2019年高考真题 理科数学 (全国 III 卷) 解析版

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷）

理科数学

一、选择题

1、已知集合}1|{},2,1,0,1{2

≤=-=x x B A ，则=?B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{ 答案： A 解答：

}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=?B A .

2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 答案： D

解答：

i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=

1)1()

1)(1()1(212. 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.0 答案： C

解答：

7

.010060

8090=+-

4.4

2)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A.12 B.16 C.20 D.24 答案： A 解答：

由题意可知含3x 的项为3

3142334121211x x C x x C =???+???，所以系数为12.

5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 答案： C

解答：

设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，42

11134a q a q a =+， 因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为23

1(1)15a q q q +++=，

即可解得11a =，则2

314a a q ==.

6. 已知曲线x x ae y x

ln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ） A.e a =,1-=b B.e a =,1=b C.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 答案： D

解析：

令x x ae x f x ln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x

，21)1(=+='ae f ，得11

-==

e e

a .

b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.

7.函数3

222

x x

x y -=+在[6,6]-的图像大致为（ ） A.

B.

C.

D.

答案： B

解析：

∵32()22x x x y f x -==+，∴33

2()2()()2222x x x x

x x f x f x ----==-=-++，∴()f x 为奇函数，排除选项C.又∵33

4442424(4)8222

f -??=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意.

8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ?为正三角形，平面⊥ECD 平面ABCD ，M

是线段ED 的中点，则（ ）

A.EN BM =，且直线EN BM ,是相交直线

B.EN BM ≠，且直线EN BM ,是相交直线

C.EN BM =，且直线EN BM ,是异面直线

D.EN BM ≠，且直线EN BM ,是异面直线 答案： B

解析：

连结BD ，因为点N 为正方形ABCD 的中心，所以点N 为BD 的中点，可知直线EN BM ,都是平面BED 内的直线，且不平行，即直线EN BM ,是相交直线，设正方形ABCD 的边长为a 2，则由题意可得：a DB a DN a DM a DE 22,2,,2==

==，根据余弦定理可得：

BDE a a BDE DM DB DM DB BM ∠-=∠?-+=cos 249cos 222222， BDE a a BDE DN DE DN DE EN ∠-=∠?-+=cos 246cos 222222，

所以EN BM ≠，故选B.

9.执行右边的程序框图，如果输出ε为01.0，则输出s 的值等于（ ）

A.4212-

B.5

212- C.6

212-

D.7

2

12-

答案： C

解析：

第一次循环：21,1==x s ； 第二次循环：221

,211=+=x s ；

第三次循环：3221

,21211=++=x s ；

第四次循环：4322

1

,2121211=+++=x s ；

…

第七次循环：7622

1,21...21211=++++

=x s ， 此时ε

1

221...21211-=++++=s .故选C.

10. 双曲线C ：22

142x y -=的右焦点为

F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ?的面积为（ ）

A: 4

B:2

C:

D:答案: A

解析：

由双曲线的方程

22042x y -=

可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ?中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF 因

为tan POF=2∠得

到PH =;所

以124S PFO ?=

=;故选A;

11. 若

()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（ ）

A. 23

32

31(log )(2)(2)4f f f -->> B. 23

32

31(log )(2)(2)4f f f -->>

C. 23

3

231

(2)(2)(log )4

f f f -

-

>>

D.

23

32

3

1 (2)(2)(log)

4

f f f

--

>>

答案：

C

解析:

依据题意函数为偶函数且函数在

(0,)

+∞单调递减，则函数在(,0)

-∞上单调递增；因为333

1

(log)(log4)(log4)

4

f f f

=-=

；又因为

2

3

3

2

3

0221log4

-

-

<<<<

；所以2

3

3

2

3

1

(2)(2)(log)

4

f f f

-

-

>>

；故选C.

12.设函数()

()sin0

5

f x x

π

ωω

??

=+>

?

??

，已知()

f x在[]

02π

，有且仅有5个零点，下述四个结论：

○1()

f x在()

0,2π有且仅有3个极大值点

○2()

f x在()

0,2π有且仅有2个极小值点

○3()

f x在0,

10

π

??

?

??

单调递增

○4ω的取值范围是1229

,

510

??

?

???

其中所有正确结论的编号是

A. ○1○4

B.○2○3

C.○1○2○3

D.○1○3○4答案：

D

解析：

根据题意，画出草图，由图可知[)

12

2,x x

π∈，

由题意可得，12

55

65x x πωππωπ?+=????+=??

，解得12245295x x πωπω?=????=??，

所以

2429255πππωω≤<，解得1229

510ω≤<

，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω

=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○

1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错； ∵

1229510ω≤<，∴1149251051002

πππππ

ω≤?+<<，故○

3对. 二.填空题

13.已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ?=r r

，若2c a =r r ，则cos ,a c =r r

.

答案：

23

解析：

∵(

)

2

2222459c a a b b =-=+-?=r r r r r ，∴3c =r

，

∵(

)

2222a c a a a b ?=?=?=r r r r r r ，∴22

cos ,133a c a c a c ?==

=??r r

r r r r . 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则10

5

S S = . 答案：

4

解析：

设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，

∴()

()()1101101551102292102452452

a a a d S d a a S a d d ++?====++.

15.设1F 、2F 为椭圆120

362

2=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若2

1F MF ?为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：

)15,3(

解析：

已知椭圆120

362

2=+

y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角

形

2

1F MF ?中

8

211==F F MF ，

4212=-=MF a MF ,415

828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入120

362

2=+

y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(. 16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型。如图，该模型为长方体

1111D C B A ABCD -挖去四棱锥EFGH O -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，

H G F E ,,,分别为所在棱的中点，6==BC AB cm ，41=AA cm ,3D 打印机所用原料密

度为3

/9.0cm g ，不考虑打印损耗，则作该模型所需原料的质量为 g .

答案：

8.118

解答：

123221464=???-?=EFGH S 四边形2cm ，13231231

466=??-??=V 3cm .

8.1181329.0=?==V m ρg .

三．解答题

17.为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200只小鼠随机分成

B A ,两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只

小鼠给服的溶液体积相同，摩尔溶度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据实验数据分别得到如下直方图：

记C 为事件“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到)(C P 的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中b a ,的值；

（2）分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 答案： 见解析 解答:

（1）依题意得??

?=+++++=++12.015.015.005.07.015.02.0a b a ，解得???==1

.035

.0b a .

（2）05.4705.061.052.043.032.0215.0=?+?+?+?+?+?

6815.072.0635.0515.041.0305.0=?+?+?+?+?+?

得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为6.

18.ABC ?的内角A

B C ，，的对边分别为,,a b c .已知sin

sin 2A C

a b A +=.

（1）求B ;

（2）若ABC ?为锐角三角形，且1c =，求ABC ?面积的取值范围； 答案：

（1）60B =?；

（2）33

(

.

解答：

（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2

A C

A B A +=. 因为sin 0A ≠，所以sin

sin 2

A C

B +=.

由180A B C ++=?，可得sin cos 22

A C B

+=， 故cos

2sin cos 222B B B

=. 因为cos 02B ≠，故1

sin 22

B =，因此60B =?.

（2）由题设及（1）知ABC ?的面积3

ABC S a ?=

. 由正弦定理得sin sin(120)31

sin sin 2

c A C a C C ?-=

==+. 由于ABC ?为锐角三角形，故090A ?<

090C ?<

1

22

a <<，从而33ABC S ?<<. 因此，ABC ?面积的取值范围是33(

,). 19.图1是由矩形ADEB ，ABC Rt ?和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1=AB ，

?=∠==60,2FBC BF BE .将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图

2.

（1）证明：图2中的D G C A ,,,四点共面，且平面⊥ABC 平面BCGE ； （2）求图2中的二面角A CG B --的大小.

答案： 见解析 解析： 证明：（1）Θ四边形ADEB 为矩形， AD BE //∴

又Θ四边形BFGC 为菱形 CG BF //∴

BE Θ与BF 重合 CG AD //∴

即图2中的D G C A ,,,四点共面

由题意知，BC AB ⊥，BE AB ⊥，又B BE BC =?Θ，⊥∴AB 平面BCGE ，又?AB Θ平面ABC ，∴平面⊥ABC 平面BCGE .

(2)分别取AC BC ,的中点为H O ,，连结OH OE ,，则AB OH //，即有⊥OH 平面BCGE ，

Θ四边形BFGC 为棱形，且?=∠60FBC ，

BC OE ⊥∴，

又⊥AB Θ平面BCGE ，

OE AB ⊥∴，即⊥OE 平面ABC ，

∴以点O 为坐标原点，OE OH OC ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，

2,1==BE AB Θ，

)3,0,2(),0,0,1(),0,0,1(),0,1,1(G C B A --∴，

可得)3,0,1(),0,1,2(=-=， 设平面ACG 的一个法向量为),,(z y x n =,

?

?

?=+=-??????=?=?∴030

200z x y x AC n ，令1=z ，则32,3-=-=y x ,得到)1,32,3(--=n ， Θ平面BCG 的一个法向量为)0,1,0(-=AB ，

2

3432,cos =

=

>=

<∴n

AB n AB ,故二面角A CG B --的大小6π

. 20.已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b

的所有值；若不存在，说明理由. 答案： 见解析 解析：

（1）2

'()626()3

a f x x ax x x =-=-

①当0a =时，2'()60f x x =≥，此时()f x 在(,)-∞+∞单调递增.

②当0a >时，令'()0f x >，解得3a x >

或0x <，令'()0f x <，解得03

a x <<. 此时()f x 在(,0),(,)3a -∞+∞单调递增，在(0,)3

a

单调递减.

③当0a <时，令'()0f x >，解得0x >或3a x <，令'()0f x <，解得03

a

x <<.

此时()f x 在(,),(0,)3a -∞+∞单调递增，在(,0)3

a

单调递减.

综上可得，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增.

当0a >时，()f x 在(,0),(,)3a

-∞+∞单调递增，在(0,)3

a 单调递减. 当0a <时，()f x 在(,),(0,)3a -∞+∞单调递增，在(,0)3

a 单调递减. （2）由（1）中结论可知，当0a ≤时，()f x 在[0,1]单调递增，

此时min max ()(0)1,()(1)21f x f b f x f a b ===-==-+=，∴0,1a b ==-，满足题意. 当0a >时，若

13

a

≥，即3a ≥，则()f x 在[0,1]单调递减， 此时min max ()(1)21,()(0)1f x f a b f x f b ==-+=-===，∴4,1a b ==，满足题意. 若

13a <，即03a <<，则()f x 在[0,]3a 单调递减，在[,1]3

a

单调递增. 此时323

min

()()21327927

a a a a f x f a

b b ==?-?+=-+=-①

∵(0),(1)2f b f b a ==+-

∴当02a <<时，max ()(1)21f x f b a ==+-=②，

由①②可得1a b ==，与02a <<矛盾，故不成立. 当23a ≤<时，max ()(0)1f x f b ===③，

由①③可得1a b ==，与23a ≤<矛盾，故不成立.

综上可知，0,1a b ==-或4,1a b ==满足题意.

21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线1

2

y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是

A ,

B ,

（1）证明：直线AB 过定点;

（2）若以5(0,)2

E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.

答案： 见解析； 解答：

（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为01

2

y k x =-

，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ?=-=，解得01k =±，

并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以

直线AB 的方程为1

2

y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线

AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22

y kx m

x y =+??

?=??，

消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ?=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，

122x x k +=，122x x m =-，

由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2

()2

x f x =的图像，

则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得

12

2112

y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线1

2

y =-

上，则有

221221

12

112222x x x x x x ----

-=-，

化简得，

12212112

(1)()

2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，

即

1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验1

2

m =满足条件，

所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1

(0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1

(0,)2

得证.

（2）由（1）得直线AB 的方程为1

2

y kx =+，

当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1

(0,)2

-，

以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1

(0,)2

F 恰为AB 中点，

此时11

23322

ADBE S AB ED =?=??=；

当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，

122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，

则AB 中点坐标为21

(,)2

H k k +，

由已知可得EH AB ⊥，即2152210

EH k k k k k +-

?=?

=--， 解得，1k =±，

由对称性不妨取1k =，则直线方程为12

y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2

-，4AB =，

E 到直线AB

距离1d =

=D 到直线AB

距离2d ==

则1211

22

ADBE S AB d AB d =

?+?=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3

或

四．选做题（2选1）

22.如图，在极坐标系Ox 中，)0,2(A ,)4,

2(π

B ,)4

3,

2(πC ,),2(πD ,弧?

AB ,?BC ,?CD 所在圆的圆心分别是)0,1(，)2

,1(π，),1(π，曲线1M 是弧?AB ,曲线2M 是弧?BC ，曲线3M 是弧?CD

. （1）分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程；

（2）曲线M 由1M ,2M ,3M 构成，若点P 在M 上，且3=OP ,求P 的极坐标.

答案： 见解答 解答：

（1）由题意可知1M ,2M ,3M 的直角坐标方程为：)01,12(1)1(2

2

≥≥≥≥=+-y x y x ，

)21,11(1)1(22≤≤≤≤-=-+y x y x ，)10,12(1)1(22≤≤-≤≤-=++y x y x ，所以

1M ,2M ,3M 的极坐标为)4

0(cos 2π

θθρ≤

≤=，)4

34

(

sin 2πθπ

θρ≤

≤=，)4

3(

cos 2πθπ

θρ≤≤-=. （2）3cos 2=

θ时，23cos =

θ，6

πθ=， 3sin 2=θ时，23sin =

θ，3πθ=或3

2πθ=， 3cos 2=-θ时，23cos -

=θ，65πθ=，所以P 点的极坐标为)6,3(π，)3

,3(π

，)32,

3(π，)65,3(π

.

23.设R z y x ∈,,，且1=++z y x .

（1）求2

2

2

)1()1()1(++++-z y x 的最小值；

（2）若3

1

)()1()2(222≥-+-+-a z y x 成立，证明：3-≤a 或1-≥a .

答案： 见解析 解析：

（1）根据柯西不等式，4)111(3])1()1()1[(2

222=++++-≥?++++-z y x z y x

故34)1()1()1(222≥

++++-z y x ，当且仅当111+=+=-z y x ，即35=x ，3

1-==z y 时，2

22)1()1()1(++++-z y x 取最小值3

4;

（2）方法一：根据柯西不等式，2

2

2

2

)12(3])()1()2[(a z y x a z y x -+-+-≥?-+-+-

133

1

)2(2=?≥+=a ，证得3-≤a 或1-≥a .

方法二：令),1,2(a z y x m ---=，)1,1,1(=n ，

3)()1()2(12222?-+-+-=

≥-+-+-=a z y x a z y x

1

33

1=?≥，1

2≥--∴a ，证得3-≤a 或1-≥a