高考理科数学第一轮复习试题-课时提升作业(七十三) 选修4-4 1

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课时提升作业(七十三)

坐标系

(45分钟100分)

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( )

A. B.

C.(1,0)

D.(1,π)

【解析】选B.由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化为普通方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.

2.极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线2ρcos=-1的位置关系为( )

A.相离

B.相切

C.相交

D.无法确定

【解析】选B.圆ρ=2cosθ与直线2ρcos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d==1=r,所以直线与圆相切.

3.(2015·北京模拟)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为

( ) A.1 B. C. D.2

【解析】选A.由圆的极坐标方程ρ=2sinθ,

得ρ2=2ρsinθ,

圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,

标准方程为x2+(y-1)2=1,

所以圆心C(0,1)到极轴的距离为1.

二、填空题(每小题6分,共18分)

4.(2015·咸阳模拟)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l:y=x与圆C:ρ=4cosθ相交于A,B两点,则以AB为直径的圆的面积为.

【解析】由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,

所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,

由得x2-2x=0,解得x=0或x=2,

所以y=0或y=2,所以A(0,0),B(2,2),

所以|AB|=2,以|AB|为直径的圆的面积为2π.

答案:2π

5.(2015·重庆模拟)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.

【解析】直线2ρcosθ=1的直角坐标方程为x=,圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2=2x,

即(x-1)2+y2=1,圆心(1,0)到直线的距离为d=,所以弦长为2=.

答案:

6.(2014·天津高考)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a 相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为.

【解析】圆的普通方程为x2+=4,直线为y=a.

因为△AOB是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得a=3.

答案:3

三、解答题(每小题16分,共64分)

7.在极坐标系中,求两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的公共部分的面积.

【解析】两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的普通方程分别为x2+y2-2x=0,x2+y2-2y=0,交点坐标为O(0,0),A(1,1),两圆公共部分的面积等于2=.

8.在极坐标系中,求圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值.

【解析】由圆ρ=2得直角坐标方程为x2+y2=4,

圆心为(0,0),半径为r=2.

直线ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,圆心到该直线的距离为d==3,且d>r.故圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的

最小值是1.

9.在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12.

(1)求点P的轨迹方程.

(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.

【解题提示】由O,M,P三点共线及OM·OP=12.设出动点P,M的极坐标,然后代入条件等式求解即可.也可以转化为普通方程解决.

【解析】方法一:

(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),

则点M为(ρ0,θ).

因为OM·OP=12,

所以ρ0ρ=12,得ρ0=.

因为M在直线ρcosθ=4上,

所以ρ0cosθ=4,即cosθ=4.

于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程.

(2)由于点P的轨迹方程为ρ=3cosθ=2·cosθ,

所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).

又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.

方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),由∥,得y0=(x>0).

又OM·OP=12,

则OM2·OP2=144.

所以(x2+y2)=144,

整理得x2+y2=3x(x>0),

这就是点P的轨迹的普通方程.

(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).

又点R在直线l:x=4上,故RP的最小值为1.

10.(2015·遵义模拟)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为,若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心,4为半径.

(1)求圆C的极坐标方程.

(2)试判定直线l与圆C的位置关系.

【解析】(1)M点的直角坐标为(0,4),

因为圆C以M为圆心,4为半径,

所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16,即x2+y2=8y,

所以圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ.

(2)因为直线l过点P(1,-5),且倾斜角为,

所以直线斜率为,

所以直线l的普通方程为x-y-5-=0,

圆心M到l的距离为d==>4,

所以直线l与圆C相离.

【加固训练】1.在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.

(1)求圆C的极坐标方程.

(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹方程. 【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点,在△OCM中,∠COM=,由余弦定理,得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM.

所以32=ρ2+32-2×3×ρcos.

即ρ=6cos为所求.

(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),由=2,

得=2(-).

所以=,

所以ρ1=ρ,θ1=θ,

代入圆ρ=6cos,

得ρ=6cos,

即ρ=9cos为所求.

2.(2014·南京模拟)在极坐标系中,曲线E:ρsin2θ=2cosθ,过点A(5,α)(α为锐角且tanα=)作平行于θ=(ρ∈R)的直线l,且l与曲线E分别交于B,C两点.

(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线E与直线l的普通方程.

(2)求BC的长.

【解析】(1)曲线E:ρsin2θ=2cosθ,

即ρ2sin2θ=2ρcosθ,曲线的直角坐标方程为y2=2x.

由公式点A(5,α)的直角坐标为A(4,3),

直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,

所以过点A(4,3)平行于y=x的直线l的方程为y=x-1.

(2)将y=x-1代入y2=2x,整理,得x2-4x+1=0,

设B(x1,y1),C(x2,y2),则由方程的根与系数的关系,得x1+x2=4,x1x2=1,

所以|BC|=

==2.

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