第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义(p5-11)

确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。

(一) 概率的古典定义

用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:

（1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；

（2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性);

若事件含有k个样本点，则事件的概率为:

(1.1-1)

[例1.1-3]

[例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:

它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。

（二）排列与组合

（二）排列与组合

用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。

（1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方

法，做第二步m2种方法，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k 种方法。

例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。

(2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有m k种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。

例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。

排列与组合

排列与组合的定义及其计算公式如下:

①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×…×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为，即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n!

②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。

例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。

③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在

组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为：

这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。

注意:排列与组合都是计算"从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公

式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。

[例1.1-4]

[例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出n个，问：事件= " 恰好有m个不合格品"的概率是多少?

从个产品中随机抽取n个共有个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间。

其中“随机抽取”必导致这个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面我们先计算事件的概率，然后计算一般事件的概率。

事件="恰好有0个不合格品"="全是合格品"，要使取出的n个产品全是合格品，那么必须从该批中个合格品中抽取，这有种取法。故事件的概率为:/ .

事件="恰好有1个不合格品"，要使取出的n个产品只有一个不合格品，

其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从m个不合格品中随机取出1个，共有种取法；第二步从个合格品中随机取出n-1 个，共有种取法。依

据乘法原则，事件共含有个样本点。故事件的概率为：/

最后，事件发生，必须从个不合格品中随机抽取m个，而从个合格品中随机抽取n-m 个，依据乘法原则，事件共含有个样本点，故事件的概率是:

其中为n, 中的较小的一个数，它是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数因此，假如，下面

来计算诸事件的概率:

而等都是不可能事件，因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能。

[例1.1-5]

[例1.1-5]（放回抽样）抽样有两种形式：不放回抽样与放回抽样。上例讨论的是不放回抽样，每次抽取一个，不放回，再抽取下一个，这相当于n个同时取出，因此可不论其次序。放回抽样是每次抽一个，将其放回，均匀混合后再抽下一个。这时要讲究先后次序，现对上例采取放回抽样方式讨论事件＝“恰好有m个不合格品”的概率。

从n个产品中每次随机抽取一个，检查后放回抽第二个，这样直到抽出第n个产品为止。由于每次都有n种可能，故在放回抽样的问题中共有个可能的样本点。事件b0=“全是合格品”发生必须从n-m个合格品中用放回抽样的方式随机抽取n次，它共含有种取法，故事件b0的概率为：事件=“恰好有一件不合格品”发生，必须从个合格品中用放回抽样抽取n-1次，而从个不合格品中抽一次，这样就有种取法，再考虑不合格品出现的顺序，故事件的概率为

同样的可求的概率。

（二）概率的统计定义

（二）概率的统计定义

要点如下：

(1) 与事件a有关的随机现象是可以大量重复试验的；

(2) 若在n次重复试验中，事件a发生次，则事件a发生的频率为:

(1.1-2)

频率能反映事件a发生的可能性大小；

(3) 频率将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件a的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。

[例1.1-6]

[例1.1-6 ]说明频率稳定的例子

(1) 为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5 ，许多人做了大量的重复试验，图1.1-10 记录了前400 次掷硬币试验中频率的变化情况。在重复次数n较小时波动剧烈，随着n的增大，波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.1-1) 表明，正面出现的频率逐渐稳定在

0.5 。这个0.5 就是频率的稳定值，也是正面出现的概率，这与用古典方法计算的概率是相同的。图1.1-10（教材10页），表1.1-1（教材10页）。

(2) 在英语中

(2) 在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.1-2。这项研究在计算机键盘设计(在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造(使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码(使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是有用的。表1.1-2（教材10页）

三、概率的性质及其运算法则

三、概率的性质及其运算法则(p11-14)

(一) 概率的基本性质及加法法则

根据概率的上述定义，可以看出它具有以下基本性质:

性质l：概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件a,有:

特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：，

[例1.1-7]

[例1.1-7] 抛三枚硬币，至少一个正面出现 (记为事件)的概率是多少?

解：在抛三枚硬币的随机试验中，样本空间共有8个样本点：（正、正、正）、（反、反、反）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、正）、（正、

正、反）、（正、反、正）、（反、正、正）。中所含的样本点较多，但其对立事件="抛三枚硬币，全是反面"={( 反，反，反)}，只含一个样本点，从等可能

性可知再由性质2，可得:

[例1.1-8]

[例1.1-8]一批产品共100 件，其中5件不合格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两件不合格品的概率是多少？解：设ai表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件上＝“最多有2件不合格品可表示为：

并且为三个互不相容事件，由性质5可知：

余下就是用古典方法算得ai的概率。据a0的定义，从100 件产品随机抽出10件的所有样本点共有个。要使抽出的10件产品中有0件不合格品，即全是合格品，则10件必须从95件合格品中抽取，所以：

＝0.0702 于是所求的概率为：＝0.5837+0.3394+00.0702＝

0.9933 可见事件a发生的概率很接近于1，说明发生的可能性大；而它的对立事件＝“抽10件产品中至少有3件不合格品”的概率

，发生的可能性很小。

[例1.1-9]

[例1.1-9]某足球队在未来一周中有两场比赛，在第一场比赛中获胜的概率为1/2 ，在第二场比赛中获胜的概率是1/3，如果在两场比赛中都获胜概率是1/6，那么在两场比赛中至少有一场获胜的概率是多少？解：设事件＝“第i场比赛获胜”，i＝1，2。于是有：。由于事件“两场比赛中至少有一场获胜”可用事件表示，所求概率为。另外由于事件与是可能同时发生的，故与不是互不相容事件，应用性质4来求，即：这

表明在未来两场比赛中至少有一场获胜的概率为2/3 。

（二）条件概率及概率的乘法法则

（二）条件概率及概率的乘法法则

在事件发生的条件下，事件发生的概率称为的条件概率，记为。

可导出乘法公式

(三) 独立性和独立事件的概率

(三) 独立性和独立事件的概率

设有两个事件假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称事件相互独立。

性质7:假如两个事件相互独立，则同时发生的概率为:

(1.1-5）

性质8:假如两个事件相互独立，则的条件概率等于的无条件概率。

两个事件的相互独立性可以推广到三个或更多个事件的相互独立性。此时性质7可以推广到更多个事件上。

[例1 .1-13]

[例1 .1-13] 用晶体管装配某仪表要用到128 个元器件，改用集成电路元件后，只要用12只就够了，如果每个仪表才能正常工作，试分别求出上述两种场合下能正常工作2000 小时的概率。