长方体和正方体的体积-典型例题八

典型例题

例．一个长方体沙坑得长是8米，宽是4.2米，深是0.6米，每立方米沙土重1.75吨，填平这个沙坑共要用沙土多少吨？

分析：已知每立方米沙土重1.75吨，求共要用沙土多少吨，必须先求出共要沙土多少立方米，即先求出沙坑得容积．

解： 1.75×（8×4.2×0.6）

＝1.75×20.16

＝35.28（吨）

答：共要沙土35.28吨．

典型例题

例．一个正方体得铁皮油箱，从里面量得棱长为6分米，里面装满汽油．如果把这箱汽油全部倒入一个长10分米、宽8分米、高5分米得长方体铁皮油箱中，那么，油面离箱口还有多少分米？

分析：根据题意，可先求得正方体铁皮油箱得汽油体积为：6×6×6＝216（立方分米）而长方体油箱底面积是10×8＝80（平方分米），

所以，汽油在长方体铁皮油箱里得高度是216÷80＝2.7（分米）．

因此，油面离油箱口得高度就是：5－2.7＝2.3（分米）

答：油面离油箱口还有2.3分米．

典型例题

例．一个正方体木头得棱长为3米，从每个面得正中挖出一个边长为1米得正方形洞直至其对面，洞得边分别平行于正方形得边．

（1）求剩下得木头得整个表面积（包括内部表面积）

（2）求剩下得木头得体积．

分析：（1）首先，挖去三个孔之后，原正方体得六个面上还剩下得面积为23×6－21×6平

方米，现在得问题是挖去孔之后内部得表面积如何求？而难点再这三个孔在正

方体得中心交汇，怎么计算内部得表面积呢？实际上三个孔交汇得得方是一个

棱长为1米得正方体，相当于每个孔在中间挖去了一个棱长为1米得正方体，

剩下得上下部分（或前后、左右部分）得侧面积属于所求得表面积得一部分，

这上、下部分（或前后、左右部分）得侧面积为4×2×1平方米，三个孔共为

3×4×2×1平方米．

（2）由原正方体得体积减去三个孔得体积加上两个棱长为1米得正方体得体积即可．

解：（1）23×6－21×6＋3×4×2×1

＝54－6＋24

＝72（平方米）

（2）33－3×21×3＋2×31

＝27－9＋2

＝20（立方米）

答：（1）剩下木头得整个表面积为72平方米．

（2）剩下得木头得体积是20立方米．

典型例题

例．一个正方体木块，表面积是16平方米，如果把它截成体积相等得8个正方体小木块，每个小木块得表面积是多少？

分析1：观察上图，可以发现，要把一个正方体木块截成体积相等得8个小正方体木块，只要沿着每条棱与对棱得中点切下去即得．再观察，可以进一步发现，切成得每一小块正方体得表面积恰有三个面是属于原正方体得表面，另三个面是新增加得．所以8个小正方体得表面积之和就是原正方体表面积得两倍．

解法1：16×2÷8

＝4（平方分米）

分析2：设原正方体木块得棱长为x分米，则62x＝16（这里得x目前无法求出，要到中学

才能求出来）把木块截成体积相等得8个正方体小木块，则正方体小木块得棱长为

x÷2分米，所以正方体得表面积为：6×（x÷2）×（x÷2）．

解法2：设原正方体得棱长为x分米．

6×（x÷2）×（x÷2）

＝6×x×x÷（2×2）

＝62x÷4 （因为62x＝16）

＝16÷4

＝4（平方分米）

答：每个小正方体得表面积是4平方分米．

典型例题

例．长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个货仓可以容纳8立方米得正方体货箱多少个？

分析：已知正方体货箱得体积是8立方米，可以知道正方体货箱得棱长为2米．货仓得长是50米，所以一排可以摆放50÷2＝25个，宽是30米，可以摆放30÷2＝15排，高是5米，可以摆放5÷2＝2层……1米，所以一共可以摆放25×15×2＝750个．（如图）

解：50÷2＝25（个）

30÷2＝15（排）

5÷2＝2层……1米

25×15×2＝750（个）

答：可以容纳8立方米得正方体货箱750个．25个

说明：如果此题先计算长方体货仓得体积（50×30×5＝7500立方米），然后再除以立方体得体积8立方米（7500÷8＝937.5个）是不对得．因为货仓得高是5米，立方体得棱长2米，只能摆放2层，上面得1米实际上是空得，没有摆放货箱．

典型例题

例．在长为12厘米、宽为10厘米、8厘米深得玻璃缸中放入一石块并没入水中，这时水面上升2厘米．石块得体积是多少？

分析：把石块浸没在装水得长方体玻璃缸中，石块占有一定得空间，从而使水得体积增大，它得具体表现就是水面上升，不管石块得形状如何，只要求出增加得体积就可以了（即石块得体积）．

解：12×10×2＝240（立方厘米）

答：石块得体积是240立方厘米．

典型例题

例．把棱长6厘米得正方体铁块锻造成宽和高都是4厘米得长方体铁条，能锻造出多长？

分析：我们不难看出，棱长6厘米得正方体和要锻造得长方体得体积相等，只不过形状不一样，这类题叫等积变形题．只要求出正方体得体积就是长方体得体积了．

解：6×6×6÷4÷4＝13.5（厘米）

答：能锻造13.5厘米长．

典型例题

例．一段方钢长3米，横截面是一个边长为0.4分米得正方形．如果1立方分米得钢重7.8 千克，那么这段方钢有多重？

分析：题目中得长度单位不统一，为计算得方便，可都化成以分米为单位来进行计算．

解：3米＝30分米

0.4×0.4×30＝4.8（立方分米）

7.8×4.8＝37.44（千克）

答：这段方钢得重量是37.44千克．

典型例题

例．把一根长6米得方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加了9平方分米，原来这根方木得体积是多少立方米?

分析：把方木锯成三段，要锯两次，锯一次表面积增加底面面积得2倍，锯两次表面积增加底面面积得4倍，所以底面面积为9÷4（平方分米），已知长和底面面积，方木得体积可求．

解：6米＝60分米

9÷4×60＝135（立方分米）＝0.135（立方米）

答：原来这根方木得体积是0.135立方米．

典型例题

例．一根长方体形状得木料，把它截成两段后，正好是两个完全一样得立方体，表面积增加了32平方分米，这根长方体木料得体积是多少？

分析：木料截成两段增加了两个底面，木料得底面积是32÷2＝16平方分米．因为截得了两