函数的奇偶性定义
函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：
若f(－x) =f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x)或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
(14).设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝ ，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A.0B.1C. D.5
(15)．若 ，g（x）都是奇函数， 在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
（16）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( )
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：
A．13B．2 C.13/2D.2/13
（17）定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是( )
A．f(x)－1是奇函数 B．f(x)＋1是奇函数
C．f(x)－2010是奇函数 D．f(x)＋2010是奇函数
（18）设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )
函数的奇偶性
函数的奇偶性一函数奇偶性知识点：1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数。
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.二，例题例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)= 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1<x2<0，进而判断：F(x1) －F(x2)= － = 符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1>－x2>0因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②由①②得f(x2)>f(x1)>0于是F(x1) －F(x2)= －例2：已知 是定义域为 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x －2|所以f(－x)= －x|－x －2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x) 所以－f(x)= －x|x+2|所以f(x)=x|x+2| 故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.x)= 在(－∞，0)上是减函数。
函数的奇偶性
函数的奇偶性一、定义偶函数的定义：设函数f(x)的定义域I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（用符号语言刻画了函数性质）注意：自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等奇函数的定义：设函数f(x)的定义域I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数（用符号语言刻画了函数性质）奇偶函数的等价形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⟺∀x∈I，-x∈I，且f(-x)-f(x)=0f(x)是奇函数⟺∀x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0二、重要结论1、偶函数的图像关于y轴对称2、奇函数的图像关于原点对称3、奇函数、偶函数的定义域必须关于原点对称4、函数的奇偶性体现了函数的整体性质，即它要求定义域中的任意一个自变量都具有这样的特性三、奇函数和偶函数的相同点和不同点相同点：1、定义域关于原点对称2、都是函数的整体性质不同点：1、当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数2、偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称四、题型题型一：判断具体函数的奇偶性解题思路：第一步：求出函数的定义域第二步：判断定义域是否关于原点对称，若否，则函数不具有奇偶性，若是，则进行第三步第三步：∀x∈I（I为定义域），计算f(-x)若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数例题1、下列函数是奇函数的是（）A、y=−1x B、y=ln x C、y=x2−1xD、y=x−1（解析）对于A，定义域为{x|x≠0}，f(-x)=−1−x =1x=−f(x)，所以函数为奇函数对于B，定义域为{x|x>0}不关于原点对称，非奇非偶函数对于c，定义域为{x|x≠0}，f(-x)=(−x)2−1−x =1x=x2+1x≠−f(x)，所以y=x2−1x不是奇函数对于D，定义域为R，f(-x)=−x−1≠−f(x)，所以y=x−1不是奇函数例题2、已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0，则f(x)是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、不能确定（解析）令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f(0)f(0)，f(0)≠0，所以f(0)=1，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，即f(-y)=f(y)，所以f(x)为偶函数题型二：奇偶函数的性质例题1已知函数f(x)=x 2−1x+a是奇函数，则a等于（）A、0B、1C、-1D、2（解析）使用奇函数的性质，根据题意，由函数f(x)是奇函数，得f(-x)+f(x)=0，则x 2−1x+a +x2−1−x+a=0，解得a=0，函数f(x)=x2−1x+a定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),是奇函数，所以a=0例题2已知f(x)为奇函数，当x>3时，f(x)=x2−7x−3，则f(-4)=（）A、-9B、9C、-19D、19（解析）因为f(x)为奇函数，当x>3时，f(x)=x2−7x−3，所以f(4)=9，则f(-4)=-f(4)=-9题型三：奇偶函数的对称性例题1、函数y=−2−x与y=2x的图像（）A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、关于直线y=x轴对称（解析）因为y=f(x)的图像与y=−f(−x)的图像关于原点对称，所以函数y=−2−x与y=2x的图像关于原点对称例题2、函数f(x)=4x−12x的图像关于（）A、原点对称B、直线y=x对称C、直线y=−x对称D、y轴对称（解析）因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称f(x)=4x−12x =4x2x−12x=2x−2−x，则f(-x)=2−x−2x=−（2x−2−x）=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)的图像关于原点对称例题3、函数f(x)=x3−3x2图像的对称中心为（）A、(0,0)B、(1,−2)C、(3,4)D、(3,7)（解析）因为f(x)=x3−3x2，设对称中心为（a，b），则2b=f（a+x）+f（a-x）对任意的x均成立，代入函数解析式，计算得到2b=(a+x)3−3(a+x)2+(a−x)3−3(a−x)2，所以2b=a3+3ax2+3a2x+x3−3（a2−2ax+x2）=2a3+6ax2−6(a2+x2)=2a3−6a2+(6a−6)x2，对任意x均成立，所以6a−6=0，且2b=2a3−6a2，即a=1，b=−2，即对称中心（1，−2）五、总结通过了解奇函数和偶函数的定义，熟练用符号表示出来，接着得到了函数奇偶性的判定方法，可以利用奇函数和偶函数的对称性，快速得到该函数的图像，并且结合函数的单调性来研究函数的其他性质。
函数的奇偶性(数学教学课件)
f (x0 ) f (x0 )
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，像鼠群，人生像仓库。 空间被它霸占，时间被它噬碎，心力被它耗尽。 表面上，人人参与社会机器的庞大运转，但无一是主人，皆奴婢和下人。我们越来越成为自己工具的工具了。 我们的课程太多，作业太重。 我们无休止地准备生活，然而生活迟迟没有开始。 像一个永远留级的学生， 等不来毕业，等不到卸下书包的那一天。 现代人死于累，死于心绞痛，死于童年的消逝。 谁设计了这样的生活？谁捏造了这样的共识？ 想想古代，那会儿灵魂和肉体多轻盈啊。无论时间、空间，都有辽阔的场子、足够的宽松和僻静。古代的最伟大之处在于，它收养了一大帮精神松弛的人， 比如真正的游手好闲者，真正的隐士和散人，且总有生动山林，供之随心所欲使唤。 何谓自由？ 我觉得，大概即一个人能决定哪些事和自己有关或无关。 蟋蟀入我床下纪念虫鸣文化 ? 夜晚，虫子在吹口哨。而世间，人在大声争吵，乃至什么也听 不见。 题记 1 “蟋蟀在堂，岁聿其莫。 今我不乐，日月其除。” 《诗经》无处不充满对光阴的警觉与热爱，提醒同胞惜时和勤勉，比如这首《唐风·蟋蟀》，即在冲人喊：蟋蟀已跑你屋里了，天凉好个秋，赶紧寻乐吧，别磨磨蹭蹭啊。 蟋蟀躯微，入室难见，但可聆察。所以，虫鸣的意义在于醒耳，耳醒则心苏。 在我眼里，史上 最伟大的田园诗要属《豳风·七月》，它不仅是一年农事的全景画，且是一部旷野奏鸣曲。除了天上飞的 “春日载阳，有鸣仓庚（黄莺）”“五月鸣蜩（蝉）”“七月鸣（伯劳鸟）”，我尤喜地上的那一小节：“五月斯螽动股，六月莎鸡振羽。七月在野，八月在宇，九月在户，十月蟋蟀入我 床下。” 在音乐未诞生前，世上最美妙的动静，竟是从虫肚子里发出的。 小小软腹，竟藏得下一把乐器。 喓喓，嘁嘁，嗞嗞， ，唧唧，聒聒，嗤嗤，啨啨 自然音律里，虫声最难绘，但各种象声词还是纷纷扬扬。 古人不仅崇拜光阴，更擅以自然微象提醒时序，每一季都有各自的风物标志。 秋呢？谁是它的形象大使和新闻发言人？ “以鸟鸣春，以雷鸣夏，以虫鸣秋，以风鸣冬。”（韩愈）该说法基本权威，古人鸣秋，借助最多的即虫，“梧桐飘落叶，秋虫情更痴”，秋风萧飒时，虫是旷野最生动的音符。 虫族中，名声大的属蟋蟀、蝈蝈、油葫芦、金铃子，我儿时亲近过前两 位，喂之辣椒、葱头和苹果。记得课上学“蟋蟀”，怎么也写不对，直恨这字儿咋长那么多腿，结果像画画，不是多一撇，就是少一捺，腿数总不对。除“蛐蛐”，蟋蟀还有个别称：“促织”或“趋织”。据说从魏晋兴叫，原因是农妇一听到它，即知天要凉，得赶紧织布缝衣了，故幽州有谚： 趋织鸣，懒妇惊。 关于虫效，有民间说法：夜晚，将蝈蝈或蛐蛐笼悬于睡榻前，蚊子即躲得远远的。我试过，“ ”声带给神经的兴奋比蚊叮更让我睡不着。 2 若以性情论四季，我以为春烂漫、夏聒烈、秋清幽、冬肃沉。 我最喜秋。秋让生命知觉最细锐、心灵层次最丰富、想象力最驰远一 个人最有和自己对话的冲动。 为何？大概因为静。 秋之静，有虫语之功。秋收后，天空疏阔，旷野清朗，突然，丝丝缕缕、高高低低的“ ”“唧唧”飘来（这时，很像发生了一件事，有人将一根手指竖立唇边：嘘 ），世界便一下子静了，一年的尘嚣都涤散了，吹远了。 虫声制造凉意，你 会倏地一惊，身体收紧，接着，某些东西开始苏醒。你会清晰地意识到生命进度，触到某个不易觉察的部位和愿 望 少时，虫比其声更诱惑我，虫声在我听来也总是欢悦、灿烂的。而立后，我才品出它的清冷、它的沁凉，才算领会了那些引虫声入诗的古人心境 “喓喓草虫，趯趯阜螽。未见君 子，忧心忡忡。”（《诗经·召南》） “秋月斜明虚白堂，寒蛩唧唧树苍苍。”（李郢） “大火流兮草虫鸣，繁霜降兮草木零。秋为期兮时已征，思美人兮愁屏营。”（张衡） “秋风袅袅入曲房，罗帐含月思心伤。蟋蟀夜鸣断人肠，长夜思君心飞扬。”（汤惠休） 淅淅沥沥之鸣，怎能不 勾起思情离愁？ 3 论精神线条和心灵耳朵，古人比今人要敏细、精巧得多，后者太糙太钝了。试问，我们能识几种虫语？谁配做一只蟋蟀的知音？ 明人袁宏道在《蓄促织》中，论虫语之异：蝈蝈“音声与促织相似，而清越过之凄声彻夜，酸楚异常，俗耳为之一清”。金钟儿，“如金玉中出， 温和亮彻，听之令人气平 见暗则鸣，遇明则止”。 虫微弱，和鸟兽的张扬不同，其性谦怯，其态隐忍，故生命触须极细，对时令、天气、晨暮、地形的体察极敏，这也是其声之幽、之迂、之邃的原因。所以，凡悟其语、知其音者，耳根须异常清静，心灵须有丰富的褶皱与纹理，方能共鸣 。 否则，对牛弹琴。 梅妻鹤子，山鬼结拜，在师法自然上，古人真是身体力行。 他们比今人性灵、彻悟、烂漫，所以能出公冶长那般通鸟语之人，恐怕这也是古典文学出没灵异精怪的原因。一部《太平广记》，近乎仙妖大全。 他们走得远、走得幽，一个人敢往草木深处闯，所遇蹊跷和神奇也 就多。 这和科学及生产力无关。 几千年来，古人的生活美学和精神空间里，虫鸣文化一直是重要构件。 和“天人合一”的心旨有关，也与早年大自然的完整性和纯净度有关。 说到这，忽想起一档游戏来。儿时，有一种“鸡、虎、虫、棒”的斗牌，现在想，后人无论如何发明不出这玩法了， 因为世界的元素变了，常识也变了。不信你看：野虎没了吧？那“虎吃鸡”之经验即立不住了；对笼养鸡来说，“鸡食虫”岂非白日梦？虫也给农药灭净了吧？“虫咬棒”从何谈起？几条生物链都断了，现代视野里只剩棒和鸡，没得玩了。 大自然的完整性一旦受伤，古老游戏的内在逻辑也就 撑不住了。 4 对古人心境而言，虫鸣是一位如约而至、翩然而降的房客。 娉娉、袅袅、衣冠楚楚、玉树临风略含忧郁，但不失笑容与暖意。尤其在百姓和孩童耳朵里，那分明是高亢的快活。 “怀之入茶肆，炫彼养虫儿”“燕都擅巧术，能使节令移，瓦盎植虫种，天寒乃蕃滋” 在《锦灰堆》 书里，大师级玩家王世襄忆述了亲历的京城虫戏，从收虫、养虫到听虫（斗虫为我所憎，故本文不及），从罐皿到葫芦的植术造式，淋漓详尽。 为挽续虫语，古人从唐代开始宠虫，“每至秋时，宫中妃妾辈，以小金笼捉蟋蟀闭于笼子，置之枕函畔，夜听其声，庶民之家皆效也”（《开元天宝 遗事》）。经一路研习，畜虫术愈发精湛，学得孵化后，虫声即从秋听到冬，听到过年了。 古人会享受，擅享受，懂享受。 想想吧，大雪飘零，风号凛冽，而斗室旮旯里，清越之声蓦起，恍若移步瓜棚豆架而且此天籁，取材皆于大自然，几尾草虫、半盏泥盆、一串葫芦，即大功告成，成本 极低。 有句俗话，叫“入葫听叫”。 太美了，真是点睛之笔啊，正可谓一葫一世界、一虫一神仙。你看，秋虫和葫芦，动静搭配，皆出身草木，多像一副妙联的上下句。 虫声高涨，带动了它的商品房葫芦业。清咸丰年间，有个河北三河县人，别号“三河刘”，他种造的葫芦，音效特好，至 今为收藏界念叨。过去的琉璃厂，一度虫鸣沸腾、葫芦满街，有位叫张连桐的人，也是养葫高手。 那年逛地坛庙会，我购得一玩意儿：一对乌色的草编蟋蟀，翘翅攀在半盏束腰葫芦上，神态警觉，栩栩如生。作者亦有来头，裕庸老先生。该翁1943年生，满族正黄旗，爱新觉罗氏，曾拜师北派 的齐玉山、南派的毅正文，被誉为京城最后的草编大师。 至今，它仍摆我书案上。冷不丁搭一眼，心头滑过一句“雨中山果落，灯下草虫鸣”或“竹深树密虫鸣处，时有微凉不是风”，甚是 惬意。 5 城市豢养的器官是迟钝的，知音秋虫者，寥寥无几。 王世襄先生乃其一。这位大爱大痴的 老人，那种蚂蚁般的天真，那种对幼小和细微的孜孜求好，那种茂盛的草木情怀和体量 当世恐难见其二。 他在《锦灰堆》里回忆的那番青春好风光，乃中国养虫人最后的黄金时代，亦是虫鸣文化的绝唱和挽歌。 此后，水土、心性、耳根、居境、世风 皆不适宜了。 空间越来越只为人服务， 环境侍奉的对象、卫生标准的主体，都是人。比如水污、地污、光污、音污，比如农药、化肥、除草剂，其量于人不足致命，于虫则不行了，虫清洁成癖，体弱身薄，一点微毒即令之断子绝孙。 古时秋日，不闻虫语是难以想象的。那是耳朵渎职，是心性失察，是人生事故。足以让人惊悸、懊 恼，羞愧难当。 可当今，一年到头，除了人间争吵和汽车喇叭，我们什么也听 不见。 或许耳朵失聪，或许虫儿被惊跑 了，躲得远远的了罢。 总之，不再与人共舞，不再与人同眠。 “七月在野，八月在宇 十月蟋蟀入我床下。” 何年何夕，那尾童年的蟋蟀，能再赴我枕畔窃窃私语呢？ “我是印第安人，我不懂” ? 我要扶住你，大地。我醉了，我是醉了。 我称山为兄弟，水为姐妹，树林是情人。 海子《醉卧故乡》 很久了，主流世界由三组人组成：追随人格神（比如耶稣、佛祖、真主、孔圣）的人，不奉任何神的人（比如唯物论者），什么都不信的人（虚无主义者）。 很久了，我们渐渐忘了世上还有一种人：他们讴歌自然神，他们是大地的信徒，他们拥有最古老和神秘的品质 “清晨”的品质；其精神气质近乎儿童，目光清澈，性情烂漫，行为富有诗意 他们被称为某土著或某部落。 因为小，因为弱，因为没有征服的念头，于是被征服了。 甚至像山谷里 的歌声一样，永远消逝了。 我不是其中一员，但一想起“神秘、美好、天真”这些词，即忍不住怀念他们。 我称之为“清晨的人”。那些很少很少的人。 阿尔伯特·爱因斯坦恳求同胞：把爱的范围“扩大到所有生灵及整个大自然吧”。 有一群人，一出生就这么想，就这么做。 奉大地为父， 视万物为兄，他们通晓草木、溪流、虫豸的灵性，俯下身去与之交谈；他们没有人的傲慢，不求包括自己在内的任一物种的特权；为生存，他们不得不采猎，但小心翼翼，怀着爱、感恩和歉意；他们坚信大地不属于人，而人属于大地；他们认为鹿、马、鹰、草茎的汁液，和人同出一家。与崇 拜某个事物的族群不同，他们爱的是全部，是大自然的全体成员和全部元素。 火一样的肤色和赤裸的胸膛，他们自称“红人”。 历史和外交上，他们被叫作 印第安人。 公元1851年，美国政府欲以15万美元换他们200万英亩领地，为和平，他们妥协了。在华盛顿州的布格海湾，前来签字的一 位叫西雅图的酋长，对城市和白人发表了这样的演说：“在我们的记忆里，在我们的生命里，每一根晶亮的松板
怎样判断函数的奇偶性
知识导航函数的奇偶性是函数的一种基本性质.判断函数的奇偶性是各类试题中常出现的一类题型.判断函数奇偶性的方法主要有定义法、图象法、性质法.本文重点探讨一下这三种方法的特点及其应用.一、定义法我们知道奇偶函数的定义为：若f(x)=f(-x),则函数为偶函数；f(x)=-f(-x)，则该函数为奇函数.同理，当f（x）=f(-x)且f(x)=-f(-x)时，函数既是偶函数也是奇函数，当f(x)≠f(-x)且f(x)≠-f(-x)时，函数是非奇非偶函数.在运用定义法判断函数的奇偶性时，我们首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，那么该函数为非奇非偶函数.例1.判断以下函数的奇偶性：（1）f(x)=9-x2+x2-9；（2）f(x)=(x+(3)f(x)解：（1）∵由{9-x2≥0x2-9≥0，可得x∈[]-3,3,该则区间关于原点对称，又f（3）=f（-3）=0，∴f（x）=0，∴f（x）=f（-x）且f（x）=-f（-x），∴该函数既是奇函数也是偶函数.（2）由ìíî1-x1+x≥01+x≠0，可得x∈(]-1,1，∴函数的定义域不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数.（3）由{||x+3-3≠04-x2≥0，可得-2≤x≤2，且x≠0，则该区间关于原点对称，∴f（x）=-f（-x）.∴f（x）是奇函数.通过上述例题，同学们可以看出，函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提条件.二、图象法我们知道，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.在运用图象法解题时，我们可以直接根据函数的解析式绘制出函数的图象，然后根据函数图像的特点判断函数的奇偶性.例2.请判断分段函数f（x）=ìíîx2-x，x>0,x2+x，x<0,的奇偶性.解：分别作出函数在x>0、x<0时的图象，如图所示.通过观察图象，我们可以发现该函数图象关于y轴对称，因此该函数是偶函数.有些复合函数、抽象函数的图象很难画出，所以图象法的应用范围较窄，主要应用于解答分段函数、简单的基本函数问题.三、性质法奇偶函数具有以下性质：若f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上有：奇函数＋奇函数=奇函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数＋偶函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.而复合函数f(g(x))的判断依据是：只要其中一个为偶函数则该函数为偶函数；若两个函数同为奇函数则该函数为奇函数.例3.已知函数f(x)=a sin x-b tan x+4cosπ3，且f(-1)=1，则f(1)=().A.3B.-3C.0D.43-1解析：f(x)=a sin x-b tan x+2，由函数y=sin x与y=tan x的和构成，而函数y=sin x与y=tan x均为奇函数，由奇偶函数的性质：奇函数＋奇函数=奇函数，得a sin x-b tan x为奇函数，于是问题便迎刃而解.解：令g（x)=a sin x-b tan x，由于y=sin x与y=tan x均为奇函数，所以g（x)是奇函数，因为f(-1)=a sin(-1)-b tan(-1)+2=1，所以a sin1-b tan1=1，则f(1)=a sin1-b tan1+2=3.因此本题应选A答案.通过上述分析我们可以发现：定义法较为简单，其应用范围较广；图象法和性质法的应用范围较小，图象法仅应用于解答方便绘制函数图象的问题，性质法只适用于解答由几个简单函数复合而成的函数问题.同学们要熟练掌握这三种方法的特点，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省无锡市玉祁高级中学）史振毅35。
函数的奇偶性
函数的奇偶性一、概念：1、若)(x f y =对定义域内的任何一个x ，都有)()(x f x f =-，称)(x f y =是偶函数；2、若)(x f y =对定义域内的任何一个x ，都有)()(x f x f -=-，称)(x f y =是奇函数；3、若函数)(x f y =是定义域的偶函数(或奇函数)，称)(x f y =具有奇偶性。
二、理解1、必要条件：定义域关于原点成中心对称。
2、判定函数奇偶性的步骤一步：求定义域，并判定它是否关于原点对称； 二步：判定)(),(x f x f -的关系三、函数的奇偶性与函数的图象的关系1、若)(x f y =是偶函数⇔)(x f y =的图象关于y 轴成轴对称2、若)(x f y =是奇函数⇔)(x f y =的图象关于原点成中心对称四、函数的奇偶性与单调性的关系1、偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反；2、奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性一致五、常用结论1、若)(x f 是奇函数且0=x 在定义域内，则0)0(=f ；2、若)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =；3、已知)(x f 是整式函数，若奇次项系数为0，则)(x f 是偶函数；若偶次项(常数项为偶次项)系数为0，则)(x f 是奇函数；4、奇±奇=奇、偶±偶=偶、奇·奇=偶、偶·偶=偶、奇·偶=奇六、题型归纳1、判定奇偶性例1．判定 下列函数的奇偶性 (1)11)(2+-=x x x f ；(2)2|2|1)(2---=x x x f(3)|)(|)(x g x f =(其中1)(2+-=x x x g ) 2、关于奇偶性的应用(1)求参数的值例2．已知函数1)(2+-=ax x x f 是偶函数，则实数=a __ 例3．已知函数x x x f +=3)(是定义域)1,(+a a 上的奇函数，则实数=a _____(2)求函数值或解析式例4．已知函数4)(3++=bx ax x f ，若15)1(=f ，则)1(-f =___ 例5．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时3)(2--=x x x f ，求)(x f 的解析式 (3)奇偶性和单调性的综合应用例7．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且是R 上的增函数，解关于x 的不等式0)72()1(2<-++-x f x x f 例8．已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，解关于x 的不等式)3()12(f x f >-u例9．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，又0)2(=-f ，则不等式0)(≥x f 的解集为______________。
函数的的奇偶性-
∴
f
(
x
)
既
是
10
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数, 当x>0时, f(x)= x2 +x+1,求函 数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称, 找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
【 f(x) 解 析 】
11
当
【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式, 则取x为这一 范围上的任一值, 再转化为条件. （2）在求函数的解析式时, 应紧扣题目中的已知条件, 当 求自变量在不同区间上的不同表达式时, 要用分段函数的 形式表示出来.
22
【
解
析
【评析】该例】在求解过程中用到了前面提到的减函数定
义的逆命题.由
f
23
(
（1）定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数, 且f(1-a)+f(1a2)<0, 求实数a的取值范围；
（2）定义在［-2,2］上的偶函数g(x), 当x≥0时, g(x)为减函数, 若g(1-m)<g(m)成立, 求m的取值范围. （1）∵f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2),∵f(x)为奇函数,∴f(1-a)<f(a2-1),
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1.如果已知函数具有奇偶性, 只要画出它在y轴一侧的图象, 则 另一侧的图象可对称画出.
2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性相反.
3.判断函数的奇偶性时, 我们可以根据f(-x)=±f(x), 或是根据 f(-x)±f(x)=0, 或是根据f(-x)/f(x)=±1等途径来判断.
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的 轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数是偶函数.
函数的奇偶性讲义
函数的奇偶性【知识要点】1.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数f (x)定义域内的任意一个X,都有f (-x) = f (x), 那么函数f (x)叫偶函数(even function).如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)叫奇函数(odd function).2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (-x) 与f (x)的关系；⑴奇函数o f (-x)=- f (x)o f--)+f (x)=0 o 釜=-1(fx)) 0)；(2)偶函数o f (-x)= f (x)o f (- x)- f (x)= 0 o4.函数奇偶性的几个性质：(1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域；(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)若奇函数f Q)在原点有意义，则f (0)= 0；(4)根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数；(5)在公共的定义域内：两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；(6)函数f Q)与函数有相同的奇偶性.5 .奇偶性与单调性: （1）奇函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相同的单调性;（2）偶函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相反的单调性.【典例精讲】 类型一函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性:x 2 + 2x + 3, x < 0,(6)f (x )= {a x = 0, -x 2 + 2x - 3, x > 0.变式 判断下列函数的奇偶性:11 ⑴f(x)=x 4； (2)f(x)=X 5；⑶ f (x)=x+x 2 ；(4) f(x)= - x 2(5) f (x )= x 3- 2x(6) f (x ) = 2 x 4 4十 一x 2，、b ,,(7) y = ax H ——(a > 0,b > 0) x(8) x (k > 0)y -例2已知/ Q)是R 上的奇函数，且当X > 0时，f Q)= x 3+ 2 x 2-1,求f Q)的表达式。
如何运用定义法判断函数的奇偶性
我们知道，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么函数f (x )是偶函数；都有f (-x )=-f (x )，那么函数f (x )是奇函数.奇偶性是函数的重要性质之一.判断函数的奇偶性，我们一般用定义法，其基本思路是：第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称.若函数的定义域不关于原点对称，则该函数不具有奇偶性.第二步，将-x 替换x ，求得f (-x )的表达式.第三步，将f (-x )的表达式与f (x )、-f (x )进行比较，若f (-x )=f (x )，则函数为偶函数；若f (-x )=-f (x )，则函数为奇函数.下面，我们结合实例来说明.例1.判断函数f (x )=x -1x3的奇偶性.解：由题意可知，该函数的定义域为()-∞,0⋃(0,+∞)，且关于原点对称，所以当x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)时，-x ∈(-∞,0)⋃(0,+∞)，又f (-x )=(-x )-1(-x )3=-x +1x 3=-(x -1x3)，所以函数f (x )=x -1x3为奇函数.在求出函数的定义域后，我们就会发现函数的定义域关于原点对称，所以接下来就可以直接根据函数奇偶性的定义来判断其奇偶性.例2.判断函数f (x )=ìíîïïx 3-3x 2+1,x >0,0,x =0,x +3x 2-1,x <0,的奇偶性.解：由题意知，函数的定义域为R ，且关于原点对称.当x >0时，-x <0，f (-x )=-x 3+3x 2-1=-(x 3-3x 2+1)=-f (x )，当x =0时，-x =0，f (-x )=f (0)=0,f (x )=f (0)=0，f (-x )=-f (x )，当x <0时，-x >0，f (-x )=-x 3-3x 2+1=-(x 3+3x 2-1)=-f (x )，综上，当x ∈R 时，总有f (-x )=-f (x )，所以该函数f (x )为奇函数.由于该函数为分段函数，所以需将函数的定义域分成三段，然后将-x 与x 代入相应区间的函数表达式中，得到f (-x )=-f (x )，所以可以判定该函数为奇函数.在判断分段函数的奇偶性时，很多同学经常会误用函数在定义域的某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性，大家要警惕.例3.已知函数f (x )的定义域为R .若对于任意实数a 、b 都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )，请判断该函数的奇偶性.分析：由于该函数没有给出具体的解析式，属于抽象函数，需通过讨论f (x )±f (-x )是否等于0，以及f (x )与f (-x )之间的关系来判断其奇偶性.解：由题意可知函数的定义域为R ，所以函数的定义域关于原点对称.由任意a 、b ∈R ，都存在f (a +b )+f (a -b )=2f (a )f (b )可令b =0,则2f (a )=2f (a )f (0)，若f (a )=0，a 为任意实数，则f (x )=0，所以函数为偶函数.若f (a )≠0，则f (1)=0.令a =0，则f (b )+f (-b )=2f (0)f (b )=2f (b )，f (-b )=f (b ).所以该函数为偶函数.利用定义法判断抽象类函数的奇偶性有两种思路.一种是通过判断f (x )±f (-x )是否等于0来进行判断，当f (x )-f (-x )=0时，函数为偶函数；当f (x )+f (-x )=0时，函数为奇函数.另一种方法是根据f (x )与f (-x )之间的关系来进行判断，当f (-x )=-f (x )时，函数为奇函数；当f (-x )=f (x )时，函数为偶函数.判断函数奇偶性的方法还有很多，如数形结合法、转化法、导数法等.虽然有些题目中函数的解析式和类型并不相同，但运用定义法判断函数奇偶性的步骤和思路是一致的.希望同学们在学习了这篇文章后，能熟练运用定义法判断函数的奇偶性.(作者单位:江苏省东海县房山高级中学)何永知识导航39。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
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∙函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f （x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
∙奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原
点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性令a,b均不为零，若：
（1）函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a|
（2）函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a|
（3）函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a|
（4）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|2a|
（5）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周
期T=|4a|。