(完整)高中数学导数题型总结,推荐文档
导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值范围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
高考导数压轴题型归类总结材料
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x .
所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 3 2)33(- =g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 1 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令 以下分两种情况讨论: ①a 若> 3 2 ,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 ②a 若<3 2 ,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: 所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极大值在函数
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
强大导数知识点各种题型归纳方法总结
导数的定义: 1.(1).函数y = f (x)在x =x °处的导数:f '(X 。)=y'|xm=怛口x ° %x) - f ( x °) 函数八f(x)的导数:f '(x) = y' = 1巩f (x 冈- f (x) 2?利用定义求导数的步骤 ①求函数的增量:.沖二f (X 。? Ax) - f(x 。):②求平均变化率:竺二f(x 。 :x )- f (X 0) L X L X ③取极限得导数:f '(x 。)二lim y 3 A x (下面内容必记) 导数的运算: (1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式 : m m i ① C ,O(C 为常数):②(x n )'= nx n ,;(丄)、(x 』)’一 nx 』」;(n x m )' =(x\' = m x_ x n ③(sinx)'=cosx ;④(cosx)' - -sin x ⑤(e x )'=e x ⑥(a x )'=a x |na(a 0,且a = 1); 1 1 ⑦(ln x)' ; ⑧(log a x)' (a 0,且 a =1) x xln a 法则1: [f(x) _g(x)]' = f '(x) _g'(x) ; (口诀:和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2: [f(x) g(x)]^ f '(x) g(x) f (x) g'(x)(口诀:前导后不导相乘,后导前不导相乘,中间是正号) 法则3: [f 阳」(X)嵌)二 2(X ) g '(X )(g(x)=0) g(x) [g(x)] (口诀:分母平方要记牢,上导下不导相乘,下导上不导相乘,中间是负号) (2)复合函数y 二f (g(x))的导数求法: ①换元,令u =g(x),则y = f(u)②分别求导再相乘y'=〔g(x) 】'」f (u)】'③回代u =g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二:导数运算 1、已知 f x = x 2 ? 2x - sin 二,贝U f 0 二 __________ 1. 求瞬时速度:物体在时刻t 0时的瞬时速度 V 就是物体运动规律 即有 V ° 。 2. V = s /(t)表示即时速度。a=v /(t)表示加速度。 四. 导数的几何意义: 函数f x 在X 0处导数的几何意义,曲线y = f x 在点P x 0, f x °处切线的斜率是k =「x 0 。于是相应的切 线方程是:y - y ° = f X 0 x -x ° 。 题型三.用导数求曲线的切线 注意两种情况: (1 )曲线y 二f x 在点PX o ,fX o 处切线:性质:k 切线=f X o 。相应的切线方程是: y -y 。二 f X 。x -x 。 (2)曲线y = f x 过点P X o ,y 。处切线:先设切点,切点为Q(a,b),则斜率k= f'(a),切点Q(a,b)在曲线 y =f x 上,切点Q(a,b)在切线y-y o =「a x-x 。上,切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b 的方程组,解方 程组来确定切点,最后求斜率k= f'(a),确定切线方 程。 例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中,求斜率最小的切线方程; 解析:(1)k =y'|x 2。=3x 02 ? 6x 0 ?6=3(x 0 1)2 3 当 x o =-1 时,k 有最小值 3, 导数的基础知识 ⑵. A 10 B 13 三?导数的物理意义 C - 1 6 D.19 S 二f t 在t “0时的导数「t ° ,
导数压轴题题型(学生版)
导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. (I )讨论的单调性; (II )当时,证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +>[]1,2x ∈
例2.(21)(本小题满分12分)已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围; (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.
例3.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => , 讨论h (x )零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围.
例5已知函数f(x)=e x-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.
例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 例7已知函数,曲线在点处的切线方程为。 (Ⅰ)求、的值; (Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k
(完整word版)高考导数题型归纳
高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );
导数题型总结
导数题型总结
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导数题型总结 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决: 第一步:令' ' ()0()0f x f x ><或者求出函数的单调区间; 第二步:根据第一步求出函数的极大值,极小值和最大值; 至于不等式恒成立,则要分离变量或者变更主元。 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解: 由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)0302(3)09330g m g m <-???>? ?<--? 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =- (03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 2b a ∴-=
(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题,总结极值点偏移问题的解决方法。 1.设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ (1)试讨论函数()f x 的单调性; (2)()f x m =有两解12,x x (12x x <),求证:122x x a +>. 解析:(1)由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以 ① 若0a >时,当(0,)x a ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; ② 若0a =时,当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增; ③ 若0a <时,当(0,)2 a x ∈-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)2 a x ∈- +∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; (2)要证122x x a +>,只需证12 2 x x a +>, (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证:12 x x ( )()02 f f a +''>=,即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++(*) 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得:
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1 ?求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实 根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x) x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2 f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2) 2a ★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间 x 2 x -(a 2)x 2a f (x) 2 x (I)当a =1时,求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程; (n)当a=0时,求函数f x 的单调区间与极值。 解: (I)当a =1时,曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。 2 (n)由于a 式0,所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ,得x 1 = (x +1 ) I 1 '■ -2a x - a x 2―—义域R 内,但不知它们之间 (x 2 +1) a 的取值分a 0和a ::: 0两种情况进行讨论。 函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o 1 — (-一「:)内为增函数,在区间 a 1 」 1 (a,)为减函数。故函数 f x 在% 处取得极小值 a a X 2二a 处取得极大值f a = 1。 (x-2)(x-a) 2 x 2 2ax -a 1 x 2 1 x R ,其中a R 。 1 , X 2 = a 。这两个实根都在定 a 2 2 2a x 1;-2x 2ax - a 1 f x 二 2 2 (x 2+1) 的大小。因此,需对参数 (1)当 a 0 时,则 x 'x 2。 易得f x 在区间 ,a, ?::内为减函数, 在区间i l,a I a 为增函数。故函数 1 i 1 f x 在为 处取得极小值f a [1 I a 」 2 --a ; (1) 当a ”:0时,则x 1 x 2。易得f x 在区间(-::,a), ★★★例3已知函数 x 二
导数压轴题双变量问题题型归纳总结
导数应用之双变量问题 (一)构造齐次式,换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. (1)求实数,a b 的值; (2)设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点,求证:0F ' <. 【解析】(1)1,1a b ==-; (2)()2 ln f x x x x =+-,()()1ln F x m x x =+-,()11F x m x '=+- , 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点,所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? , 两式相减,得1212ln ln 1x x m x x -+=-, 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ,只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一:因为120x x << ,只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ,即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<,则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<, 所以函数()h t 在()0,1上单调递减,()()10h t h >=,即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题,此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数,常把12,x x 的关系变形 为齐次式,设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等,构造函数来解决,可称之为构造比较函数法. 思路二:因为120x x << ,只需证12ln ln 0x x -, 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<,则 () 21 10 Q x x x '= ==<, 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减,()() 20Q x Q x >=,即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中,由于两个变量的地位相同,将待证不等式进行变形,可以构造关于1x (或2x )的一元函数来处理.应用导数研究其单调性,并借助于单调性,达到待证不等式的证明.此乃主元法.
高中导数的知识归纳和题型总结
高中导数的知识归纳和题型总结 一、基本概念 1. 导数的定义: 设是函数定义域的一点,如果自变量在处有增量,则函数值也引起相应的增量;比值 称为函数在点到之间的平均变化率;如果极限存在,则称函数在点处可导,并把这个极限叫做在处的导数. ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(000 00 2 导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程) 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P 处的切线的斜率是,切线方程为 3.基本常见函数的导数: ①0;C '=(C 为常数) ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+???? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 0x )(x f y =x 0x x ?y )()(00x f x x f y -?+=?x x f x x f x y ?-?+=??)()(00)(x f y =0x x x ?+0x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =0x )(x f y =))(,(0x f x )(x f y =))(,(0x f x )(0'x f ).)((0'0x x x f y y -=-
导数压轴题题型归纳
VIP免费欢迎下载 导数压轴题题型归纳 1.高考命题回顾 例1已知函数f(x)= e x- ln(x+ m).( 2013全国新课标n卷) (1)设x = 0是f(x)的极值点,求 m,并讨论f(x)的单调性; ⑵当m<2时,证明f(x)>0. 例 2 已知函数 f(x)= x2+ ax+ b,g(x)= e x(cx + d),若曲线 y= f(x)和曲线 y= g(x)都过点 P(0,2), 且在点P处有相同的切线 y= 4x+2 (2013全国新课标I卷) (I)求 a, b, c, d 的值 (n)若 x>-2 时, f(x) VIP免费欢迎下载 2.在解题中常用的有关结论探 (1)曲线y4(x)在X%处的切线的斜率等于f (x0),且切线方程为y=f'(x o)(x-x o)+f (x o)。 ⑵若可导函数y£(x)在X =x0处取得极值,则f'(X o)=0。反之,不成立。 ⑶ 对于可导函数f(X),不等式f -(x) ¥牡y勺解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 ⑷函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:?爵 f (x)逮(切恒成立(fix)不恒为0). (5)函数f (X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值,则可等价转化为方程f'(x)m在区间I上 有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次函数且I=R,则有△ > 0 )。 (6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数,进而得到f-(x)翅或f'(X)<在I上恒成立 (7)若 , f (X)次恒成立,则 f (x)min 次;若0$ , f (X) <0 恒成立,则f(X)max <0 (8)若玄目,使得f(X0):,则f(X)max ;若3 X0 弓,使得 f (X D)却,则f(x)min 哎. (9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为D,若灯X亡D f(x)》g(x)恒成立, 则有〔f(X)- g(x)]min >0
导数各种题型及解法的总结
《导数各种题型及解法总结》 基础知识梳理 1.常见题型 2.在解题中常用的有关结论(需要熟记): 3.解题方法规律总结
虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。 2. 已知函数(含参数)在某区间上单调,求参数的取值范围,有三种方法: ①子区间法;②分离参数法;③构造函数法。 3. 注意分离参数法的运用:含参数的不等式恒成立问题,含参数的不等式在某区间上有解, 含参 数的方程在某区间上有实根(包括根的个数)等问题,都可以考虑用分离参数法,前 者是求函数的最值,后者是求函数的值域。 4. 关于不等式的证明:通常是构造函数,考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有 关单调性或所求的最值的结论,对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。 对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明,先观察通项,联想基本不定式(上述结论 中的13),确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关) , 再对自变量x 赋值,令x 分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加,可得要证的不定式。) 5. 关于方程的根的个数问题:一般是构造函数,有两种形式,一是参数含在函数式中,二是 参数被分离,无论哪种形式,都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区 间端点的函数值,结合函数图象, 确立所满足的条件,再求参数或其取值范围。 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令f (x) =0得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0 ) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数y 二f(x)在区间D 上的导数为f(x), f (x)在区间D 上的导数为g(x),若在区间 D 上, (2)若对满足 m 兰2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间(a,b )上都为“凸函数”,求b-a 的最大值. g(x) -.0恒成立,则称函数y = f(x)在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, (1 )若y = f (x)在区间0,3 1上为“凸函数”,求m 的取值范围; 4 f(x 7 6 3 mx 3x