第二章 基本初等函数
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第二章 基本初等函数 （一）基本知识回顾
1.指数与指数运算
（1 (0)|| (0)
n n
a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.
（2）分数指数幂：n m
n
m a a
=， n
m
n
m a
a
1
=
-
，),,0(+∈>N n m a .
（3）分数指数幂的运算性质：当a>0时，有： ①n
m n m a a a +=⋅， n m n m n m a a a a
a --=⋅=； ②mn n m a a =)(； ③n n n
b a ab =)(.
2.对数与对数运算
（1）定义：)10(log ≠>=⇔=a a N x N a a x 且.
（2）对数的运算性质：①01log =a ； 1log =a a . ②对数恒等式:N a
N
a =log ；
b a b a =log .
③运算法则:N M N M a a a log log )(log +=⋅；N M N
M
a a a log log log -=；M n M a n a log log =. ④换底公式:a
b b
c c a log log log =； b m
n
b a n a m log log =； 1log log =⋅a b b a .
3.指数函数与对数函数
函数 函数)10(≠>=a a a y x
且
函数)10(log ≠>=a a x y a 且
定义域 R
),0(+∞
值域 ),0(+∞
R
图 像 a<1
0 a<1 0 过定点 （0，1） （1,0） 单调性 增函数 减函数 增函数 减函数 函数值的分布 当x>0时，y>1 当x>0时，0 当x>1时，y<0 位置关系 在y 轴右边，底数大的函数图像在上边 （随着底数的增大，图像逆时针旋转） 在x 轴下边，底数大的函数图像在左边 （随着底数的增大，图像顺时针旋转） 4.幂函数 幂函数α x y = 0<α 10<<α 1>α 在第一象限内的图像 过定点 （1,1） （0,0），（1,1） （0,0），（1,1） 在),0(+∞上的单调性 减函数 增函数 增函数 奇偶性 当α是奇数时，幂函数是奇函数，当α是偶数时，幂函数是偶函数。 位置关系 在直线x=1的右侧，α越大，图像越高。 5.反函数 (1)反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域； (2)反函数与原函数单调性相同，只有单调函数（一一对应的函数）才具有反函数； (3)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称； (4)若点(a,b)在原函数的图像上，则点(b,a)在其反函数的图像上.即：a b f b a f =⇔=-)()(1 . 6.函数不等式：（实质是单调性的应用，若)(x f 是),[b a 上的增函数且)()(21x f x f <，则b x x a <<≤21） (1)指数不等式的解法：1）当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>； 2）当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<. (2)对数不等式的解法：1）当1a >时, )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔<； 2）当01a <<时, 0)()()(log )(log >>⇔ （1）常见的简单函数（图像及性质必须掌握）： 1）一次函数)0(≠+=k b kx y ； 2）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ； 3）反比例函数)0(≠= k x k y ； 4）指数函数)10(≠>=a a a y x 且； 5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且； 6）幂函数x y = ； 7）幂函数3x y =； 8）绝对值函数x y =； 9）对勾函数)0(>+ =a x a x y . （2）复合函数)]([x g f y =（思路：先化简函数解析式，令)(x g t =，)(t f y =转化为两个简单函数求解） 1）一次函数型复合函数：b x kg y +=)(，令)(x g t =，则b kt y +=. 如123+⋅=x y ，1log 32+⋅-=x y ，1+=x y 2）二次函数型复合函数：c x bg x g a y ++=)()]([2，令)(x g t =，则c bt at y ++=2 . 如4234-⋅+=x x y ，2log )(log 222-+=x x y ，322 4++=x x y ，x x y -++=112. 3）反比例函数型复合函数：)(1x g y = ，令)(x g t =，则t y 1=. 如212+=x y ，1 1 2++=x x y （分离常数）,11222++=x x y ，122+=x x y 4）指数函数型复合函数：) (x g a y =，令)(x g t =，则t a y =. 如x x y 22 2-=，x y 3log ) 2 1(=，1 3 -=x y .