以π（取3.14）为精
度来进行计算的。
不动点法求数列的通项公式是基于一个给定数列，建立一个满足
条件的多项式，其本质上是一个多项式合成问题，通过证明不动点法
的公式有解，从而得到了一个关于数列的通项的求解公式。
不动点法的求解步骤：
1、首先将给定的数列表示为：x0, x1, x2,..., xn。
2、接着求出其差分序列，即：y0 = x1 - x0, y1 = x2 - x1,… yn-
1=xn - xn-1。
3、对差分序列求出n-1阶伴随矩阵：A = (aij)n-1 * (n-1)，其系
数aij满足：aij(i≥j) = yi + 1 - yj，aij(i < j) = -(yi - yj)。
4、解半平方定理，即:det(A)= B^2 - 4AC = 0, 求出参数A，B，C，
其中A为半平方定理中的A，B为半平方定理中的B，C为半平方定理
中的C。
5、由A，B，C，求出数列的通项公式：an = x0 + nb + cn(n-1)/2。
总结一下，不动点法求数列的通项公式主要步骤：首先表示数列
为x0, x1, x2 ... xn；接着求出差分序列；依据差分序列求出伴随矩阵；然后解得半平方定理；最后根据参数求出数列的通项公式，即an
= x0 + nb + cn(n-1)/2。
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解.首,比如：◎例∵∴令∴=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)∵a[1]=2∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法,令：x=2-1/x∴∵∴∵∴∴例3【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n将上面两式相减,得：a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1) (n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n(n+2)a[n+1]=na[n]+2a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2)【1】采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1【重合不动点】.b[3]/b[2]=2/4【这里保留分子】b[2]/b[1]=1/3【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘,得：b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]∵a[1]=1/2∴b[1]=a[1]-1=-1/2∴b[n]=-1/[n(n+1)]∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3∴∴∴∴∴◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)y^2=2解得不动点是：y=±√2【相异不动点为无理数】∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)【使用不动点】={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2∴∵∴∴∴◎例,但采用求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：x[1]=i,x[2]=-i【相异不动点为虚数,i为虚数单位】∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i)【使用不动点】={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}=i(a[n]-i)/(a[n]+i)∵a[1]=2∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)∴∵∴令∵θ∵∴∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]。
第五章 第8节 不动点法与特征根法求通项-解析版
第8节 不动点法与特征根法求通项知识与方法1.不动点的概念：对于函数()y f x =，我们称方程()f x x =的根为函数()f x 的不动点.2.不动点法：当我们遇到()1n n a f a +=，且()n f a 是一个关于n a 的多项式（或分式多项式）这种类型的递推公式时，可以采用不动点法来求n a ，常见的题型有2类：1n n a Aa B +=+型，1n n n pa qa ma t++=+型.（1）1n n a Aa B +=+型：（例题请参考例1）第一步，构造函数()f x Ax B =+，并令()f x x =，求出()f x 的不动点；第二步，在递推公式1n n a Aa B +=+两端同时减去0x ，化简使得左右两侧结构一致；第三步，构造数列求通项.（2）1n n n pa qa ma t++=+型：（三种情况的例题分别为后续的例2、例3、例4）第一步，构造函数()px qf x mx t+=+，并令()f x x =，求出()f x 的不动点； 第二步，若()f x 有2个不动点，则用1n n n pa qa ma t++=+两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若()f x 只有1个不动点，则用1n n n pa qa ma t++=+两端减去该不动点，再取倒数，化简可以产生优良结构，进而构造数列求通项；若()f x 没有不动点，则在考题中，{}n a 往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式1n n n pa qa ma t++=+求出前几项找规律即可.3.特征根法：当我们遇到21n n n a pa qa ++=+这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特征根法来求通项.（两种情况的例题请参考后续的例5和例6）第一步，构造特征方程2x px q =+，并求出特征方程的根；第二步，若上一步的特征方程有2个不同的实根α和β，则n n n a A B αβ=+，再利用1a 和2a 来求出系数A 和B ；若上一步的特征方程有2个相同的实根α，则()n n a An B α=+，再利用1a 和2a 来求出系数A 和B .典型例题【例1】已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a +=+()*n ∈N ，则n a =_______.【解析】第一步，求不动点，设()22f x x =+，令()f x x =得：22x x +=，所以2x =-；第二步，减不动点，()()12222n n a a +--=+--，所以()1222n n a a ++=+，此时发现左右两侧结构一致了； 第三步，构造数列求通项，因为123a +=，所以{}2n a +是首项为3，公比为2的等比数列，从而1232n n a -+=⨯，故1322n n a -=⨯-.【答案】1322n -⨯-【例2】已知数列{}n a 满足12a =，1212n n n a a a ++=+，则n a =_______. 【解析】第一步，求不动点，设()212x f x x +=+，令()f x x =得：212x x x +=+，解得：1x =±， 第二步，减不动点，121112n n n a a a ++-=-+，化简得：1112nn n a a a +--=+①， ()()121112n n n a a a ++--=--+，化简得：()13112n n n a a a +++=+②，用式①除以式②可得()1111211311312n n n nn n n n a a a a a a a a ++--+-==⋅++++， 又111113a a -=+，所以111111333n nnn a a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故3131n n n a +=- 【答案】3131n n +-【例3】已知数列{}n a 满足12a =，1214n n n a a a +-=+，则n a =_______. 【解析】第一步，求不动点，设()214x f x x -=+，令()f x x =得：214x x x -=+，解得：1x =-； 第二步，减不动点，()()121114n n n a a a +---=--+，化简得，()13114n n n a a a +++=+，所以()141131nn n a a a ++=++，从而()()11311113131n n n n a a a a +++==++++，故1111113n n a a +-=++，又11113a =+，所以11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项和公差均为13的等差数列，从而()11111333n n n a =+-⨯=+，故31n a n =-. 【答案】31n- 【例4】已知数列{}n a 满足12a =，112n n n a a a +-=+，则2023a =_______. 【解析】第一步，求不动点，设()12x f x x -=+，令()f x x =得：12x x x -=+，化简得：210x x ++=，显然该方程无解，这种情况下{}n a 一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找出规律即可，由题意，12a =，所以1211124a a a -==+，2321123a a a -==-+，3431425a a a -==-+，4541322a a a -==-+，565152a a a -==-+，6716122a a a a -===+，从而{}n a 是以6为周期的周期数列，故20233376112a a a ⨯+===. 【答案】2【例5】已知数列{}n a 中，12a =，24a =，且2123n n n a a a ++=+()*n ∈N ，则n a =_______. 【解析】特征方程为223x x =+，解得：1x =-或3，所以可设()13nn n a A B =⋅-+⋅， 因为12a =，24a =，所以3294A B A B -+=⎧⎨+=⎩，解得：12B =，12A =-，从而()()311113222nnnn n a --=-⨯-+⨯=.【反思】特征根法的原理是怎么样的，为什么可以这样做?去看看视频吧.【答案】()312nn --【例6】已知数列{}n a 中，12a =，24a =，且2144n n n a a a ++=-()*n ∈N ，则n a =_______. 【解析】特征方程为244x x =-，解得：2x =，所以可设()2n n a An B =+⋅，因为12a =，24a =，所以()()22424A B A B ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：0A =，1B =，从而2n n a =.【答案】2n强化训练1.（★★★）已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a +=-+()*n ∈N ，则n a =_______. 【解析】第一步，求不动点，设()1f x x =-+，令()f x x =得：1x x -+=，所以12x =； 第二步，减不动点111122n n a a +-=-+-，所以11122n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭；第三步，构造数列求通项，因为11122a -=，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为1-的等比数列，从而()111122n n a --=⨯-，故()111122n n a -=⨯-+.【答案】()111122n -⨯-+2.（2012·大纲卷（节选第2问）·★★★★）函数()223f x x x =--，定义数列{}n x 如下：12x =，1n x +是过两点()4,5P 、()(),n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标，求数列{}n x 的通项公式. 【解析】由题意，直线n PQ 的斜率为()25235244n n n n n n f x x x x x x ----==+--，所以n PQ 的方程为()()524n y x x -=+-，令0y =得：435422nn n x x x x +=-=++，由题意，1432n n n x x x ++=+，设()432x g x x +=+，令()g x x =可得：432x x x +=+，解得：3x =或1-， 从而143332n n n x x x ++-=-+，整理得：1332nn n x x x +--=+①， 143112n n n x x x +++=++，整理得：()15112n n n x x x +++=+②， 用式①除以式②可得：11331151n n n n x x x x ++--=⋅++，又113113x x -=-+，所以31n n x x ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为13-，公比为15的等比数列，从而1311135n nn x x --⎛⎫=-⨯ ⎪+⎝⎭，故143351n n x -=-⨯+. 3.（★★★★）已知数列{}n a 满足12a =，1381n n n a a a ++=+，则n a =______.【解析】第一步，求不动点，设()381x f x x +=+，令()f x x =得：381x x x +=+，解得：4x =或2-； 第二步，减不动点，因为1381n n n a a a ++=+，所以138441n n n a a a ++-=-+，化简得：1441nn n a a a +--=-+①，()()138221n n n a a a ++--=--+，化简得：()15221n n n a a a +++=+②，用式①除以式②可得：11441252n nn n a a a a ++--=-⋅++，又114122a a -=-+，所以42n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为12-，公比为15-的等比数列，故1411225n n n a a --⎛⎫=-⨯- ⎪+⎝⎭从而1122125n n a -=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【答案】1122125n --⎛⎫+- ⎪⎝⎭4.（★★★★）已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a +=-+，则n a =______.【解析】第一步，求不动点，设()12f x x =-+，令()f x x =得：12x x -=+，解得：1x =-； 第二步，减不动点，()()11112n n a a +--=---+，化简得：1112nn n a a a +++=+， 所以12111111111n n n n n n a a a a a a ++++===+++++，从而111111n n a a +-=++，又11113a =+，所以11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为13，公差为1的等差数列， 故()11211133n n n a =+-⨯=-+，所以5332n na n -=-. 【答案】5332nn -- 5.（★★★）设数列{}n a 满足112a =，且111n n n a a a ++=-()*n ∈N ，则20a =______.【解析】设()11x f x x +=-，令()f x x =得：11xx x+=-，化简得：210x +=，无解， 这种情况下{}n a 一般是周期不大的周期数列，我们来算一下前几项看规律，由题意，112a =，121131a a a +==-，232121a a a +==--，3431113a a a +==--，45141112a a a a +===-， 所以{}n a 是周期为4的周期数列，故20413a a ==-.【答案】13-6.（★★★★）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且212n n n a a a ++=-+()*n ∈N ，则n a =______.【解析】特征方程为22x x =-+，解得：2x =-或1，所以可设()2nn a A B =⋅-+，因为11a =，22a =，所以2142A B A B -+=⎧⎨+=⎩，解得：16A =，43B =，故()14263nn a =⨯-+.【答案】()14263n⨯-+7.（★★★★）已知数列{}n a 中，11a =-，22a =，且2114n n n a a a ++=-()*n ∈N ，则n a =______.【解析】特征方程为214x x =-，解得：12x =，所以可设()12nn a An B ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，因为11a =-，22a =，所以12224A BA B +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：10A =，12B =-，故()110122nn a n ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【答案】()110122nn ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭。
2021年用不动点法求数列通项
用不动点法求数列的通项欧阳光明(2021.03. 07)定义：方程fW = x的根称为函数/(X)的不动点.利用递推数列/⑴的不动点，可将某些递推关系© =/(«…_.)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法. 定理1 ：若f(x)=ax+b(a^O t a^\), p是/(x)的不动点，％满足递推关系a n = («> 1),则a n~P = «(«n-i - P),即｛〜- 〃｝是公比为a的等比数列.证明：因为"是/⑴的不动点••• h-p = -up由a n = a -a n_x + Z?得a n -p = a-a n_} +b-p =a{a n_x - p) 所以心- 〃｝杲公比为。
的等比数列.定理 2 :设f(x) = O,cul-hc 0) , ｛a…｝满足递推关系cx +aa” = > 1,初值条件 5 丰/(«,)(1)：若/(X)有两个相异的不动点阳, 则哥(这里(2):若加只有唯-不动点P,则古=古+“(这里证明：由f(x) = x得/(切=竺二=X,所以cF +(d-a)x-b = 0 cx + d (1)因为几g是不动点，所以/璟欧阳光明末创编2021.03.07P= =><q =•所以a _pcqd b璟欧阳光明末创编2021.03.07末欧阳光明末创编2021.03.07璟欧阳光明末创编2021.03.07心-i + b------ _ P5 _ p = Si + d = (G _ pc)g +b — M = u 一 pc 5 -q 叫I + b _q (a-qc)“”T +b-qd a-qc+ d令“u,则g 』—a_qc j_q n q⑵因为卩是方程+(d-a)x-b = 0的唯一解，所以ch +(d-a)p-b = 0 所以b _ pd = cphp , p = ^L 所以2c_ 叫i +b _(a-cp)a n ^ +b-pd _ (a 一cp)a n ^ + cp 2一ap _(a-cp)(a n ^ 一p)% — p = ---- — p = ----------- = --------------- = ------------ca n ^ + d ca n ^ + d 5-i + d c% + d所以1_ 1 ca n ^ + 〃 _ 1c(d —[ 一 p) + d + cp _ c d + cp 1 _ 1心一“ a _ cp %】—〃 a - cp - p u_cp a-cp a,^ - p 如一卩令 k = , 贝[J 一!一 = ! + ka + d a n 一 p a n _｛ 一 p例1：设｛"”｝满足叮1,%严心,"M,求数列心的通项公式例2：数列｛〜｝满足下列关系：«! =2a,a n+l =2«-—,6/^0,求数列｛"”｝的 通项公式定理3：设函数心)=亦+/：+.“°,£H0)有两个不同的不动点龙严，ex + J且由u n+l =f(u…)确定着数歹II ｛“”｝，那么当且仅当b = 0,e = 2a 时.厶匚1 =(色匚土)2%] _ 工2 5 _ 工2 证明:•••忑杲f(x)的两个不动点pd b ci _ qcP"i _ q末欧阳光明末创编2021.03.07 x k = —~~ " §D c — x k f = (e — a)x k2 -bx k (k = 1,2) % +f璟欧阳光明末创编2021.03.07赚欧阳光明床创编2021.03.07叫田一刃=0冷2+/?匕+0 —吗(纨仏+/)=叫2+(S J+C-%J=dl< + (b_仅])匕 +2_d)X]2 _吠叫田一H 血 +bu fJ +c-x2(eu fj+f) au^ +(b-ex2)u n +c-x2f aii^ +(b-ex2)i｛n +(e-a)x^-bx2于是，••• 5 H 0 •••方程组有唯一解"=0" 2“1 X2例3:已知数列0｝中“ =2,% = 半,"，求数列｛殆的通项.其实不动点法除了解决上廂所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题：例4 :已知①> 0,q H 1且弘=，求数列⑷｝的通项.他(吋+1)解：作函数为/(X)= J，解方程f M = x得f(x)的不动点为4x( jr +1)“ =-1宀=1，® 一¥'宀•取"T，0= T作如下代换：4T JH-I逐次迭代后，得“=(y w (m+iy* -(q-i)“己知曲线C n .x2-2nx + y2 = 0(// = 1,2,...).从点P(-1,0)向曲线C“引斜率为忍伙” > 0)的切线/” ,切点为P…(x nt y…).(1 )求数列心与｛儿｝的通项公式;(2 )证明:设P，彳为实数，a，0是方程x2-px + q = 0的两个实根，数列｛兀｝满足州=/儿x2 = p2-q 9x… = px n_｝ -qx n_2(“ = 3,4,…).(1 )证明：a + /3= p9 c(P = q；(2)求数列｛兀J的通项公式；(3)若p = l, q = t，求｛£｝的前 "项和S n.己知函数f(x) = x2+x-\, a, 0是方程f(x) = 0的两个根(a>0), f(x)床欧阳光明床创编是/(X)的导数，设⑷=1, 5+1 = 4“ 一= 1'2,…)・*欧阳光明*创编2021.03.072021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07f g(1) 求0 0的值；(2) 证明：对任意的正整数“，都有a fl >a ； (3) 记^=lnj^(n = l,2,..),求数列他｝的前门页和S”13陕西文21.(本小题满分12分)已知数列匕｝满足， «!=1-a 2 = 2,a 卄2= %1 :心,n e N'. (I)令乞=%-a… ,证明:｛加是等比数列；(II)求｛%｝的通项公式。
用不动点法解函数数列等相关问题
4 5
2
( x + 4) -4 ,
……
f (5) ( x) =
4 5
5
( x + 4) -4 .
由于 f (5) ( x) 为正整数 ,则 55 | ( x + 4) .
因此 , x 的最小值为 55 - 4=3121 .
例 6 若 f ( x) = 19 x2 + 93 ,求 f ( n) ( x) .
所以 , f (α4 ) =α4 , …, f (α2 n ) =α2 n .
而这与 x →+ ∞, f ( x) →0 矛盾.
(2) 若 0< α<1 ,则由
1= f (1) = f α1 ·α
= f α1 f (α)
=αf
1 α
,
得f
1 α
=
1 α
,且由
0<
α<1
知α1 > 1.
类似 (1) 得出矛盾. 于是 , f ( x) 只有一个不动点.
a ≠- d ,则
1 an + 1 -
x0
=
2c a+ d
+
1 an -
x0 .
证明 : (1) 因为函数 f ( x) 有两个相异不
动点
x1 、x2
,所以 ,由
x=
ax + b得 cx + d
cx2 + ( d - a) x - b = 0.
变形得 cx2 - ax = b - dx ,即
b - dx = ( cx - a) x .
所以 , f ( x)
=
1 x
(x
∈R+ ) .
数列问题不动点法的运用
数列问题不动点法的运用
有一位名叫ZeroToss的网友给我提出下列的数列问题，问我如何解决?
其实，本题可用“不动点法”求数列的通项公式。
首先，我们要知道，什么叫做函数的“不动点”？
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”。
巧用“不动点”法求数列的通项公式，是高考中的一种比较特殊的方法。
为了让同学们好好理解并掌握这一方法。
下面我们以典型例题来加以说明（由于篇幅的关系，我们只讲步骤和方法，至于详细的证明，同学们可以在相关的《高中数学竞赛教程中》找到）。
当函数有两个“不动点”时，请同学们看下面的几个例题，即可掌握方法。
从上面的方法中，大家可以概括总结出函数“不动点”法求数列通项公式的基本方法了吗？
其实，第二种题型，相应的函数有两个不动点的，一般是形如
a(n+1)=(pan+m)/(qan+u)这样的数列求通项.这样的数列相应的函数的不动点为f(x)=(px+m)/(qx+u)=x的解x1=u，x2=v，最后一般都化归为:数列{(an-u)/(an-v)}是等比数列来求通项的问题。
我们现在再来看网友ZeroToss提出的数列问题的解答：。
数列不动点法求通项
数列不动点法求通项
以《数列不动点法求通项》为标题，写一篇3000字的中文文章什么叫数列不动点法？它是一种求解数学数列中特定元素的解法，又称作不动点迭代。
其中的一种典型的应用场景就是通过它来求解数列的通项。
一、数列不动点法的基本原理与概念
数列不动点法是一种基于极限理论的迭代解法，其核心思想就是能够将一组数字反复迭代，最终能够收敛到一个不变的、固定的数字，这个数字就叫做不动点，也叫稳定点或者可靠的结果。
在数列的研究中，数列的不动点可以帮助我们了解其数列的总体规律，并且可以推导出满足条件的通项。
二、数列不动点法求解数列的通项的过程
1、将每一项的值进行相应的迭代，得到迭代后的值。
2、将迭代后的值进行比较，如果出现不动点，则表明数列收敛到某一个点，那么就可以利用该点作为数列的通项，即可将数列中任意一个元素进行表达。
3、进一步利用已求得的不动点，寻找数列的特征值，并结合相应的条件，寻找出满足条件的通项。
三、数列不动点法的优势
数列不动点法比较简单，只需要根据数学原理，采用简单的迭代方式，就能够推导数列中任意一个元素，从而大大节约了解决数列问题所需要的时间和精力。
此外，数列不动点法在求解数列的通项时，
和其他方法相比，更加精准，可以得到更为准确的结果。
四、数列不动点法应用的实例
1、数列 4、9、14、19、24……的第n项是多少？
利用数列不动点法，可以得出第n项的值为5n+4，即第n项的值等于第一项的值（4）加上公差（5）乘以（n-1）次。
2、数列 8、7、6、5、4……的第n项是多少？
利用数列不动点法，可以得出第n项的值为n+7，即第n项的值为第一项的值（8）减去公差（1）乘以（n-1）。
不动点法求解数列
不动点法求解数列
不动点法求解数列是一种以函数迭代的方式寻找满足预先设定条
件的数列的技术。
它建立在函数迭代理论上，用它来解决一些复杂的
数学问题，它可以来有效地求解函数。
它最早是由平行计算科学家及
著名数学家拉斐特·劳伦斯·库仑提出的，它是一种分析函数的方法，它可以指定函数的迭代和评估过程。
不动点法求解数列的主要思想是以函数的迭代和收敛的方式来找
出满足预先设定条件的一组数列，即不动点。
这就意味着，当我们给
出一个函数，我们就可以找到一组数列，使得它们是最接近这个函数
的数列。
不动点法求解数列的实现方法是在每一步中使用一个函数f(x)来
表示，这个函数将当前的数列转化为下一个数列，而不动点就是某个
极小数列使得f(x)等于自身。
那么，在这种情况下，可以使用不动点
来求解原始的数列。
通常，不动点法的步骤是这样的：首先，我们给出一个初始数列，然后使用这个数列来迭代函数f(x)，直到不再变化。
在每一个迭代步
骤中，我们都可以计算出下一个数列，再把它带入函数f(x)来进行计算，最后得到最后的答案。
这种方法有两个显著的优点：1、它可以以一种有效的方式解决一
些复杂的函数，2、它的结果是可以控制的，可以得到一组满足预先设
定条件的数列，即不动点。
因此，不动点法求解数列就可以指定函数的迭代和评估过程，从
而减少计算时间和计算量，提高解决数学问题的效率。
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用不动点法求数列通项的一点几何意义猜想
孟剑卫 （江苏省东海高级中学，江苏 东海）
定义；方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。利用递推数列f（x）的不动点,可将某些递推
关系an=￡(an-1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法叫不动点法。
对于这个方法有几个重要定理，若只从代数角度理解，恐怕对许多中学生来说是有难度的。
下面笔者对这几个定理予以几何解释：
定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1)，p是f(x)的不动点，an满足递推关系an=￡(an-1),(n>1)
则an-P=a(an-1-p),即{ an-P }是公比为a的等比数列。它的代数证明如下：
证明：因为p是f（x）的不动点,所以ap+b=p,所以b-p=-ap,由an=a. an-1+b得an-p=a.
an-1+b-p=a(an-1-p),所以{ an-P }是公比为a的等比数列。
对这一定理的几何意义如下：
f(x)=x,即 f(x)与g(x)=X的交点 一目了然，an-p /an-1-p 即为 f(x)的斜率a。
上面是【文1】给出的纯代数证明，下面看看它所蕴含的几何意义。
与定理一的几何意义相似，表示的是两条直线的的斜率相比是定值k,但怎么证
明笔者尚未想到简便的方法，只能从上面的代数方法借鉴。第二种情况也是如此，
an-p/an-1-p+k(an-p)=1.如下图，由于笔者能力有限，尚未发现几何证法。
上面几个定理笔者暂且不再进行证明，在此只提出一种理想化的构思，见谅。
参考文献1胡贵平 《用不动点法求数列通项》 [J]
2胡良星 用不动点法求数列通项[J] 《中学数学研究》 2000年第7期