勾股逆定理
勾股逆定理的证明方法
勾股逆定理的证明方法勾股定理是初中数学中一个非常重要的定理，它是数学中的一个基本定理，也是解决直角三角形中各种问题的基础。
而勾股逆定理则是勾股定理的逆定理，它是指如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
在这篇文档中，我们将探讨勾股逆定理的证明方法。
首先，我们来看一下勾股逆定理的表述，如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
这个定理的证明方法有很多种，下面我们将介绍其中一种常见的证明方法。
我们先假设一个三角形ABC，其中∠C为直角。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
现在我们要证明a² + b² = c²的逆定理，即如果a² + b² = c²，那么∠C一定是直角。
我们可以利用反证法来证明这个命题。
假设三角形ABC中∠C不是直角，即∠C是锐角或钝角。
如果∠C是锐角，那么根据三角函数中的正弦定理和余弦定理，我们可以得出a² + b² < c²；如果∠C是钝角，那么根据三角函数中的正弦定理和余弦定理，我们可以得出a² + b² > c²。
这与已知条件a² + b² = c²矛盾，因此假设不成立，即∠C一定是直角。
通过上面的证明，我们可以得出结论，如果一个三角形的三边满足a² + b² = c ²，那么这个三角形一定是直角三角形。
这就是勾股逆定理的证明方法。
总结一下，勾股逆定理是勾股定理的逆定理，它是指如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
证明这个定理的方法有很多种，我们这里介绍了一种常见的证明方法，即利用反证法。
第十七章05节 勾股定理勾股定理的逆定理
s a m pl e e s s a ys , pl e a s e s t a y t une d!
目录
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
1、a=15 ，b=8 ，c=17
2、a=13 ，b=14 ，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
第十七章05节 勾股定理
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M o r e o v e r, o u r s t o r e p r o v i d e s v a r i o u s t y p e s o f c l a s s i c
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
2
45°
∠A
约36.5°
∠B
∠C
90°
约22.5°
90°
90°
约53.5°
约67.5°
45°
A
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
勾股定理逆定理典型例题
勾股定理逆定理典型例题引言勾股定理是初中数学中的一个重要概念，它揭示了直角三角形中边长之间的关系。
在应用中，我们经常需要利用勾股定理来求解未知边长或角度。
然而，有时候给定两边，我们需要求解的却不是缺失的第三边，而是未知角度。
这就涉及到了勾股定理逆定理。
本文将通过介绍勾股定理逆定理的概念，并以几个典型例题来帮助我们更好地理解和应用。
勾股定理逆定理勾股定理逆定理是由勾股定理推导而来的一个定理。
勾股定理表述为：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
换句话说，对于直角三角形，若已知两条直角边的长为 a 和 b，斜边的长为 c，则有 c^2 = a^2 + b^2。
勾股定理逆定理则是指：若已知三边长为 a、b、c，且满足 c^2 = a^2 + b^2，则这三条边所对应的角度必然满足直角三角形的条件（即其中一个角为直角，即90 度）。
换句话说，如果一个三角形的三个边长满足勾股定理的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
例题一已知一个三角形的三边长为 3、4 和 5，我们需要判断这个三角形是否为直角三角形。
解答步骤根据勾股定理逆定理，若一个三角形的三边长满足 c^2 = a^2 + b^2，则这个三角形为直角三角形。
我们先计算一下：c^2 = 5^2 = 25a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25由计算结果可知 c^2 等于 a^2 + b^2，因此这个三角形是一个直角三角形。
结论对于一个边长为 3、4 和 5 的三角形，它是一个直角三角形。
例题二已知一个三角形的三边长为 7、10 和 12，我们需要判断这个三角形是否为直角三角形。
解答步骤根据勾股定理逆定理，我们计算：c^2 = 12^2 = 144a^2 + b^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149由计算结果可知c^2 不等于a^2 + b^2，因此这个三角形不是一个直角三角形。
结论对于一个边长为 7、10 和 12 的三角形，它不是一个直角三角形。
勾股定理逆定理八种证明方法
勾股定理逆定理八种证明方法本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。
过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。
斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90°，QP∥BC，∴∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。
勾股定理及其逆定理的运用课件
通过学习勾股定理及其逆定理，学生可 以培养出严密的逻辑思维和推理能力， 为后续的数学、物理、工程等学科的学
习打下坚实的基础。
学生可以从中领悟到数学与实际生活的 紧密联系，激发对数学的兴趣和热爱，
提高自主学习和探索的能力。
对实际应用的展望和期待
随着科技的发展和实际问题的复杂化，勾股定理及其逆定理的应用前景 将更加广阔。
度。
物理学
在物理学中，勾股定理可以用来解 决与直角三角形相关的力和运动问 题，例如单摆的运动和受力分析。
航海学
在航海学中，勾股定理可以用来计 算船只的航行距离和方向，以确保 航行安全。
02
逆定理的的逆定理是指，如果一 个三角形的三边满足勾股定理的 条件，那么这个三角形一定是直 角三角形。
条件限制不同
勾股定理适用于所有直角 三角形，而逆定理只适用 于已知一边和与之相对的 角为直角的三角形。
证明方法不同
勾股定理可以通过相似三 角形或面积法证明，而逆 定理通常通过反证法证明 。
定理与逆定理的互补之处
勾股定理是逆定理的前提
01
只有当满足勾股定理的条件时，一个三角形才可能是直角三角
形。
逆定理是勾股定理的延伸
02
勾股定理的逆定理是勾股定理的 一个重要应用，它可以帮助我们 判断一个三角形是否为直角三角 形。
逆定理的证明方法
勾股定理的逆定理可以通过反证法进 行证明。
然后通过构造一个直角三角形与三角 形ABC全等，并利用勾股定理证明假 设不成立，从而得出三角形ABC是直 角三角形的结论。
首先假设一个三角形ABC的三边满足 a²+b²=c²，但角C不是直角。
勾股定理及其逆定理的运用ppt课件
目录
勾股定理逆定理推导过程
勾股定理逆定理推导过程勾股定理是代数和几何之间的重要关系之一，它表明在直角三角形中，两个较小边的平方和等于斜边的平方。
其具体形式为：在直角三角形ABC中，若AC为直角边，AB和BC为斜边，那么有AB² + BC²= AC²。
对于勾股定理的逆定理，我们需要证明的是：若在三角形ABC中，有AB² + BC² = AC²，那么该三角形必定是直角三角形。
为了证明这个逆定理，我们可以使用几何方法和代数方法两种不同的方式进行推导。
首先，我们使用几何方法进行证明。
几何方法：假设在三角形ABC中，有AB² + BC² = AC²，我们需要证明该三角形是直角三角形。
根据已知条件，我们知道AB² + BC² = AC²。
这意味着在平面上，AB的长度的平方加上BC的长度的平方等于AC的长度的平方。
我们可以考虑将三角形ABC放置在一个坐标平面上，其中A点位于原点(0,0)，B点位于x轴上(x,0)，C点位于y轴上(0,y)。
这样，我们可以根据坐标平面上的点的坐标计算出三个点之间的距离。
根据上述坐标设定，我们可以得出以下结论：AB的长度等于xBC的长度等于yAC的长度等于√(x² + y²)根据我们的假设AB² + BC² = AC²，我们可以得到以下等式：x² + y² = √(x² + y²)² = x² + y²从以上等式中，我们可以推断出，只有当x或y中的一个或者两个同时为0时，等式才能成立。
当x=0时，我们可以得到A、B、C三个点共线，形成1个直角，此时三角形为直角三角形。
当y=0时，同理，三角形也为直角三角形。
当x和y同时为0时，A、B、C三个点重合，根据几何定义，三角形为退化三角形，即不存在。
认识勾股定理的逆定理
认识勾股定理的逆定理勾股定理是我们初学数学时最常接触的定理之一，它给我们提供了在直角三角形中计算两个直角边平方和的方法。
然而，你可能不太熟悉勾股定理的逆定理，即反过来计算斜边平方的方法。
本文将详细介绍认识勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理即为：如果一个三角形的三个边长满足a^2 + b^2 = c^2，则它是一个直角三角形，其中c为斜边，a和b为直角的两个边。
首先，我们来了解一下勾股定理的应用场景。
勾股定理可以帮助我们计算直角三角形的边长，而直角三角形在很多实际问题中都有应用。
比如，在建筑设计中，勾股定理可以帮助我们计算房间的对角线长度。
在地理测量中，勾股定理可以用来测量两地之间的距离。
因此，勾股定理的应用非常广泛。
然而，有时候我们会遇到一种情况，已知一个三角形的三个边长，我们希望判断它是否是一个直角三角形。
这时候，勾股定理的逆定理就起到了作用。
逆定理告诉我们，如果一个三角形的三个边长满足a^2 + b^2 = c^2，则它是一个直角三角形。
现在，我们来看一个具体的例子来理解逆定理的应用。
假设有一个三角形ABC，它的边长分别为3、4和5。
我们想要判断这个三角形是否是一个直角三角形。
根据逆定理，我们只需要验证3^2 + 4^2 = 5^2 是否成立。
计算得到3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。
而5^2 = 25。
因此，3^2 + 4^2 =5^2 成立，所以三角形ABC是一个直角三角形。
同样的，如果我们已知一个三角形的三个边长满足a^2 + b^2 = c^2，我们可以断定它是一个直角三角形。
通过逆定理，我们可以在不需要知道角度的情况下判断一个三角形是否是直角三角形，这对于解决一些实际问题非常有用。
比如，在建筑设计中，我们可以直接测量三角形的三条边长，然后通过逆定理判断是否是直角三角形，而不需要额外测量角度。
总结一下，勾股定理的逆定理告诉我们，如果一个三角形的三个边长满足a^2 + b^2 = c^2，则它是一个直角三角形。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理内容如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形。
如果a^2+b^2>c^2，则△ABC是锐角三角形。
如果a^2+b^2<c^2，则△ABC是钝角三角形。
证明方法已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。
证法1：同一法。
证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。
构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。
那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。
在△ABC和△A'B'C'中，a=a'b=b'c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。
因而，∠C=∠C'=90°。
（证毕）证法2：余弦定理。
由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。
由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。
（证毕）证法3：相似三角形。
证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。
在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。
在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。
∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。
又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。
另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。
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勾股逆定理
关于勾股逆定理，其实是中学数学里的常识性问题，但如果用中学的数学知识来回答却不容易回答。
这句话在中国古代就有，但是因为当时文字、记录等原因未能普及。
直到1820年前后才在我国南方几省得到广泛流传，但当时仍然没有普及开来。
直到1825年，法国著名数学家达朗贝尔提出并阐述了这个定理，后来德国数学家戴维又将它系统化，从此这个定理便风靡全世界。
所谓“二次发现”，主要是指达朗贝尔和戴维各自对于它的命名不同。
达朗贝尔根据它们讨论三角形内角和的问题，把它称为“勾股定理”，他自己则称之为“勾股逆定理”。
戴维把这个定理命名为“勾股逆定理”，但是他根本不提到有这个逆定理，是在公元1806年出版的《两个三角形面积的比值》一书中才明确地给出“勾股逆定理”的命题。
而二次发现也可以说是三次发现的必然结果。
首先是通过研究三角形内角和的平方公式，发现如果用两个正三角形拼成一个直角三角形，那么它们所拼成的直角三角形的内角和大于平方根；其次是通过研究勾股定理的逆定理——如果用一个正方形拼成一个直角三角形，那么它们所拼成的直角三角形的内角和小于平方根。
从此人们对三角形面积的研究转向了对直角三角形的研究，勾股逆定理也由此进入人们的视野。
这两种方法都是对的，只是方法略有差异。
达朗贝尔采用的是欧
氏几何的直角三角形的计算方法，简单而清楚，戴维采用的是平面几何的几何体思想，有些复杂，但更加严谨。
勾股正定理告诉我们：当直角三角形中的两个锐角互余，并且一个锐角的平方等于一个直角的平方，即180°×180°÷2=90°×90°，两个锐角的平方和大于第三个直角的平方时，则这两个锐角互补。
我们举例来说明这个问题。
“那么，你拿两张桌子拼成一个长方形，左边是长方形的宽，右边是长方形的高，那么这个长方形的长应该是2×3÷2=6（厘米），
面积应该是1×1=1平方厘米，这说明什么呢？”妈妈笑着问。
我愣
了一下，马上找出资料来说：“那么左边的长方形应该是一个正方形。
”我说完了后，妈妈又追问：“右边呢？”“右边的长方形应该是一个长方形，长是6厘米，宽是3厘米，面积是6×3= 18平方厘米。
”
除了一般三角形外，特殊三角形都适用。