2015年高考文科数学四川卷及答案解析

数学试卷 第1页（共15页）

数学试卷 第2页（共15页）

数学试卷 第3页（共15页）

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数学（文科）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ）

A ．{|13}x x -<<

B ．{|11}x x -<<

C ．{|12}x x <<

D ．{|23}x x << 2．设向量a ()2,4=与向量b (),6x =共线，则实数x =

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是

（ ）

A ．抽签法

B ．系统抽样法

C ．分层抽样法

D ．随机数法

4．设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的 （ ）

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是

（ ）

A ．sin(2)2

π

y x =+ B ．π

cos(2)2

y x =+ C ．sin 2cos2y x x =+

D ．sin cos y x x =+

6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为

（ ）

A

．2

-

B

．

2

C ．12-

D ．

12

7．过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线

的两条渐近线于A ，B 两点，则||=AB

（ ） A

．3

B

．

C ．6

D

．

8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）

满足函数关系e

kx b

y +=（e 2.718=…为自然对数的底数，k ，b

为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保 鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是

（ ） A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时

D ．28小时

9．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +??

+??+?

≤，

≤，≥，则xy 的最大值为

（ ）

A ．25

2

B ．492

C ．12

D ．16

10．设直线l 与抛物线2

4y x =相交于A ，B 两点，与圆2

2

2

(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是

（ ）

A ．(1,3)

B ．(1,4)

C ．(2,3)

D ．(2,4) 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项:

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿

纸上无效.

第Ⅱ卷共11小题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.

11．设i 是虚数单位，则复数1

i i

-＝__________. 12．2lg0.01log 16+的值是___________.

13．已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是___________.

14．在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，

俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，

11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是__________.

15．已知函数()2x f x =，2

()g x x ax =+（其中a ∈R ）.对于不相等的实数1x ，2x ，设

1212()()f x f x m x x -=

-，1212

()()

g x g x n x x -=-，现有如下命题：

①对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；

②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）

设数列{}n a (1,2,3,)n =???的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数

列.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1

{

}n

a 的前n 项和为n T ，求n T .

-------在

--------------------此--------------------卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

姓名________________ 准考证号_____________

数学试卷 第4页（共15页）

数学试卷 第5页（共15页）

数学试卷 第6页（共15页）

17．（本小题满分12分）

一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客1P ，2P ，3P ，4P ，5P 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客1P 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.

（Ⅰ）若乘客1P 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给

；

（Ⅱ）若乘客1P 坐到了2

号座位，其他乘客按规则就座，求乘客5P 坐到5号座位的概率.

18．（本小题满分12分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（Ⅰ）请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF ⊥平面BEG

19．（本小题满分12分）

已知A ，B ，C 为ABC △的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程210x p +-+= （p ∈R ）的两个实根. （Ⅰ）求C 的大小.

（Ⅱ）若3AB =，AC =p 的值.

20．（本小题满分13分）

如图，椭圆2222:+1(0)x y E a b a b =>>，点P (0,1)在短轴CD 上，且

1PC PD =-.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使 OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数22

()2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a ＞.

（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；

（Ⅱ）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥恒成立，且()0f x =在区间(1,)+∞内有唯一解.

2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文科）答案解析

(13)A B =-，【提示】直接利用并集求解法则求解即可. :6x ，解得

1 )

2x

x y

?≤

?

2

故最大值为25

. 2

【提示】画出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可.

第Ⅱ卷

32424

【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥

1

2n

++=

数学试卷第7页（共15页）数学试卷第8页（共15页）数学试卷第9页（共15页）

数学试卷 第10页（共15页）

数学试卷 第11页（共15页）

数学试卷 第12页（共15页）

【解析】（Ⅰ）点F G H ，，的位置如图所示

（Ⅱ）平面BEG ∥平面ACH ，证明如下：

CH ?ACH BE BG B ＝，所以平面（Ⅲ）连接FH ，因为DH FH H ＝，所以BFHD ，所以DF 同理DH BG ⊥，又EG BG G ＝，所以DF ⊥平面BEG .

602

2

=3

1tan 45tan303tan75tan(4530)1tan 45tan303

13

+

+=--

=+=

tan75，从而可求【考点】韦达定理，解三角形，正弦定理，正切值

【考点】导数的运算，导数在研究函数中的应用，函数的零点.

数学试卷第13页（共15页）数学试卷第14页（共15页）数学试卷第15页（共15页）